湖南省长沙市2024届中考数学模拟冲刺训练

这是一份湖南省长沙市2024届中考数学模拟冲刺训练，共30页。
温馨提示：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．2024年3月27日清晨，在中国太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将云海三号02星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．长六改火箭总长约50米，起飞重量约530000千克．其中数据530000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．“青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，80，85，80，90，80，85．则这组数据的众数为（ ）
A．78B．80C．85D．90
4．亮亮的妈妈在超市买了24个青团，其中豆沙馅的8个，芋泥馅的6个，蛋黄肉松馅的10个，它们的形状、大小和重量都是一样的，这些青团装在一个不透明的塑料袋中．小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（ ）
A．1B．C．D．2
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在一艘小船A上测得海岸上高为的灯塔的顶部C处的仰角是，则船离灯塔的水平距离等于（ ）
A．B．C．D．
9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，二次函数：的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线，点B坐标为，则下面的五个结论：
①；②；③当时，或；④；⑤（m为实数），其中正确的结论是（ ）
A．②③④⑤B．①③④⑤C．①②④⑤D．①②③⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解： ．
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点．若，，则的长为 ．
14．某校为开展“阳光体育”活动，组织调查了该校50名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如图所示的扇形统计图．全校共有3200名学生，估计该学校选择羽毛球的学生有 名．
15．如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点，连接，若的面积为，则的值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．解方程组：
20．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
(1)篮球、足球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
21．我校为加强学生安全意识，组织全校学生参加安全知识竞赛．从中抽取部分学生成绩进行统计，绘制以下两幅不完整的统计图．

请根据图中的信息，解决下列问题：
(1)填空：；
(2)补全频数直方图；
(3)我校共有3000名学生，若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，则我校安全意识不强的学生约有多少人？
22．如图，是的直径，C，D是上两点，为的切线，且，垂足是E，连接交于点F．

(1)求证：平分；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
23．如图是某款篮球架的示意图，已知底座米，底座与支架所成的角，支架的长为米，篮板顶端点到篮框的距离米，篮板底部支架与支架所成的角．（参考数据：，，，，）
(1)求支架的顶端到地面的距离的高度．（精确到米）；
(2)求篮框D到地面的距离（精确到米）．
24．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形顶点A的坐标为．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)反向延长，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
25．定义：对于函数，当自变量，函数值时，则叫做这个函数的不动点．
(1)直接写出反比例函数的不动点是______．
(2)如图，若二次函数有两个不动点，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为．
①求该二次函数的表达式；
②连接，M是线段上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点满足，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
阅读材料：在平面直角坐标系中，若点E和点F的坐标分别为和，则点E和点F的距离为．
26．【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，______度，之间的数量关系是______．
【问题延伸】
（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是______；
②线段的数量关系是______；
请任选一个你的猜想说明理由．
【问题解决】
（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：530000；
故选C．
2．D
【分析】本题考查了整式的运算，涉及整式的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方等知识，解题的关键是掌握相关的计算法则．根据相关的计算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义进行求解即可．
【详解】解：数据为78，80，85，80，90，80，85，数据中80这个数最多，
则这组数据的众数为80，
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了概率公式，先确定总数为24个，芋泥馅的6个，再根据概率公式计算即可．
【详解】根据题意可知一共有24个青团，每种结果出现的可能性相同，芋泥馅有6个，所以小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，由推出，根据、都与地面平行，推出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
、都与地面平行，
，
，
故选：C．
6．A
【分析】首先证明为等腰三角形，易得，进而可得，再证明为的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵是的中点，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
7．C
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
由①得：；
由②得：；
∴不等式组的解集为：
故选：C
8．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为，
故选：A．
9．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，列出方程组即可．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意得：
，
故选：A．
10．D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．开口方向，对称轴，与轴的交点坐标判断①，特殊点判断②，图象法解不等式，判断③，特殊点结合对称轴，判断④，最值判断⑤；掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∵抛物线与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴与的函数值相等，即：，故②正确；
∵点关于的对称点为，
∴当时，或；故③正确；
∵图象过点，，
∴，
∴；故④错误；
∵抛物线的开口向下，
∴当时，函数值最大，
即：，
∴；故⑤正确；
综上，正确的结论是①②③⑤；
故选：D．
11．
【分析】本题主要考查因式分解，运用公式法分解即可
【详解】解：
，
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，得到，再解不等式即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，勾股定理，设交于点，连接，根据作图可知，，再根据平行四边形的性质及等角对对边得出，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质及勾股定理即可得出答案．
【详解】解：如图，设交于点，连接,
由作图可知：，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握用样本估计整体成为解题的关键．
先求出羽毛球所占的百分比，然后再乘以全校的学生数即可解答．
【详解】解：羽毛球所占的百分比为，
所以该学校选择羽毛球的学生有名．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查扇形面积公式、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定和性质等，先证明是等边三角形，根据求出半径，进而利用勾股定理求出，再根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，
，，
，，即，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义（过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为），熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵的面积为，为的中点，
∴，
∵轴，
∴，
∵反比例函数图像在第二象限，
∴．
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂，求特殊角三角函数中，先计算特殊角三角函数值，算术平方根和负整数指数幂，再计算乘方，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18．，．
【分析】本题主要考查了分式化简求值．先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19．
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
先化简①式，再运用加减消元法即可求解．
【详解】解：
①式化简去分母得，，
整理得，，
∴得，，
∴，
∴，
解得，，
∴原方程组的解为．
20．(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
(2)该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用等知识点，根据题意正确列出方程组和不等式成为解题的关键．
（1）设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，根据等量关系“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出方程组求解即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设篮球的单价是x元，足球的单价是y元，
依题意得：，解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，
购买篮球和足球的总费用
依题意得：，
解不等式①得：．
解不等式①得：．
∴m的取值范围为：，
∵购买篮球和足球的总费用，，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，最省钱，
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
答：该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
21．(1)75，54；
(2)图见详解
(3)900人
【分析】本题考查了频数（率分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．
（1）先由组人数及其所占百分比求出总人数，总人数乘以、组对应百分比求出人数，再用乘以组人数所占比例即可得；
（2）根据以上所求结果可得答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【详解】（1）解：被调查的总人数为（人），
，
组人数为（人），
则组人数为（人），
，
故答案为：75，54；
（2）解：补全直方图如下：

