湖南省长沙市雨花区2024年中考适应性考试数学试题(一)（含解析）

这是一份湖南省长沙市雨花区2024年中考适应性考试数学试题(一)（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全球第一．下列城市轨道交通标志是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．（a﹣1）2＝a2﹣1
C．D．a2•a3＝a6
4．（3分）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，则整数m的最小值是（ ）
A．2B．3C．6D．8
5．（3分）不透明的袋子中装有2个白球和3个黑球，除颜色外，这5个小球无其他差别．随机从袋子中摸出3个球，下列事件中是必然事件的是（ ）
A．3个球都是白球B．至少有1个黑球
C．3个球都是黑球D．有1个白球2个黑球
6．（3分）某班甲、乙、丙、丁四名篮球运动员进行投篮测试，每人每轮10次投篮机会，投进个数的平均数（单位：个）及方差s2（单位：个2）如表所示：
根据表中数据可知，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加学校的投篮比赛，应选择（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3分）如图，直线CD，EF被射线OA，OB所截，CD∥EF，若∠1＝105°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．65°C．75°D．85°
8．（3分）如图，△ABC中，根据尺规作图的痕迹推断，下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠BAQ＝∠CAQB．BE＝CEC．AF＝ACD．∠BED＝90°
9．（3分）如图，在由大小相同的小正方形组成的网格中有一条“心形线”．数学小组为了探究随机投放一个点恰好落在“心形线”内部的概率，进行了计算机模拟试验，得到如下数据：
根据表中的数据，估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为（ ）
A．0.46B．0.50C．0.55D．0.61
10．（3分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶角A在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A．4B．C．2D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）最新数据显示，长沙市在2023年全国的地区生产总值（GDP）达到了1.43万亿元，同此增长4.8%．将数据1.43万亿用科学记数法表示为 ．
12．（3分）化简+的结果为 ．
13．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣mx+3＝0有两根，其中一根为x＝1，则两根之和为 ．
14．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知△ABC与△DEF的面积之比是9：1，则AO与OD之比是 ．
15．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝，∠ACB＝45°，则⊙O的半径为 ．
16．（3分）我们探究得方程x+y＝2的正整数解只有1组，方程x+y＝3的正整数解只有2组，方程x+y＝4的正整数解只有3组，…，那么方程x+y+z＝8的正整数解有 组．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（6分）白鹭塔位于长沙的城市“绿肺”——长沙洋湖湿地景区，塔体采用多层密檐形式，以八角、七层、重檐为基本特征，既宏伟壮观又具湖南地域特色．某数学兴趣小组要利用测角仪测量白鹭塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的景观桥，已知CD＝100（2﹣）m，∠DCE＝30°，点E、C、A在同一条水平直线上．在景观桥C处测得塔顶部B的仰角为45°，在景观桥D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求DE的长；
（2）求白鹭塔AB的高度．
（参考数据：sin27°≈45，cs27°≈0.89，tan27°≈0.50，≈1.732，结果取整数）
20．（8分）为提高学生身体素质，某校决定开展足球、篮球、排球、乒乓球等四项课外体育活动，要求全员参与，并且每名学生只能选择其中一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，该校随机抽取若干名学生进行调查，并绘制出如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）该校共有1200名学生，估计该学校学生选择排球的有多少人？
（4）请你根据调查结果向该校提一条合理建议．
