2023-2024学年江西省景德镇市乐平中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年江西省景德镇市乐平中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,3)，b=(m,2)，c=(5,2)，若(a+b)//c，则m=( )
A. 232B. 212C. 272D. 252
2.已知角α的终边上有一点P(−35,45)，则cs(π2+α)=( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
3.已知向量a=(t,2),b=(2,−1).若a与b的夹角的余弦值为−2 55，则实数t的值为( )
A. 52B. −52C. 32D. −32
4.把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，则f(x)=( )
A. sin(x2−7π12)B. sin(x2+π12)C. sin(2x−7π12)D. sin(2x+π12)
5.已知△ABC中，(BA+BC)⋅AC=0，|AB|AB|+AC|AC||= 3，则此三角形为( )
A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
6.筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的筒车，一个水斗从点A( 2,− 6)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x,y)，其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|0)的图象与直线y= 32相邻的三个交点，且|BC|−|AB|=π3，f(−π12)=0，则( )
A. ω=4
B. f(9π8)=12
C. 函数f(x)在(π3,π2)上单调递减
D. 若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图象，则|θ|的最小值为π24
10.某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这100名学生中，成绩位于[80,90)内的学生成绩方差为12，成绩位于[90,100)内的同学成绩方差为10.则( )
参考公式：样本划分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为：m,x−,s12;n,y−,s22.记样本平均数为ω−，样本方差为s2，s2=mm+n[s12+(x−−ω−)2]+nm+n[s22+(y−−ω−)2]
A. a=0.004
B. 估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
11.平面向量m,n满足|m|=|n|=1，对任意的实数t，|m−12n|≤|m+tn|恒成立，则( )
A. m与n的夹角为60∘
B. (m+tn)2+(m−tn)2为定值
C. |n−tm|的最小值为12
D. m在m+n上的投影向量为12(m+n)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.tan420∘+tan510∘=______.
13.扇形拼盘是一种可以在宴会或聚会中展示美食的独特器具，它不仅可以为食物增添美观的视觉效果，还可以使每个人轻松地享用到不同的食物.已知某不锈钢扇形拼盘如图所示，其示意图可以看成是由中间的一个直径为24cm的圆，四周是8个相同的扇环形组成的，寓意“八方进宝”.若每个扇环形的周长为32+10πcm，则每个扇环形的面积为______cm2.
14.如图，在四边形ABCD中∠BAD=60∘，AD=AB，∠BCD=120∘，CB=CD，M、N分别为边CB、CD的中点，点E为MN边上一点，且AE=xAB+yAD，则xy的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在△ABC中，∠BAC=π3,AD=2DB，|AC|=3,|AB|=4，P为CD上一点，且AP=mAC+12AB.
(1)求m的值；
(2)求|AP|.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若x∈[0,11π12]，方程f2(x)+(2−a)f(x)+a−3=0存在4个不相等的实数根，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”证件之一，若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费，某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为34，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为23，现有这个驾校的一对夫妻学员同时报名参加驾驶证科目二考试，若这对夫妻每人每次是否通过科目二考试相互独立，他们参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．
(Ⅰ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且都不需要交补考费的概率；
(Ⅱ)求这对夫妻在本次报名参加科目二考试通过且产生的补考费用之和为200元的概率．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=a⋅2x+1+12x−1为奇函数.
(1)求a的值；
(2)若f(x)>k⋅2−x在x∈(0,1]上成立，求实数k的取值范围；
(3)设g(x)=mcs(2x−π3)+2，若∀x1∈[0,π2]，∃x2∈[1,+∞),使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在梯形ABCD中，AD=2，DC=CB=3，AB=2DC，点E、F是线段DC上的两个三等分点，点G，点H是线段AB上的两个三等分点，点P是直线BC上的一点.
(1)求AB⋅AD的值；
(2)直线AP分别交线段EG、FH于M，N两点，若B、N、D三点在同一直线上，求cs⟨AN,AD⟩的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为a=(1,3)，b=(m,2)，
所以a+b=(1+m,5)，
因为(a+b)//c，c=(5,2)，
所以(1+m)×2−5×5=0，
所以m=232.
