江西省2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份江西省2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中，比小的数是（ ）
A. 0B. C. D. 3
答案：C
解析：根据正负数的定义，可知-2<0，-2<3，故A、D错误；
而-2<-1，B错误；
-3<-2，C正确；
故选C．
2. 图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：A选项正确；
B选项错误，中间的小圆要是实线；
C选项错误，这是主视图；
D选项错误，这不三视图之一．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
5. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品—“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：最小的等腰直角三角形的面积＝××42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则
A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；
B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；
C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；
D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意；
故选：D．
6. 对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A(﹣1，0)，B(x2，0)，则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E(1，y1)、点F(﹣4，y2)在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
答案：B
解析：解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x＝﹣＝﹣2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，当x＝﹣3时，y1＝0，
而当抛物线开口向上时，若x＝1，则y2＞0，即y2＞y1，
当抛物线开口向下时，若x＝1，则y2＜0，即y2＜y1，故④错误，不符合题意；
④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；
综上，正确的是①②④，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 要使分式有意义，则a取值范围是______．
答案：
解析：解：∵分式有意义，
∴
解得：，
故答案为：．
8. 2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星，北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超3000亿次，将数据3000亿用科学记数法表示为_____________．
答案：
解析：3000亿，
故答案为：．
9. 某校教师对该校学生的学习兴趣进行了一次抽样调查，把学生的学习兴趣程度分为三个层次，层次：积极主动；层次：一般；层次：消极被动．并将调查结果绘制成了图1和图2的统计图（不完整），根据图中所给的信息估计该校1200名学生中，层次的学生约有_____________人．
答案：180
解析：由扇形图知：“C层次”所占的百分比为：，
∴（人），
故答案为：180．
10. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多______步．
答案：12
解析：设长为x步，宽为(60-x) 步，
x(60-x)=864 ，
解得，x1=36，x2=24(舍去)，
∴当x=36 时，60-x=24 ，
∴长比宽多：36-24=12 (步)，
故答案为12．
11. 如图，面积为24的中，对角线平分，过点作交的延长线于点，，则的值为_____________．
答案：##
解析：连接交于点O，
∵平分，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
故答案为：．
12. 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，点O是AB的中点，将OB绕点O向三角形外部旋转角时（0°＜＜180°），得到OP，当△ACP恰为轴对称图形时， 的值为________．
答案：50°或65°或80°
解析：解：在中，∵∠ACB=90°，AO=OB，
∴OC=OA=OB，
∴∠OAC=∠ACO=25°，∠COB=50°，∠AOC=130°
①如图1中，
当AC=AP时，
在△AOC和△AOP中，
，
∴△AOC≌△AOP，
∴∠AOC=∠AOP=130°，
∴α=∠POB=50°．
②如图2中，当PC=PA时，同理可证△OPA≌△OPC
∴
∴α=∠POB=∠POC-∠COB=65°．
③如图3中，当CA=CP时，
同理可证△COA≌△COB，
∴∠COP=∠AOC=130°，
∴α=∠POB=∠POC-∠COB=80°
故答案为：50°或65°或80°．
三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解不等式组：．
答案：（1）5；（2）
解析：解：（1）
；
（2），
解①得：，
解②得：，
∴．
14. 先化简，再求值：，其中．
答案：，
解析：
，
当时，原式．
15. 为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中名男生，名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．
（1）若只能从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；
（2）若从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的名学生中恰好是男女的概率．
答案：（1）
（2）
小问1解析：
解：从这名学生中随机选取人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为，
故答案为：；
小问2解析：
解：画树状图如下：
由图可知，共有种可能的结果，其中恰为男女的结果出现次，
则选取的名学生恰为男女的概率为．
16. 如图，平行四边形的顶点在射线上，点，在射线上，且．请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）在图1中，作的平分线；
（2）在图2中，作一点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形．
答案：（1）详见解析 （2）详见解析
小问1解析：
连交于点P，作射线，
∵四边形为平行四边形，
∴为的中点，
∵，
∴，
∴如图所示，射线即为所求；
小问2解析：
连交于点P，作射线交于点M，
由(1)知：，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴如图所示，菱形即为所求．
17. 某高层房屋主体工程完工后，为方便运送装修材料，安装了如图所示的施工升降机．设货柜（货柜底面厚度忽略不计）从地面开始匀速上升到房屋顶端的运送时间为，货柜底部离地面的距离为．

（1）安装施工升降机后，经实验测量得到如下数据．请根据表格中的数据求出关于的函数解析式，并求出，的值；
（2）若高层房屋主体的高度为，请求出乘货柜从地面到达房屋顶端所需要的时间．
答案：（1）关于的函数解析式是；
（2）乘货柜从地面到达房屋顶端所需要．
小问1解析：
解：∵，；，；，；
每增加，就升高，
∴是关于的一次函数，
设关于的函数解析式是，
把，；，代入
得，
解得，
∴关于的函数解析式是；
小问2解析：
解：令，则，
解得，