21．（8分）如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠BFG＝35°，∠EDB＝145°．
（1）试判断BF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若GF＝GB，求∠A的度数．
22．（9分）为进一步改善生态环境，某小区决定在小区内种植香樟和红枫．已知购买10棵香樟和5棵红枫共花费275元，购买1棵红枫比购买1棵香樟多花10元．
（1）求购买1棵红枫和1棵香樟各需多少元；
（2）通过大家的共同努力，今年该小区被评为“绿色小区”，小区计划用不超过800元的经费再次购买香樟和红枫共40棵，若单价不变，则本次至少可以购买多少棵香樟？
23．（9分）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F．
（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件： ，使得OE＝OF，并说明理由；
（2）若OE＝OF，AB＝6，BC＝8，求EF的长．
24．（10分）如图，半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧AB上的一个动点（点C不与点A，B重合），过圆心O分别作弦AC，BC的垂线OD，OE，垂足分别为D，E．
（1）求∠DOE的度数；
（2）当点C沿着弧AB从点A出发，顺时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）设AC＝a，BC＝b，连接AB，分别交OD，OE于点M，N，记以线段AM，MN，NB为三边的三角形的外接圆半径为r，当四边形DOEC的面积取最大值时，求的值．
25．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，若抛物线上存在点C，使∠ACB＝45°，就称此抛物线为“星城”曲线，点C为其“星城”点．
（1）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点O（0，0），B（2，0），直线l过点B，与抛物线相交于另一点C，与y轴相交于点E，若此抛物线为“星城”曲线，点C为其“星城”点，且∠COB＝75°，求直线l的解析式；
（2）如图②，已知抛物线y＝ax2﹣ax﹣6a（a＜0）为“星城”曲线，与x轴相交于A，B点，与y轴相交于点C，当点C为其“星城”点时，求△ABC的面积；
（3）如图③，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）为“星城”曲线，与x轴相交于点A（﹣4，0），
B（4，0），Q为曲线上的“星城”点，当“星城”点Q至少有3个时，求代数式c2+32a﹣2023的最小值．
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【解答】解：∵是有理数，
∴选项A不符合题意；
∵﹣是负数，
∴选项B不符合题意；
∵是比1小的正无理数，
∴选项C符合题意；
∵是比1大的正无理数
∴选项D不符合题意，
故选：C．
2．【解答】解：A、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
B、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
C、交通标志是中心对称图形，符合题意；
D、交通标志不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．【解答】解：×＝3，故选项A正确，符合题意；
（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误，不符合题意；
不能合并，故选项C错误，不符合题意；
a2•a3＝a5，故选项D错误，不符合题意；
故选：A．
4．【解答】解：∵三条线段的长分别是6，m，8，它们能构成三角形，
∴8﹣6＜m＜8+6，
∴2＜m＜14，
∴整数m的最小值是3．
故选：B．
5．【解答】解：A、3个球都是白球，是不可能事件，不符合题意；
B、至少有1个黑球，是必然事件，符合题意；
C、3个球都是黑球，是随机事件，不符合题意；
D、有1个白球2个黑球，是随机事件，不符合题意；
故选：B．
6．【解答】解：由表知甲、丙、丁成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
∵丁的方差较小，
∴丁发挥稳定，
∴选择丁参加比赛．
故选：D．
7．【解答】解：如图：
∵∠1＝105°，
∴∠3＝180°﹣∠1＝75°，
∵CD∥EF，
∴∠2＝∠3＝75°，
故选：C．
8．【解答】解：由作图知，AQ是∠BAC的角平分线，
∴∠BAQ＝∠CAQ，故A不符合题意；
由作图知MN垂直平分BC，
∴BE＝CE，∠BED＝90°，故B，D不符合题意；
无法证明AF＝AC，故C符合题意，
故选：C．
9．【解答】解：当试验次数逐渐增大时，落在“心形线”内部的频率稳定在0.50附近，
则估计随机投放一点落在“心形线”内部的概率为0.50．