故选：A.
根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列方程求m可得结论．
本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：∵角α的终边上有一点P(−35,45)，
∴cs(π2+α)=−sinα=−45.
故选：A.
利用任意角的三角函数的定义及诱导公式可得答案．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：向量a=(t,2),b=(2,−1).
则a⋅b=2t−2，|a|= t2+4，|b|= 5，
所以−2 55=2(t−1) t2+4⋅ 5⇒t=−32.
故选：D.
根据平面向量数量积的坐标运算法则求解．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算法则，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，属基础题．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律，得出结论．
【解答】
解：∵把函数y=f(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x−π4)的图像，
∴把函数y=sin(x−π4)的图像，向左平移π3个单位长度，
得到y=sin(x+π3−π4)=sin(x+π12)的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得f(x)=sin(12x+π12)的图像．
故选：B.
5.【答案】B
【解析】解：设M为AC中点，则(BA+BC)⋅AC=2BM⋅AC=0，
所以BM⊥AC，即△ABC为等腰三角形，
又|AB|AB|+AC|AC||= 3，
所以|AB|AB|+AC|AC||2=3，
所以(AB|AB|)2+(AC|AC|)2+2AB|AB|⋅AC|AC|=2+2cs(AB,AC)=3，
所以cs(AB,AC)=12，可得A=60∘，
综上可知三角形为等边三角形．
故选：B.
根据向量的数量积及模的运算即可得出结果．
本题考查了向量的数量积及模的运算，考查了转化思想，属于中档题．
6.【答案】B
【解析】解：因为点A( 2,− 6)，所以点A所对应的角为−π3，|OA|=2 2，
因为旋转一周用时60秒，所以角速度ω=2π60=π30，点P对应的角为π30t−π3，
所以y=f(t)=2 2sin(π30t−π3).
故选：B.
由点A坐标求得|OA|，根据f(t)的最小正周期求得ω，根据三角函数的定义求得y=f(t)的解析式即可．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了三角函数解析式的确定问题，是基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由∠BCD=60∘，MC= 3，CD=2 3，可得MD= 3+12−2 3×2 3×12=3，
可得∠CMD=90∘，又AB⊥BC，可得四边形MBAD是直角梯形，且∠MDA=90∘−30∘=60∘，
即有AD=2，AB=2，AM= 3+4= 7，
在△AMD中，cs∠AMD=7+9−42×3 7=2 7，
则MA⋅MD的值为 7×3×2 7=6.
故选：B.
由三角形的余弦定理求得MD=3，由题意可得四边形MBAD是直角梯形，求得AD，AM，由向量数量积的定义可得所求值．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(2x+1)偶函数，所以f(1−2x)=f(1+2x)，
则f(1−x)=f(1+x)，即函数f(x)关于直线x=1成轴对称，
因为函数f(x)的图象是由函数f(x−1)的图象向左平移1个单位，
所以函数f(x)关于点(2,3)成中心对称，则f(2−x)=6−f(2+x)，且f(2)=3，
对于①，f(x+2)=6−f(2−x)=6−f(1−(x−1))=6−f(1+x−1)=6−f(x)，
f(x+4)=f(2+x+2)=6−f(2−x−2)=6−f(−x)=6−f(1−(x+1))=6−f(1+x+1)=f(2−x)=f(1+1−x)=f(1−1+x)=f(x)，
则函数f(x)的周期T=4，故①错误；
对于②，f(22)=f(2+4×5)=f(2)=3，故②正确；
对于③，f(5+x)=f(1+x+4)=f(1+x)=f(1−x)=f(1−x+4)=f(5−x)，故③正确；
对于④，f(1)=f(2−1)=6−f(2+1)，
则f(1)+f(3)=6，f(4)=f(0)=f(1−1)=f(1+1)=f(2)=3，则f(2)+f(4)=6，
由19÷4=4⋯⋯3，则i=119f(i)=f(1)+f(2)+⋯+f(19)=4(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(17)+f(18)+f(19)=4×(6+6)+f(1)+f(2)+f(3)=48+6+3=57，故④正确．
故选：C.
