2024年山东省聊城市高唐县九年级下中考第二次模拟数学试题（原卷版+解析版）

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亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页．选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间120分钟．
2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按答题卡中的“注意事项”答题．
4．考试结束，答题卡和试题一并收回．
5．不允许使用计算器．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
选择题（共30分）
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合要求）．
1. 如果水位下降时水位变化记作，那么水位不升不降时水位变化记作（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正和负具有相对性，若水位下降用“”表示，那么水位上升用“”表示，水位不变，用“0”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果水位下降时水位变化记作，那么水位不升不降时水位变化记作，
故选：C．
2. 光明中学新校区建成之际，施工方在墙角处留下一堆沙子（如图所示，两面墙互相垂直），则这堆沙子的主视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了主视图，解题的关键是掌握从物体正面看到的图形是主视图．
【详解】解：这堆沙子的主视图是：
，
故选：B．
3. 2024年技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从初期的提升到，给我们的智慧生活“提速”．其中表示每秒传输位（）的数据．将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选；D．
4. 我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论．
【详解】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为，
∴它的一个外角．
故选：A．
5. 整数a满足 则a的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键．根据夹逼法估算无理数的大小即可求出a的值．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
6. 为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为的导线，将其全部截成和两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至少一根），则截取方案共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种
【答案】C
【解析】
【分析】设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，
即，
∵为正整数，
∴
则，
故有7种方案，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程求整数解是解题的关键．
7. 如图，在矩形中，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点作直线，交于点，交于点，若，则矩形的周长为（ ）
A. 8B. 12C. 24D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】由尺规作图得到直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示，结合矩形性质，根据三角形全等的判定与性质得到，进而由平行四边形的判定、菱形的判定得到，最后结合矩形性质与勾股定理求解即可得到答案．
【详解】解：由题中尺规作图可知，直线是线段的垂直平分线，连接，如图所示：
，，
在矩形中，，则，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，且,
在矩形中，，，
矩形的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查求线段长，涉及尺规作图-垂直平分线、矩形性质、中垂线性质、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、勾股定理等知识，读懂题意，数形结合，灵活运用相关几何性质与判定求证是解决问题的关键．
8. 已知关于x的方程，当时，方程的解为（ ）
A. ，B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出方程有两个相等的实数根，然后根据求根公式即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∵，
∴方程的解为，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：（1）⇔方程有两个不相等的实数根；（2）⇔方程有两个相等的实数根；（3）⇔方程没有实数根．
9. 如图，是的内接三角形，若，，则的半径长为( )
A. 4B. C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，连接，过点作于点，则 ，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③方程的两个实数根为，且，则，；④若为任意实数，则．正确结论的序号为（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①③
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，熟练运用数形结合思想．
首先对称性的得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后画出示意图，将代入解析式根据图象即可判断①；根据题意得到，进而可判断②；根据题意画出直线的图象，然后根据图象即可判断③；首先有对称轴得到，然后将代入解析式得到，进而得到，然后由时，y有最大值，即可判断④．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
∴开口向下，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴画出示意图如下，
∴当时，，故①正确；
∵
∴，故②错误；
如图所示，抛物线和直线有两个交点，
∴方程的两个实数根为，，且，
∴，，故③正确；
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，
∴
∴
∴
∴
∵抛物线开口向下，对称轴为
∴当时，y有最大值
∴若为任意实数，，故④正确．
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