故选：B．
10．【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OC＝OB，
∵B（4，0），
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝2，AC＝2．
∴A（2，2），
∵等边三角形OAB的顶角A在反比例函数的图象上，
∴k＝2×＝4．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．【解答】解：1.43万亿＝1.43×104×108＝1.43×1012，
故答案为：1.43×1012．
12．【解答】解：原式＝﹣
＝
＝x．
故答案为：x．
13．【解答】解：∵方程的其中一根为x＝1，
∴2﹣m+3＝0，
解得m＝5，
∴方程为2x2﹣5x+3＝0，
∴两根之和为﹣＝．
故答案为：．
14．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，△ABC与△DEF的面积之比是9：1．
∴△ABC∽△DEF，AB：DE＝OA：OD＝3：1，
故答案为：3：1．
15．【解答】解：连接OA，OB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
在Rt△AOB中，AB＝5，
∴OA＝AB•cs45°＝5×＝5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
16．【解答】解：令x+y＝t（t≥2）
则t+z＝8的正整数解有：t＝2，3，4，5，6，7，共6组．
其中t＝x+y＝2的正整数解有1组；
t＝x+y＝3的正整数解有2组；
t＝x+y＝4的正整数解有3组；
..．
t＝x+y＝7的正整数解有6组．
总的正整数解组数为：1+2+3+4+5+6＝21，
故答案为：21．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：
＝1+2﹣5﹣4×
＝1+2﹣5﹣2
＝﹣4．
18．【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤4，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
19．【解答】解：（1）由题意得：DE⊥CE，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100（2﹣）m，
∴DE＝CD＝50（2﹣）≈13（m），
∴DE的长约为13m；
（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，
由题意得：DF＝AE，DE＝AF＝50（2﹣）m，
在Rt△DEC中，∠DCE＝30°，CD＝100（2﹣）m，
∴CE＝CD•cs30°＝100（2﹣）×＝（100﹣150）m，
设AC＝x m，
∴DF＝AE＝CE+AC＝（100﹣150+x）m，
在Rt△ABC中，∠BCA＝45°，
∴AB＝AC•tan45°＝x（m），
在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，
∴BF＝DF•tan27°≈0.5（100﹣150+x）m，
∵AF+BF＝AB，
∴50（2﹣）+0.5（100﹣150+x）＝x，
解得：x＝50，
∴白鹭塔AB的高度约为50m．
20．【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：本次调查共抽取了50名学生；
（2）选择排球的人数为：50﹣8﹣12﹣10＝20，
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（人），
答：估计该学校学生选择排球的大约有480人；
（4）由统计图可知，选择排球的人数较多，建议学校适当增加和完善排球场地．（答案不唯一）．
21．【解答】解：（1）结论：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴FG∥BC，
∴∠BFG＝∠FBC，
∠BFG＝35°，
∴∠FBC＝35°，
节∠EDB＝145°，
∴∠FBC+∠EDB＝180°，
∴BF∥DE，
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC；
（2）∵GF＝GB，
∴∠GBF＝∠BFG＝35°，
∴∠ABC＝70°，
∵DE∥BF，
∴∠CDE＝∠FBC＝35°，
∵DE⊥AC，
∠CED＝90°，
∴∠C＝55°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣55°＝55°．
22．【解答】解：（1）设购买1棵红枫需x元，购买1棵香樟需y元，
由题意可得：，
解得：，
答：购买1棵红枫需25元，购买1棵香樟需15元；
（2）设红枫a棵，
由题意可得：25a+15（40﹣a）≤800，
解得：a≥20，
∵a为正整数，
∴至多可以购买20棵红枫．
∴至少可以购买20棵香樟
23．【解答】解：（1）AO＝CO；