由题意，根据函数的对称性，可得f(1−x)=f(1+x)，f(2−x)=6−f(2+x)，且f(2)=3，根据函数周期性的定义，可判①的正误；根据周期性的应用，可判②的正误；根据函数的轴对称性的性质，可判③的正误；根据函数的周期性，进行分组求和，根据函数的对称性，可得f(1)+f(3)=6，f(2)+f(4)=6，可判④的正误．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：令f(x)=sin(ωx+φ)= 32，可得ωx+φ=π3+2kπ或ωx+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
由图可知：ωxA+φ=π3+2kπ，k∈Z，
ωxC+φ=π3+2kπ+2π，k∈Z，
ωxB+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
所以|BC|=xC−xB=1ω(−π3+2π)，|AB|=xB−xA=1ω⋅π3，
所以π3=|BC|−|AB|=1ω(−2π3+2π)，
所以ω=4，故A正确；
可得f(x)=sin(4x+φ)，由f(−π12)=0得sin⁡(−π3+φ)=0，
所以−π3+φ=π+2kπ,k∈Z，
所以φ=4π3+2kπ，k∈Z，
所以f(x)=sin(4x+4π3+2kπ)=sin(4x+4π3)=−sin(4x+π3)，
可得f(9π8)=−sin(9π2+π3)=−12，故B错误；
当x∈(π3,π2)时，4x+π3∈(5π3,2π+π3)，
因为y=−sint在t∈(5π3,2π+π3)为减函数，故f(x)在(π3,π2)上单调递减，故C正确；
将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位得g(x)=−sin(4x+4θ+π3)，(θ0时向左平移)，
g(x)为偶函数得4θ+π3=π2+kπ，k∈Z，
所以θ=π24+kπ4，k∈Z，
则|θ|的最小值为π24，故D正确．
故选：ACD.
令f(x)= 32，求得xA，xB，xC，根据|BC|−|AB|=π3，求得ω=4，根据f(−π12)=0求得f(x)的解析式，再逐项验证BCD选项即可得解．
本题主要考查了由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：A项，(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1，∴a=0.005，A项错误；
B项，[50,70]内频率为：5×0.005×10=0.250.5，
则中位数在[70,80]内，设中位数为x，则0.25+(x−70)×7×0.005=0.5，
则x=77.14，B正确；
成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为34×85+14×95=87.5分，
方差为34×[12+(87.5−85)2]+14×[10+(87.5−95)2]=30.25，C，D正确．
故选：BCD.
根据直方图中的性质逐项计算即可．
本题考查频率分布直方图，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：设平面向量m与n的夹角为θ，
∵对任意的实数t，|m−12n|≤|m+tn|恒成立，
∴对任意的实数t，m2−m⋅n+14n2≤m2+2tm⋅n+t2n2恒成立，又|m|=|n|=1，
∴对任意的实数t，t2+2tcsθ+csθ−14≥0恒成立，
∴Δ=4cs2θ−4csθ+1=(2csθ−1)2≤0，∴csθ=12，∴θ=60∘，∴A选项正确；
对B选项，∵(m+tn)2+(m−tn)2=1+2tcs60∘+t2+1+t2−2tcs60∘=2+2t2与变量t有关，∴B选项错误；
对于C选项，∵|n−tm|= |n−tm|2= 1+t2−2tcs60∘= t2−t+1= (t−12)2+34，
∴当t=12时，|n−tm|取最小值 32，∴C选项错误；
对D选项，∵m在m+n上的投影向量为：
m⋅(m+n)(m+n)2⋅(m+n)=(1+1×1×cs60∘1+1+2×1×1×cs60∘)(m+n)=12(m+n)，∴D选项正确，
故选：AD.
由题意可得：m与n的夹角θ=60∘，然后根据向量的运算逐项进行检验，即可求解．
本题考查向量的数量积的性质与定义，恒成立问题，投影向量的定义，化归转化思想，函数思想，属中档题．
12.【答案】2 33
【解析】解：tan420∘+tan510∘
=tan(60∘+2×180∘)+tan(−30∘+3×180∘)
=tan60∘+tan(−30∘)
=tan60∘−tan30∘=2 33.