（3）解：（人），
答：该校安全意识不强的学生约有900名．
22．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（1）连接，利用切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，结合角的平分线的定义证明即可；
（2）连接，设交于点G，证明，利用等量代换，垂径定理，证明即可；
（3）设，，则，结合，勾股定理，三角函数计算即可．
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵为的切线，
∴．

∵，
∴，
∴，
∴．
又∵
∴，
∴，即，
∴平分．
（2）证明：如图，连接，设交于点G，

由（1）得，
∴C为劣弧的中点，
∴，．
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
∵，，，
∴，即．
（3）解：设，，
则，
代入中，
得，

解得，
∴．
在中，
，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴．
在中，
，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，角的平分线的定义，熟练掌握切线的性质，勾股定理，三角函数，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
23．(1)的高度为米
(2)篮框到地面的距离约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键．
（1）直接根据即可求解；
（2）延长交射线于点，过点作于点，则四边形是矩形，解，求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：在中，，
（米），
∴的高度为米；
（2）如图，延长交射线于点，过点作于点．
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴（米）．
∵，则，
∴．
在中，（米），
∴（米），
∴篮框到地面的距离约为米
24．(1)；
(2)或或或
(3)或
【分析】（1）过点A作轴于E，过B作轴于G．由点A的坐标可求出．再根据菱形的性质可知，轴,即得出，，即，最后利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2））根据勾股定理得到，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到，②当D 为顶点时，，根据菱形的性质得到；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论；
（3）反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，即得出，．设，则，．分类讨论：①以为斜边时，②以为斜边时和③以为斜边时，根据勾股定理分别列出关于t的等式，解出t即可．
【详解】（1）解：过点A作轴于E，过B作轴于G，如图，
∵，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，轴,
∴，
∴，
∴．
∵过B点的反比例函数解析式为，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
①当O为顶点时，，
∴或；
②当D为顶点时，，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴；
③当B为顶点时，，则，
∴，
∴；
综上所述：D的坐标为或或或；
（3）解：如图，反向延长，与反比例函数在第三象限交于点F，
∵，
∴，
∴．
设，则，，
①以为斜边时，，
∴，
解得，
∴Q或；
②以为斜边时，，
∴，
解得，
∴；
③以为斜边时，，
∴，
解得，
∴．
综上所述，Q的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．正确的作出辅助线是解题关键．
25．(1)，；
(2)①；②存在，m的最大值为．
【分析】本题考查了待定系数法求解抛物线表达式与二次函数的性质，相似三角形的判定与性质等知识，
（1）根据不动点的定义求解即可；
（2）①根据抛物线经过点、，利用待定系数法求解即可；②延长交x轴于点A，求出,的解析式，联立求出点N的坐标，设点，利用相似三角形的性质得出，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把，函数值代入，
，解得，
故答案为：，．
（2）①∵二次函数有两个不动点0与3，
∴点、在二次函数的图象上．
将，代入得，解得．
∴二次函数的表达式为．
②延长交x轴于点A，设，
∵，
∴，则，
解得，．设直线的表达式为，
将，代入得，解得．
∴直线的表达式为，同理直线的表达式为．
联立，解得，，则．
设点，由，，可得
，．
．
∵，，
∴．
∴，
则，
整理得．
∴，
整理得．
∵，
∴当时，．
∴在x轴正半轴上存在点，且m的最大值为．
26．（1）；（2）①，②，理由见解析；（3）
【分析】（1）根据小红组的研究方法写出求解过程即可；
（2）猜想①可由（1）得到结论，仿照（1）过程证明；选择猜想②证明：根据正方形的性质和旋转性质可将绕点B逆时针旋转，得到，证明G、D、F、C共线，和得到，，进而可得结论；
（3）在y轴正半轴上截取，连接，，利用（1）中结论知，根据坐标与图形性质得到，，进而得到，，由求得，则，即可求解．
【详解】解：（1）如图2，
∵在中，，
∴，
由旋转性质得，，，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，又，，
∴，则，
在中，，
∴，
故答案为：，；
（2）猜想：①；②；
选择猜想②，证明过程如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
如图③，将绕点B逆时针旋转，得到，则，，，，
∴，则G、D、F、C共线，
∵，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：①；②；
（3）如图，在y轴正半轴上截取，连接，，则，
由（1）得，
∵点，点，
∴，，
∴，，
∴，解得，
∴，
则点C坐标为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、坐标与图形等知识，熟练掌握利用旋转的性质构造全等三角形探究线段之间的关系是解答的关键．