非选择题（共90分）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
12. 如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 的水装进一个容量为300的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出．
根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积所在的范围是__________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式组的应用，根据已知条件列出不等值，解不等式组的解集即可求得．
【详解】由题意可列出不等式组，
解得：．
故答案为：．
13. 观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键．
先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得．
【详解】因为，，，，，，…，
所以个位数字是以为一循环，且，
又因为，，
所以的结果的个位数字是1，
故答案为：1．
14. 如图1，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的矩形将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝矩形区域内扔小球，并记录小球落在不规则图案内的次数，将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图．由此他可以估计不规则图案的面积为_____________．
【答案】2.1
【解析】
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为0.35．根据图2可得，小球落在不规则图案内的概率约为0.35，设不规则图案的面积为，再根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】解：根据题意可得：
小球落在不规则图案内的概率约为0.35，长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积约为，
故答案为：2.1．
15. 如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的最大扇形，则阴影部分的面积为_____________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积、不规则图形面积等知识点，掌握最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点成为解题的关键．
连接，则可得为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径，然后根据图形可知阴影部分的面积为，最后代入相关数据即可解答．
【详解】解：连接，
∵剪出的是圆心角为的最大扇形，
∴圆形铁皮的直径是,,
由勾股定理得：，
解得：，
由图形可知：．
故答案为：9．
16. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为、边上的动点，且的长为2，点G为的中点，点P为上一动点，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称一最短路线问题，判断出点的位置是解题的关键．
由点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点连接 由推出当共线时，的值最小，根据勾股定理求得从而得出的最小值．
【详解】，点为的中点，
，
∴是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，
作关于的对称点 连接 ，
，
∴当共线时，的值最小，
，
，
∴，
，
的最小值为
故答案为：
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】本题考查了实数的运算和分式方程及特殊角的三角函数值：（1）先计算有理数的乘方、负指数幂、化简二次根式、写出30°的余弦值，再进行实数的运算，即可求出原式的计算结果；（2）根据分式方程的解法即可．
（1）原式．
（2）
解：方程两边都乘
得，
解得：
检验：当时，
所以分式方程的解是
18. 女生小雅打算在立定跳远与跳绳两个项目中选择一项作为体育中考项目，学校共组织了5次测试，小雅的成绩见表1、表2．某市体育中考女生跳跃类评分标准（部分）如表所示，（考试成绩未达上限，均按下限评分）：
表1
表2
（1）写出a，b的值，并分别求出小雅立定跳远成绩的平均数和跳绳成绩的众数．
（2）若你是小雅，你会选择哪个项目作为中考项目？请结合小雅的测试成绩，给出你的建议，并简述理由．
【答案】（1）；；平均分为8.4；众数为8.5
（2）选择跳绳作为中考项目，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数．
（1）根据表格，将小雅立定跳远的距离和跳绳的次数与评分标准进行对比，即可求出a、b的值；再根据平均数和众数的概念，即可解答．
（2）结合数据，合理分析即可．
小问1详解】
解：根据考试成绩未达上限，均按下限评分的原则，
可知立定跳远为1.90米时，她的成绩为分；
当跳绳成绩为173次时，她的成绩为分；
（分），所以跳远成绩的平均分为8.4；
将跳绳成绩从小到大排序为：8.5、8.5、8.5、8.5、9，
成绩为8.5分出现的次数最多，所以跳绳成绩的众数为8.5．
【小问2详解】
解：若我是小雅，我会选择跳绳作为中考项目，这是因为跳绳成绩平均分大于跳远成绩，
且跳绳成绩的数据比跳远成绩的数据波动小，更稳定（答案不唯一）．
19. 综合与实践：
问题情境
在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片沿对角线剪开，得到和，点是对角线的中点，操作探究；
（1）图1中的沿方向平移，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为与交于点与交于点，得到图2，则四边形的形状是什么形状？
（2）“探究小组”的同学将图1中的以点为旋转中心，按顺时针方向旋转，得到，点的对应点为与交于点，连接交于点，得到图3，他们认为四边形是菱形，“探究小组”的发现是否正确？请你说明理由．
【答案】（1）平行四边形
（2）正确，理由见详解
【解析】
【分析】（1）利用平移的性质直接得出结论；
（2）先利用旋转的性质和正方形的性质得出四边形是平行四边形，再判断出即可得出结论；
【小问1详解】
解： 是平移得到，
，，
四边形是平行四边形，
故答案为平行四边形；
【小问2详解】
解：正确，理由如下
四边形为正方形，，
将以点为旋转中心，顺时针旋转后，点落在上，点落在的延长线上．
，，
．
，，
．
四边形是平行四边形．
，，
，
又，，
，
四边形菱形．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平移，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是利用平移的性质，解（2）的关键是判断出四边形是平行四边形．
20. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，且，．
（1）点的坐标为______；
（2）求一次函数的解析式及的值；
（3）直接写出当时，关于的不等式的解集．
【答案】（1）
（2）一次函数解析式为，
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入解析式即可求出D点的坐标；
（2）已知可以求出OC的长度，再利用相似三角形的性质求出点P的坐标即可解决本题；
（3）要使，则要一次函数的图象在反比例函数图象的上方（不包含临界点），根据图象即可得出结果．
【小问1详解】
解：在中，令，得，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
∵，，
，
，
解得，
由，可得：，
解得，
，，
把分别代入与，即，，
解得：，
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
【小问3详解】
解：，
一次函数的图象要在反比例函数图象的上方（不包含临界点），
则由图可知，x的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，涉及到相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点并理清题意是解决本题的关键．
21. 如图，一扇窗户打开后可以用窗钩将其固定，窗钩一个端点A固定在窗户底边上，且，窗钩的另一个端点B在窗框边上的滑槽上移动，构成一个三角形，当窗钩端点 B与点 O之间的距离是的位置时（如图2），窗户打开的角的度数为．
（1）求点A到的距离的长；
（2）求窗钩的长度 （精确到)（参考数据： ）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．
（1）由锐角三角函数即可求出；
（2）由锐角三角函数求出，然后利用，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解： 根据题意，可知，，．
在中，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∴．
在中，
答：窗钩的长度约等于15cm．
22. 如图，是的直径，是上两点，且，连接并延长与过点的的切线相交于点，连接．
（1）证明：平分；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查垂径定理，切线的性质，勾股定理以及矩形的判定等知识：
（1）连接交于点，根据垂径定理可得结论；
证明四边形为矩形，求得，，分别求出．，，根据勾股定理可求出
【小问1详解】
证明：连接交于点，
，
且，
平分，
【小问2详解】
解：为的直径，
，
是的切线，
，
，
由（1）知，，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
．
．
是的中位线，
，
，
在中，．
23. 抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线、直线的函数解析式；
（2）在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．
（3）点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为
（2）存在使得的面积达到最大，最大值为8
（3）存在这样的点E，坐标为或或
【解析】
【分析】（1）先将、代入抛物线，即可求出抛物线解析式，求出B点坐标，设直线的函数解析式为，再将点B，点C的坐标代入求解即可；
（2）过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，设点，则，根据的面积为，利用二次函数的性质即可求解；
（3）设，，根据平行四边形的定义分为对角线时，为对角线时，和为对角线时，三种情况求解即可．
【小问1详解】
解：将、代入抛物线，得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
令，则，
解得：或，
，
，
设直线的函数解析式为，
将点B，点C的坐标代入得：，
解得：，
直线的函数解析式为；
【小问2详解】
解：过点作轴的垂线，交于点H，垂足为G，连接，

设点，则，
，
，
的面积为，则，
，
当时，的面积最大，最大值为8，
此时；
【小问3详解】
解：存在，求解过程如下：
设，，
由平行四边形的定义分以下2种情况：
①如图，当为对角线时，
F点在x 轴上，
，，
，
则，
解得或（舍去），
，
②如图，当为对角线时，
则，即，
解得或，
点的坐标为或，
③如图，当为对角线时，
∵F点在x 轴上，
∴，，
∴，
则，即，
解得或（舍去），
，
综上，存在这样的点E，坐标为或或．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，一次函数解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分3种情况讨论是解题关键，勿出现漏解．
24. 【问题提出】
（1）如图①，在正方形中，点E在边上，连接，，垂足为点 G，交于点 F．请判断与的数量关系，并说明理由．
类比探究】
（2）如图②，在矩形中， ，点E在边上，连接， ，垂足为点C，交于点F．求 的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点H，交于点M，交于点N，连接，若 ，则的长为 ．
【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）只需要证明，即可得到结论；
（2）只需要证明，即可得到；
（3）由平移的性质可得，则，可求出，再证明垂直平分，得到，根据，可设，利用勾股定理得到，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1），理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
在矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）由平移的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵点H为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴可设，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．立定跳远
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
距离（米）
1.78
1.88
1.90
1.98
2.00
成绩（分）
6.5
8
a
9.5
10
跳绳
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
次数（次）
172
178
173
174
172
成绩（分）
8.5
9
b
8.5
8.5
项目成绩（分）
立定跳远（米）
跳绳（次/分）
10
2.00
185
9.5
1.97
180
9
1.94
175
8.5
1.91
170
8
1.88
165
75
1.84
160
7
1.80
155
6.5
1.76
150
6
1.72
145