2024年新疆乌鲁木齐部分学校中考三模考试数学试题（原卷版+解析版）

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注意：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．
2．本卷由问卷和答卷两部分组成．其中问卷共4页，答卷共4页，要求在答卷上答题，在问卷上答题无效；
3．答题时不能使用科学计算器．
一、选择题（共9小题，每题4分，共36分，每题只有一个符合题意的选项）
1. 下列实数中．属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据整数和分数统称有理数，计算判断即可．
本题考查了有理数，无理数的区别，熟练掌握概念是解题的关键．
【详解】A. 是有理数，符合题意；
B. 是无理数，不符合题意；
C. 是无理数，不符合题意；
D. 是无理数，不符合题意；
故选A．
2. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可得：选项A、B、D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选∶C．
3. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．
【详解】解：；
故选：B．
4. 如图，的一边为平面镜，，在上有一点E．从E点射出一束光线经上一点D反射，反射光线恰好与平行，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据得，结合得，利用三角形外角性质，得到，解答即可．
本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握两台性质是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选C．
5. 2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有12个等可能的结果，抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“龘”“龙”“行”分别记为A、B、C，画树状图如图：
共有12个等可能的结果，欢欢抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的结果有8个，
∴抽取完两张卡片后，恰有一张印有汉字“龘”的概率为．
故答案为：A．
6. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．
7. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为，则可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用第三周参与阅读人次第一周参与阅读人次参与阅读人次的月平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
8. 如图，的顶点，，点C在y轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点C，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，求一次函数的解析式，勾股定理，理解题意，灵活运用平移的性质是解决本题的关键．首先可求得直线的解析式，利用勾股定理求出，求出直线的解析式，求出点的坐标，可得结论．
【详解】解：设直线的解析式为，
把，分别代入解析式，得，
解得，
∴直线的解析式为，
，，
，
，，
，
，
，
∴直线的解析式为，
令，则，
，
，，
，
故选：C．
9. 如图1，四边形中，，，，动点E从点A出发，沿折线方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则四边形的面积是（ ）
A. 15B. 16C. 17D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，当运动4秒时，点E与点B重合，此时，当继续运动秒时，点E与点C重合，此时，结合，得到，继而得到， 利用勾股定理，得到，求得，根据解答即可．
本题考查了勾股定理，平行线的性质，函数图象的信息读取与处理，熟练掌握勾股定理，正确读取图象信息是解题的关键．
【详解】根据题意，当运动4秒时，点E与点B重合，此时，
当继续运动秒时，点E与点C重合，
此时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
二、填空题（共6小题，每题4分，共24分）
10. 不等式组的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11. 如图，将绕点A旋转得到，若，，，则的长为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】由直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：，，
，
将绕点旋转得到，
，
故答案为：4
12. 有甲，乙两组数据如下，选择一个成绩稳定的，你会选择__________．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【解析】
【分析】先计算各组数据的平均数，再计算各组数据的方差，方差小的一组数据较稳定．
本题考差了利用方差来判断数据的稳定性．，熟练掌握方差的计算公式是解题的关键．
【详解】由表格可知：
，
，
，
，
∴乙组数据较稳定，
∴选择乙．
故答案为：乙
13. 点，是反比例函数的图象上的两点，则__________（填“”，“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的的增减性解答即可．
【详解】解：，
反比例函数的图象在一、三象限，且分别在一、三象限内随的增大而减小，
点，是反比例函数的图象上，且，
，
故答案为：．
14. 阅读材料：
如图，已知直线l及直线l外一点P．
按如下步骤作图：①在直线l上任取两点A，B，作射线，以点P为圆心，长为半径画弧，交射线于点C；②连接，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线，交于点Q；③作直线．若与的面积分别为，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查作图复杂作图、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．作图过程可知，直线是线段的垂直平分线．由题意可得，，可证明，根据相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：由作图过程可知，，是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点D为边上的中点．连接，过点B作于点E，延长交于点F，则的长为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】过点D作于点M，根据，，确定，，结合，计算即可．
【详解】过点D作于点M，
∵，，点D为边上的中点，．
∴，，，；
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握勾股定理，特殊角的三角函数，三角函数的应用是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂，特殊角的函数值，零指数幂公式计算即可：
（2）根据解分式方程的基本步骤解答即可解方程．
本题考查了负整数指数幂，特殊角的函数值，零指数幂，分式方程的解法，熟练掌握公式，
【详解】（1）．
（2）
，
．
检验：把代入最简公分母，
故是原分式方程的解．
17. （1）先化简，再求值：，从1，2，3，4中选取一个适当的数代入求值；
（2）甲、乙两人同时骑摩托车从相距的两地相向而行，经过相遇，甲每小时比乙慢，甲、乙的速度分别是多少？
【答案】（1）；当时，原式或当时，原式；（2）甲的速度是17千米/时，乙的速度是23千米/时
【解析】
【分析】（1）先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
（2）设甲的速度是x千米/时，则乙的速度是千米/时，根据题意得：，解方程即可．
本题考查了分式的化简求值，一元一次方程的应用，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】．（1）