故答案为：2 33.
根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，准确计算，即可得出答案．
本题考查三角函数的诱导公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
13.【答案】80π
【解析】解：设扇环形所在圆的半径为r，依题意，扇环形所在扇形的圆心角为π4，
所以π4×12+π4r+2(r−12)=32+10π，解得r=28，
所以每个扇环形的面积为12×π4×282−12×π4×122=80π(cm2).
故答案为：80π.
根据给定条件，利用弧长公式、扇形面积公式列式求解即得．
本题考查了扇形的面积公式应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14.【答案】[518,49144]
【解析】解：根据题意，△ABD是等边三角形，△DBC是等腰三角形，顶角∠BCD=120∘，
连接AM、AN，AC，AC与BD交于点F，设NE=λEM(0≤λ≤1)，可得AE=11+λAN+λ1+λAM，
设AB=2，在等边△ABD中，AF= 3，BF=1，可得CF= 33BF= 33，
所以AC=43AF=43×12(AB+AD)=23AB+23AD，
由AN为△ADC的中线，得AN=12AD+12AC=12AD+13AB+13AD=13AB+56AD，同理可得AM=56AB+13AD，
所以AE=11+λAN+λ1+λAM=11+λ(13AB+56AD)+λ1+λ(56AB+13AD)=5+2λ6+6λAD+2+5λ6+6λAB，
结合已知条件AE=xAB+yAD，可得x=2+5λ6+6λ，y=5+2λ6+6λ，
所以xy=2+5λ6+6λ⋅5+2λ6+6λ=136⋅10+29λ+10λ2(1+λ)2=136⋅10(1+λ)2+9(1+λ)−9(1+λ)2=136⋅[10+91+λ−9(1+λ)2]，
由11+λ∈[12,1]，根据二次函数的性质，可知：当11+λ=12时，xy取得最大值136⋅(10+92−94)=49144，
当11+λ=1时，xy取得最小值136⋅(10+9−9)=518，即xy的取值范围是[518,49144].
故答案为：[518,49144].
根据题意，四边形ABCD是由等边△ABD与等腰△DBC拼接而成，其中∠BCD=120∘.连接AC，交BD交于点F，可推导出AC=43AF=23AB+23AD，利用三角形中线的性质计算出
AM=56AB+13AD且AN=13AB+56AD，设NE=λEM(0≤λ≤1)，可推导出AE=11+λAN+λ1+λAM=5+2λ6+6λAD+2+5λ6+6λAB，从而可得x=2+5λ6+6λ，y=5+2λ6+6λ，将xy表示为关于λ的函数，利用二次函数的性质求出xy的取值范围．
本题主要考查解三角形及其应用、平面向量的线性运算法则、平面向量基本定理、二次函数的性质等知识，属于中档题．
15.【答案】解：(1)∵AD=2DB，
∴AD=23AB，
∴CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB−CA)=23CB+13CA，
∵AP=mAC+12AB，∴AP=mAC+12×32AD=mAC+34AD，
即AP=mAC+34AD，
∵P，C，D三点共线，
∴m+34=1，
解得m=14，
(2)由(1)知AP=14AC+12AB，
∴|AP|2=(14AC+12AB)2=9716116AC2+14AC⋅AB+14AB2，
∵∠BAC=π3，|AC|=3,|AB|=4，
∴|AP|2=9716，
即|AP|= 974.
【解析】(1)根据已知条件得到AP=mAC+34AD，利用P，C，D三点共线，得到m+34=1，即可求解；
(2)根据第一问得到AP=14AC+12AB，两边平方，求模即可．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因函数f(x)图像一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，
则f(x)的周期T=2πω=π，解得ω=2，
有f(x)=2sin(2x+φ)，依题意f(x+π6)=2sin(2x+π3+φ)的图像关于y轴对称，
则有φ+π3=kπ+π2,k∈Z，即φ=kπ+π6,k∈Z，
而|φ|