浙教版七年级数学下册专题02平行线的性质压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题02平行线的性质压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)，共39页。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18089" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18089 \h 1
\l "_Tc31019" 考点一 两直线平行，同位角相等 PAGEREF _Tc31019 \h 1
\l "_Tc19522" 考点二 两直线平行，内错角相等 PAGEREF _Tc19522 \h 3
\l "_Tc15513" 考点三 两直线平行，同旁内角互补 PAGEREF _Tc15513 \h 4
\l "_Tc29294" 考点四 根据平行线的性质与判定求角度 PAGEREF _Tc29294 \h 6
\l "_Tc12629" 考点五 平行线的性质在生活中的应用 PAGEREF _Tc12629 \h 8
\l "_Tc13467" 考点六 平行线的性质与判定综合应用 PAGEREF _Tc13467 \h 10
\l "_Tc1862" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1862 \h 13
【典型例题】
考点一 两直线平行，同位角相等
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【变式训练】
1．（2023·吉林· 九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
考点二 两直线平行，内错角相等
例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【变式训练】
1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
考点三 两直线平行，同旁内角互补
例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【变式训练】
1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
考点四 根据平行线的性质与判定求角度
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
考点五 平行线的性质在生活中的应用
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
考点六 平行线的性质与判定综合应用
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，两条直线a、b被第三条直线l所截，如果a∥b，∠1＝55°，那么∠2的度数为（ ）
A．125°B．105°C．65°D．55°
2．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15° B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105° D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
二、填空题
6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，和互余，则的度数为___________．
7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．
8．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __．
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POB＝∠DOF；④∠POE＝∠BOF．其中正确的个数有______．（填序号）
三、解答题
11．（2022春·广东河源·八年级期末）如图，，平分交于点E．若，求的度数．
12．（2022春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，于点F，于点B，点E，D，C在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
14．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，，分别交于、于E，F，平分，平分．
求证：．请在括号里填写适当的根据．
证明：∵（已知）
∴（____________________）
∵平分，平分（_____________）
∴，，（____________________）
∵
∴
∴____________（____________________）
∴（____________________）
15．（2022春·八年级单元测试）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若求的度数．
16．（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
专题02 平行线的性质压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc18089" 【典型例题】 PAGEREF _Tc18089 \h 1
\l "_Tc31019" 考点一 两直线平行，同位角相等 PAGEREF _Tc31019 \h 1
\l "_Tc19522" 考点二 两直线平行，内错角相等 PAGEREF _Tc19522 \h 3
\l "_Tc15513" 考点三 两直线平行，同旁内角互补 PAGEREF _Tc15513 \h 4
\l "_Tc29294" 考点四 根据平行线的性质与判定求角度 PAGEREF _Tc29294 \h 6
\l "_Tc12629" 考点五 平行线的性质在生活中的应用 PAGEREF _Tc12629 \h 8
\l "_Tc13467" 考点六 平行线的性质与判定综合应用 PAGEREF _Tc13467 \h 10
\l "_Tc1862" 【过关检测】 PAGEREF _Tc1862 \h 13
【典型例题】
考点一 两直线平行，同位角相等
例题：（2022·陕西·西安市铁一中学八年级阶段练习）如图，．，则的度数为（ ）
A．58°B．112°C．120°D．132°
【答案】A
【分析】根据平行线性质得出，根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角性质，解题的关键是熟练掌握：两直线平行，同位角相等．
【变式训练】
1．（2023·吉林· 九年级阶段练习）如图，直线．直线与、分别交于、两点．若，则的大小为_____度．
【答案】
【分析】根据邻补角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵直线，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
2．（2020·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，D为中延长线上一点，，若，，则_____．
【答案】72
【分析】由，，求出，，，由得，即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了平行线性质，熟练掌握平行线性质是解题的关键．
考点二 两直线平行，内错角相等
例题：（2022·湖南·长沙市立信中学九年级阶段练习）如图，直线a，b被c所截，，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，内错角相等可以判断，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得出，是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，直线，被直线所截，，，则的度数为（ ）
A．20°B．40°C．50°D．140°
【答案】B
【分析】根据两直线平行内错角相等可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解本题的关键．
2．（2022·重庆市第七中学校九年级期中）如图，，，则的度数为（ ）
A．160B．140C．50D．40
【答案】B
【分析】利用平行线的性质先求解，再利用邻补角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
考点三 两直线平行，同旁内角互补
例题：（2022·辽宁·沈阳市培英中学七年级期中）如图，ABCD，射线AE交CD于点F，若∠1＝114°，则∠2的度数等于_____°．
【答案】66
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求出∠AFD的度数，然后根据对顶角相等求出∠2的度数．
【详解】∵ABCD，
∴∠1+∠AFD=180°．
∵∠1=114°，
∴∠AFD=66°．
∵∠2和∠AFD是对顶角，
∴∠2=∠AFD=66°．
故答案为66．
【点睛】本题考查了平行线，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
【变式训练】
1．（2022·上海理工大学附属中学七年级期末）如图直线、被直线所截，且，已知比大，则______．
【答案】65
【分析】根据题意可得，然后利用平行线的性质可得，进行计算即可解答．
【详解】解：比大，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．（2022·江西抚州·七年级期中）如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b与点C，若，则的度数为________．
【答案】##63度