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
又∵AO＝CO，
∴△AOF≌COE（ASA），
∴OE＝OF．
（2）∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，
∴AC＝＝10，
∵EF⊥AC，
∴∠AOF＝∠COE，
∵AD∥BC，
∴∠FAO＝∠ECO，
又∵EO＝FO，
∴△AOF≌COE（AAS），
∴AO＝CO＝5，
在Rt△COE中，tan∠OCE＝＝，
在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，
∴，
∴，
∴EF＝．
24．【解答】解：（1）连接OC，如图一，
∵OE⊥BC，OD⊥AC，
∴BE＝EC，CD＝DA，
∵OB＝OC，OA＝AC，
∴∠COE＝BOC，∠COD＝AOC，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝（∠BOC+∠AOC）＝BOA＝45°．
（2）连接OC，如图二，
∵OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴O，E，C，D四点在以OC为直径的圆上，该圆为△ODE的外接圆，
∴△ODE的外心P为OC的中点，
∴OP＝OC＝2，
∵∠AOB＝90°，C为弧AB上的一个动点，
∴△ODE的外心P的运动的轨迹为以O为圆心，2为半径的圆周，
∴△ODE的外心P所经过的路径的长度＝×2×2π＝π．
（3）连接CM，CN，如图三，
∵半径为4的扇形AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝4．
由（1）知：OE垂直平分BC，OD垂直平分AC，
∴NB＝NC，MC＝MA．
∴∠NBC＝∠NCB＝α，∠MAC＝∠MCA＝β，
∴∠CNM＝2α，∠NMC＝2β．
∵∠DOE＝45°，OE⊥BC，OD⊥AC，
∴∠BCA＝135°．
∴∠NCM+α+β＝135°．
∵∠NCM+∠MNC+∠NMC＝180°，
∴∠NCM+2α+2β＝180°，
∴α+β＝45°，
∴∠NCM＝90°，
∴以线段AM，MN，NB为三边的三角形为直角三角形，
∴r＝MN．
∵S△OEC＝S△OBC，，
∴，
∵S四边形OACB＝S△OBA+S△CBA＝4×4+S△CBA，
∴△CAB的面积取最大值时，四边形DOEC的面积取最大值，
∵AB＝4，
∴AB边上的高取最大值时，△CAB的面积取最大值，
∵C为弧AB上的一个动点，
∴当点C为的中点时，AB边上的高取最大值．
设点C为的中点，连接CM，CN，OC，OC与AB交于点H，如图，
则，OC⊥AB，
∴AC＝BC，BH＝AH＝2，
∴a＝b．
∴OH＝AB＝2，
∴CH＝4﹣2，
此时，△CMN为等腰直角三角形，
∴CH＝MN，
∴MN＝8﹣4，
∴r＝MN＝4﹣2．
∵BC2＝BH2+CH2＝＝32﹣16，
∴a2＝32﹣16，
∴a2+b2＝2a2＝64﹣32，
∴＝．
25．【解答】解：（1）∵∠COB＝75°，∠OCB＝45°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝2，
∴OE＝OB•tan60°＝2，
∴E（0，2），
设直线l的解析式为y＝kx+2，
∴2k+2＝0，
解得k＝﹣，
∴直线l的解析式为y＝﹣x+2；
（2）作△ABC的外接圆，设圆心为D，作DE⊥x轴交于E点，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ADB＝90°，
∵AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当y＝0时，ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
∴AB＝5，D点横坐标为，
∵DE＝AB，
∴DE＝，
∴D（，），
∴AD＝，
∵C（0，﹣6a），DC＝AD＝，
∴a＝﹣1或a＝，
∵a＜0，
∴a＝﹣1，
∴C（0，6），
∴△ABC的面积＝×5×6＝15；
（3）∵A（﹣4，0），B（4，0），
∴A、B关于y轴对称，
∵∠AQB＝45°，
∴A、B、Q三点在以（0，4）或（0，﹣4）为圆心的圆上，
∵圆的半径为4，“星城”点Q至少有3个，
∴Q点的纵坐标最大为4+4，
∴Q（0，4+4），
设经过A、B、Q三点的抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣4），
∴﹣16a＝4+4，
∴a＝﹣﹣，
∴抛物线解析式为y＝（﹣﹣）x2+4+4，
∴c2+32a﹣2023的最小值为（4+4）2+32×（﹣﹣）﹣2023＝40﹣1999．
甲
乙
丙
丁
7
6
7
7
s2
0.2
0.1
0.8
0.1
试验总次数
100
200
300
500
1500
2000
3000
落在“心形线”内部的次数
61
93
165
246
759
996
1503
落在“心形线”内部的频率
0.610
0.465
0.550
0.492
0.506
0.498
0.501