答：乘货柜从地面到达房屋顶端所需要．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 某校八年级共有300位学生．为了解该年级学生地理、生物两门课程的学习情况，从中随机抽取60位学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理和分析，下面给出了部分信息：
信息1：如图是地理课程成绩的频数分布直方图（数据分成6组：第一组；第二组；第三组；第四组；第五组；第六组）．
信息2：地理课程测试在第四组的成绩是：70 71 71 71 73 73 75 75 76.5 77 78 78 79 79.5
信息3：地理、生物两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）地理课程成绩在的学生人数为 ．并补全频数分布直方图；
（2）所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第 组，这60位学生地理课程测试成绩的中位数为 ；
（3）在此次测试中，某学生的地理课程成绩为75分、生物课程成绩为71分，该生成绩排名更靠前的课程是地理还是生物？说明理由；
（4）假设该校八年级学生都参加此次测试，估计地理课程成绩超过73.8分的人数．
答案：（1）18，详见解析
（2）四， （3）生物，详见解析
（4）170人，详详见解析
小问1解析：
由题意和图知：地理成绩在的人数(人)，
补全图形如图所示，
故答案为：18；
小问2解析：
∵样本总数为60人，
∴中位数落在第30，31位数上，
∵前四组的总数，
∴所抽取的60位学生地理课程成绩的中位数落在第四组，
∴这60位学生地理课程测试成绩的中位数，
故答案为：四，；
小问3解析：
地理课程成绩为75分＜中位数77.5分，生物课程成绩为71分＞中位数70分，
∴该生成绩排名更靠前的课程是生物．
小问4解析：
∵第四组超过73.8的有8人，第五组有18人，第六组有8人，
∴（人），
∴估计地理课程成绩超过73.8分的人数有170人．
19. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点B在OA的延长线上，轴，垂足为D，BD与反比例函数的图象相交于点C，连接AC，AD．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若，设点D的坐标为，求线段BC的长．
答案：（1）反比例函数解析式为
（2）
小问1解析：
解：把代入得，
∴反比例函数解析式为；
小问2解析：
解：作，延长EA与x轴交于点F，
，
的坐标为
，解得，
，
设直线OB的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线OB的解析式为，
当时，，解得，
，
．
20. 图1是一个活动宣传栏，图2是活动宣传栏侧面的抽象示意图，其中点，，，在同一直线上，支杆可绕点活动，是可伸缩横杆．已知，，．
（1）求活动宣传栏板与地面的夹角的度数；
（2）如图3，小明站在活动宣传栏板前的点处看宣传栏时（点，，在同一直线上），若视线垂直宣传栏板于点，此时测得，求小明的眼睛离地面的距离．（参考数据：，，，，，，结果精确到0.1）
答案：（1）；
（2）小明的眼睛离地面的距离约．
小问1解析：
解：作交于点，交于点，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问2解析：
解：作交于点，
∴四边形为矩形，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵视线垂直宣传栏板，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小明的眼睛离地面的距离约．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是的外接圆，，是的直径，是延长线上的一点，且．
（1）求证：是的切线．
（2）若．
①求的半径；
②是劣弧上的一个动点，过点作，分别交、的延长线于、两点，连接，当和之间是什么位置关系时，线段取得最大值？判断并说明理由．
答案：（1）见解析 （2）①的半径为2；②当点为劣弧的中点时，最大，此时垂直平分．
小问1解析：
解：如图1，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是切线；
小问2解析：
解：①设圆的半径为，则，
由（1）知，，，
，
解得：；
②如图2，
当垂直平分时，线段取得最大值；
理由如下：
由（1）知，，，
可求，
过点作，垂足为，交于点，
∵，
，，
，
，
因为是定值，所以，随着的增大而增大，
当取最大值时，取最大值，
当点为劣弧的中点时，最大，此时垂直平分．
22. 已知抛物线中（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数中（b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：，
（1）下列结论正确的是_________
A．抛物线的对称轴是
B．当时，y有最大值
C．当时，随x的增大而增大
D．点A的坐标是，点B的坐标是
（2）求二次函数的解析式
（3）已知点在抛物线上，设的面积为S，求S与m的函数关系式画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？
答案：（1）D ；（2）y=；（3）不存在，当m<0或m>4时，S的值可以无限大
解析：解：（1）∵当x=1和3时，y=0，
∴抛物线的对称轴是直线x=2，
又∵x=-1时，y=8，
∴x<2时，y随x增大而减小；x>2时，y随x增大而大，
∴x=2时，y有最小值，
∵x=0时，y=3，则点A（0，3），
∵点A与点B关于抛物线对称轴对称，
∴B点坐标（4,3）；
∴A、B、C错误，D正确，
故选D
（2）图象过，，
设抛物线为，
把代入可得：，
解得：，
故二次函数解析式：
（3）如图1，∵轴，，
当时，点M到AB的距离为，
∴，
又∵，
∴当或时，点M到直线AB的距离为，
，
而， ，
故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：
当或时，S的值可以无限大．
六、（本大题共12分）
23. 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫作“等补四边形”．
（1）概念理解
①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
②等补四边形中，若，则 ；
③如图1，在四边形中，平分，，．求证：四边形是等补四边形．
（2）探究发现
如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由．
（3）拓展应用
如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，，，求的长．
答案：（1）①D；②；③见解析
（2）平分，理由见解析
（3）．
小问1解析：
解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等，
平行四边形不一定是等补四边形；
菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，
菱形不一定是等补四边形；
矩形对角互补，但邻边不一定相等，
矩形不一定是等补四边形；
正方形四个角是直角，四条边相相等，
正方形一定是等补四边形，
故选：D；
②等补四边形对角互补，，
设，
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：；
③证明：在上截取，连接，如图1，
在和中，
，
，
，．
，
．
．
，
，
又，
四边形是等补四边形；
小问2解析：
解：平分，理由如下，
如图2，过点分别作于，于，
则，
四边形是等补四边形，
，
又，
，
，
，
，
是的平分线（在角的内部且到角两边距离相等的点在角平分线上），
即平分．
小问3解析：
解：连接，
∵等补四边形中，，由（2）知，平分，
∵四边形是等补四边形，
∴，
又，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
…
10
11
12
13
14
…
…
5.28
5.76
6.24
…
课程
平均数
中位数
众数
地理
73.8
83.5
生物
72.2
70
82
…
0
1
3
4
…
…
8
0
0
…