．
，，
，，
当时，原式．
当时，原式．
（2）设甲的速度是x千米/时，则乙的速度是千米/时，
根据题意得：，
解得：，
．
答：甲的速度是17千米/时，乙的速度是23千米/时．
18. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）20
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边平行且相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（1）根据平行四边形的性质得出，则，通过证明四边形是平行四边形，结合，即可求证；
（2）根据题意推出，则，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴矩形的面积是：．
19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级学生；
（2）学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
（3）你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】（1）85，87，七；
（2）220 （3）八年级，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【小问1详解】
解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
【小问2详解】
（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
【小问3详解】
我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
20. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
（1）甲队在开挖后6小时内，每小时挖______m．
（2）当时，求乙队y与x的之间的函数关系式．
（3）直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【答案】（1）10 （2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据图象中给出的性质可知，甲队6小时内挖的总长度为，即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）分别求出在时，乙队与x的之间的函数关系式，在时，甲队与x的之间的函数关系式，然后再列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵甲队6小时内挖的总长度为，
∴甲队在开挖后6小时内，每小时挖，
故答案为：10．
【小问2详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
；
【小问3详解】
解：设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为：，
由图可知，函数图象过点，
∴，解得：，，
；
当时，令，解得：；
当时，令，解得：；
令，解得：；
综上分析可知，开挖后或或，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
【点睛】本题主要考查了一次函数应用，根据函数图象获得信息，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，根据图象求出相应的函数解析式．
21. 秋千是我国民间传统的体育运动，在木架或铁架两边悬挂绳索，下拴横板，人在板上，身躯随之前后向空中摆动．如图，秋千链子静止状态的长度为，当摆角为时，座板离地面的高度为；当摆动至最高位置时，摆角为．
（1）求的长．
（2）座板离地面的最大高度为多少？
（结果精确到，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）
（2）座板离地面的最大高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题及三角函数解答解答．
（1）过点B作于点，由四边形是矩形，得出的长度，再利用三角函数得出，即可得出，然后在减去秋千链子静止状态的长度即可得出答案；
（2）过点A作于点．根据动至最高位置时的度数，利用三角函数得出、根据静止时的长度，即可得出座板离地面的最大高度．
【小问1详解】
如图，过点B作于点．
，
，
四边形是矩形，
．
，，
在中
，
，
秋千链子静止状态OC的长度为，
，
【小问2详解】
如图，过点A作于点．
，，
，
，
．
答：座板离地面的最大高度为．
22. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点G，过D作于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求的长；
（3）当，时，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）1
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，证明即可得证是的切线；
（2）连接，，结合，，得到等边，，利用等边三角形的性质，平行线分线段成比例定理，计算即可的长即可；
（3）根据，，求得 ，证明即可求的值．
【小问1详解】
证明：连接，如图1所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：连接，，如图2所示：
是的直径，
，
即，，
，，
，是等边三角形，
，
，
，
，
．
，
，
．
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：．
【点睛】本题考查了切线的证明，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的三线合一性质，三角函数的应用，熟练掌握切线证明，三角函数的应用，三角形相似判定和性质是解题的关键．
23. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（、是常数）经过点、，点在该抛物线上．
（1）求该抛物线对应函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）当点关于轴的对称点在直线上时，求的值．
（3）过点作轴于点，当时，在线段上取点，点坐标为，当的周长最小时，求这个最小值以及点的坐标．
（4）点也在该抛物线上，当抛物线在两点之间部分（含、两点）对应的函数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1），
（2）
（3）最小值为，交点
（4），
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）将点关于轴的对称点为代入直线的解析式即可；
（3）点关于直线的对称点为，关于轴的对称点，与的交点为，与轴的交点为时，的周长最小，最小值为，直线与直线的交点为；
（4）①当时，最大值为3，最小值为，可得；②当时，最大值为，最小值为，此时不存在；③当时，最大值为，最小值为，此时不存在；④当时，最大值为3，最小值为，解得；⑤当时，最大值为3，最小值为，此时无解．
【小问1详解】
解：将点、代入，
，
解得，
抛物线的解析式为，
，
顶点为；
【小问2详解】
解：点在该抛物线上，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
点关于轴的对称点为，
，
解得；
【小问3详解】
解：如图，
点关于直线的对称点为，关于轴的对称点，与的交点为，与轴的交点为时，的周长最小，最小值为，
直线的解析式为，
当时，解得，
，；
【小问4详解】
解：、在抛物线上，
，，，
当、重合时，，解得，
当点与抛物线顶点重合时，，当点与抛物线顶点重合时，，解得，
①当时，最大值为3，最小值为，
，
解得或（舍；
②当时，最大值为，最小值为，
，
解得（舍或（舍；
③当时，最大值为，最小值为，
，
解得（舍或（舍；
④当时，最大值为3，最小值为，
，
解得或（舍；
⑤当时，最大值为3，最小值为，
，
此时方程无解；
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．甲
10
12
13
14
16
乙
12
12
13
14
14
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
八年级
84
87