上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷(含答案)

这是一份上海市华东师范大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期5月质量检测数学试卷(含答案)，共7页。

（考试时间：120分钟 卷面满分：150分）
一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.2024弧度的角在第__________象限.
2.已知为虚数单位，则复数的虚部为__________.
3.在直角中，，则的值是__________.
4.已知，且在第二象限，则__________.
5.函数图像的对称中心的坐标为__________.
6.若非零向量，且设，则实数__________.
7.已知复数满足，则的取值范围是__________.
8.己知分别是函数在轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且，则该函数的最小正周期是__________.
9.已知函数，若函数在区间内严格增，且函数的图像关于直线对称，则的值为__________.
10.正方形的边长为4，点是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点.点为平面上一点，满足，则的最小值为__________.
11.已知为虚数单位，复数，其中为正偶数，.则当取到最小值时，的值为__________.
12.已知平面上五个点，满足，，则的最小值为__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.已知，语句中至少有一个为虚数，语句为虚数.则是的（ ）条件.
A.充要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分也不必要
14.设为平面向量，满足，且.则中，值最小的是（ ）
A. B. C. D.不能确定
15.已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（ ）
A. B.
C. D.
16.已知为虚数单位，复数满足.则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
设关于的方程的两根为
（1）若，求的值；
（2）若方程至少有一根的模为1，求的值.
18.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
设的内角所对的边分别为，若，且.
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，其边框由大､小不等的两个同心圆围成，内嵌的正方形孔的中心与同心圆的圆心重合.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其“小圆”内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比正方形孔的边长小､用于刻铜钱上的字），每个正方形有两个顶点在圆周上､另两个顶点在孔边上.设，五个正方形的面积和为.
（1）求面积关于的函数表达式；
（2）求面积最小值，和取到最小值时的的值.
20.（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）
已知是的中点.
（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若是线段上任意一点，且，求的最小值；
（3）若点是内一点，且，求的最小值.
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知为虚数单位，复数满足.
（1）若，求复数的辐角主值；
（2）若，复数满足为实数.则复数在复平面上所对应的点的集合是什么图形？说明理由.
（3）已知复平面上点对应的复数分别为.记复数的辐角主值为.求的取值范围.
华东师大二附中2023学年第二学期5月质量检测
高一数学
（考试时间：120分钟 卷面满分：150分）
一､填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.一 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，13-14题每题4分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13.C 14.B 15.D 16.D
三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.解：（1）
（2），即.
将代入方程得，即，
将代入方程得，即
，即为共轭虚根，则
设，则，
故（满足）.
综上，的值为.
18.解：（1），
由正弦定理，可得，即.
由余弦定理得，又，所以.
（2）
由为锐角，得，且，所以，从而.
所以的取值范围为.
19.解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点分别为小正方形和大正方形边的中点.
所以小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
所以五个正方形的面积和为
，
，定义域为，
（2）
，其中，
所以，此时/或者写.
20.解：（1）因为，所以，
以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
令，则，
所以，
设向量与向量的夹角为，
所以.
（2）因为，所以，
以的原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
因为，所以，
设，
所以
，
当且仅当时，取得最小值，为.
（3）设，则，
因为，
所以，
，
所以
，此时.
21.解：（1）的辐角主值为.
（2）解法一：设，则
为纯虚数
为纯虚数
，为纯虚数或0
即，且.
是以为圆心､半径为1的圆，不含点
解法二：与对应的向量垂直，所以为纯虚数
为纯虚数或0
与对应的向量垂直，
对应点在以点的连线为直径的圆上，且
综上，是以为圆心､半径为1的圆，不含点
（3）设，则.
设的一个辐角为的一个辐角为.
.
令.
设，即，解得范围为，
若，则的范围是若，则的范围是.
的范围是.