2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年广东省江门市鹤山市鹤华中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知(1+i)z=3−i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 5B. 5C. 2D. 2
2.已知向量a=(2,1),b=(x,−2)，若a//b，则a+b=( )
A. (−2,−1)B. (2,1)C. (3,−1)D. (−3,1)
3.在△ABC中，若A=60∘，BC=4 3，AC=4 2，则角B的大小为( )
A. 30∘B. 45∘C. 135∘D. 45∘或135∘
4.把一个铁制的底面半径为4，侧面积为163π的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的半径为( )
A. 32B. 3C. 2D. 6
5.在△ABC中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且AE=3EC，则ED=( )
A. −12AB+14ACB. 12AB−23ACC. 12AB−14ACD. −12AB+23AC
6.已知α、β为锐角，且sinβ=35，cs(α+β)=−513，则sinα的值为( )
A. 6365B. 3365C. −4865D. 4865
7.把函数y=sin(2x+4π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的最小值为( )
A. π6B. 2π3C. 5π6D. 5π12
8.如图，所有棱长都等于2 3的三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为( )
A. 27 3π
B. 28 21π3
C. 28 7π
D. 28 73π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z=21+ 3i，则( )
A. 复数z在复平面内对应的点在第三象限B. 复数z的实部为12
C. z−=1zD. 复数z2的虚部为 32
10.已知下列四个命题为真命题的是( )
A. 已知非零向量a，b，c，若a//b，b//c，则a//c
B. 若四边形ABCD中有AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形
C. 已知e1=(1,−2)，e2=(−2,4)，e1，e2可以作为平面向量的一组基底
D. 已知向量a=(−1,1)，b=(3,1)，则b在a方向上的投影向量的模为 2
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若acsB=bcsA，则△ABC为一定是等腰三角形
C. asinA=b+csinB+sinC
D. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是______.
13.如图，在矩形ABCD中，AB= 2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB⋅AF= 2，则AE⋅BF的值是__________.
14.函数f(x)=12sinωx+ 32csωx在x∈[0,π]上恰有2个零点，则ω的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b，若|a|=2|b|=2，a⋅b=−1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|2a−b|；
(3)当λ为何值时，向量λa+b与向量a−3b互相垂直？
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且3asinB+ 3bcsA=0.
(1)求角A的大小；
(2)若b=4，△ABC的面积S=2 3，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，BC//AD，BC=1，AD=3，△ABC为等边三角形，E是CD的中点.设AB=a，AD=b.
(1)用a，b表示AC，AE；
(2)求∠BAE的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|b，
由正弦定理知，asinA=bsinB，所以sinA>sinB，即选项A正确；
选项B，由正弦定理及acsB=bcsA知，sinAcsA=sinBcsB，
所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，
所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；
选项C，由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC=2R，
所以b=2RsinB，c=2RsinC，
左边=asinA=2R，右边=b+csinB+sinC=2R(sinB+sinC)sinB+sinC=2R=左边，即选项C正确；
选项D，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，所以A>π2−B，
因为A，B∈(0,π2)，所以π2−B∈(−π2,0)，
又函数y=sinx在(−π2,π2)上单调递增，所以sinA>sin(π2−B)=csB，即选项D正确．
故选：ACD.
选项A，结合“大角对大边”与正弦定理，即可判断；
选项B，利用正弦定理化边为角，再由二倍角公式，即可得解；
选项C，直接利用正弦定理化简即可；
选项D，结合A+B>π2，正弦函数的单调性与诱导公式，可判断．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】28
【解析】解：根据题意，直观图A′B′C′D′为梯形，其面积S′=(2+5)×4sin45∘2=7 2，
则原图的面积S=2 2S′=28.
故答案为：28.
根据题意，求出直观图的面积，由原图面积与直观图面积的关系分析可得答案．
本题考查平面图形的直观图，注意原图面积与直观图面积的关系，属于基础题．
13.【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积的运算，属中档题．
根据所给的图形，结合向量加法法则，把所给向量转化成共线向量或垂直向量的数量积，从而得到结果．
【解答】解：∵AF=AD+DF，
AB⋅AF=AB⋅(AD+DF)
=AB⋅AD+AB⋅DF=AB⋅DF= 2|DF|= 2，
∴|DF|=1，|CF|= 2−1，
∴AE⋅BF=(AB+BE)⋅(BC+CF)
=AB⋅CF+BE⋅BC=− 2( 2−1)+1×2=−2+ 2+2= 2，
故答案为： 2.
14.【答案】[53,83)
【解析】解：因为f(x)=12sinωx+ 32csωx，
化简得f(x)=sin(ωx+π3)，
又x∈[0,π]，得ωx+π3∈[π3,ωπ+π3](ω>0)，
因f(x)在[0,π]上恰有2个零点，
所以2π≤ωπ+π3