【分析】根据，可得，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补正确找出是解答本题的关键．
考点四 根据平行线的性质与判定求角度
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级阶段练习）如图，已知：，，
(1)说明：．
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据对顶角相等得到，再利用平行线的判定即可证明；
（2）根据平行线的性质求出即可．
（1）
解：∵，，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·宁津县德清中学七年级期中）如图，已知，，，求：
(1)
(2)的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)100°．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定方法即可得到结论；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
（1）
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）
解：∵
∴．
∵，
∴
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握两只线平行同旁内角互补是关键．
2．（2022·西藏·林芝市广东实验中学七年级期中）如图，点D，E在AC上，点F，G分别在BC，AB上，且，∠1＝∠2．
(1)求证：；
(2)若EF⊥AC，∠1＝50°，求∠ADG的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ADG＝40°
【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，再根据同位角相等，两直线平行即可得证；
（2）先求出∠C，再根据两直线平行，同位角相等，即可得解．
（1）
证明：∵，
∴∠1＝∠DBC．
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DBC，
∴．
（2）
∵EF⊥AC，
∴∠CEF＝90°．
∵∠2＝∠1＝50°，
∴∠C＝90°－50°＝40°．
∵，
∴∠ADG＝∠C＝40°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
考点五 平行线的性质在生活中的应用
例题：（2022·山东青岛·七年级期中）已知：某小区地下停车场的栏杆如图所示，当栏杆抬起到最大高度时∠ABC=150°，若此时CD平行地面AE，则_________度．
【答案】120
【分析】过点B作BF∥CD，因为AB⊥AE，可得∠ABF=90°，即可得出∠FBC的度数，再由BF∥CD，可得∠FBC+∠BCD=180°，代入计算即可得出答案．
【详解】解：过点B作BF∥CD，如图，
由题意可知，∠ABF=90°，
∵∠ABC=150°，
∴∠FBC=∠ABC-∠ABF=150°-90°=60°，
∵BF∥CD，
∴∠FBC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠FBC=180°-60°=120°．
故答案为：120．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·山东·菏泽市牡丹区第二十二初级中学七年级期中）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折射．如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝132°，则∠2＝______．
【答案】48°##48度
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，∵水面和杯底互相平行，
∴∠1+∠3=180°，又∠1＝132°，
∴∠3=180°-∠1=48°，
∵水中的两条折射光线是平行的，
∴∠2=∠3=48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．
【答案】##60度
【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点O作，
∵光线，都是水平线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
考点六 平行线的性质与判定综合应用
例题：（2021·浙江·绍兴市锡麟中学八年级阶段练习）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使，且DE交BC于点P．∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
(1)我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
请选择其中一种情况说明理由．
②由①得出一个真命题（用文字叙述）： ．
(2)应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请直接写出这两个角的度数．
【答案】(1)①∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF，理由见解析；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
(2)30°，30°或70°和110°
【分析】（1）①根据平行线的性质，即可求解；②根据①写出结论，即可求解；
（2）设两个角分别为x和2x﹣30°，由（1）的结论可得x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，即可求解．
（1）
解：①如图1中，∠ABC+∠DEF＝180°．如图2中，∠ABC＝∠DEF，
故答案为：∠ABC+∠DEF＝180°，∠ABC＝∠DEF．
理由：如图1中，
∵，
∴∠DPB＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC+∠DPB＝180°，
∴∠ABC+∠DEF＝180°．
如图2中，∵，
∴∠DPC＝∠DEF，
∵，
∴∠ABC＝∠DPC，
∴∠ABC＝∠DEF．
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）
解：设两个角分别为x和2x﹣30°，
由（1）得：x＝2x﹣30°或x+2x﹣30°＝180°，
解得x＝30°或x＝70°，
∴这两个角的度数为30°，30°或70°和110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，理解如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补是解答关键．
【变式训练】
1．（2022·甘肃·金昌市第五中学七年级期中）如图，已知AMBN，∠A＝64°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)∠ABN的度数是 ；
(2)求∠CBD的度数；
(3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量之比是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律．
【答案】(1)116°
(2)58°
(3)不变，∠APB＝2∠ADB，理由见解析
【分析】（1）根据两直线平行同旁内角互补即可求解；
（2）根据角平分线的定义，结合（1）的结论即可求解；
（3）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，即可求解．
（1）
解：∵AMBN，∠A＝64°，
∴∠ABN＝180°﹣∠A＝116°，
故答案为116°；
（2）
∵AMBN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣64°＝116°，
∴∠ABP+∠PBN＝116°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝116°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝58°；
（3）
不变，∠APB＝2∠ADB，理由如下：
∵AMBN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB＝2∠ADB．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·广东湛江·七年级校考期末）如图，两条直线a、b被第三条直线l所截，如果a∥b，∠1＝55°，那么∠2的度数为（ ）
A．125°B．105°C．65°D．55°
【答案】A
【分析】先利用两直线平行，同位角相等求出∠2的邻补角，再根据邻补角定义即可求出．
【详解】解：如图，
∵ab，
∴∠3＝∠1＝55°，
又∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣55°＝125°．
故选：A．
【点睛】本题重点考查了平行线的性质及邻补角的定义，求出∠3＝55°是解答本题的关键．
2．（2022春·广东深圳·八年级统考期末）如图，已知平分，是延长线上一点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用，推出，，在根据平分得，即可求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线得定义，难度不大，熟练掌握平行线的性质是关键．
3．（2021春·陕西商洛·八年级统考期末）将一副直角三角尺如图所示放置，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及三角形内角定理解答．
【详解】解：由三角板的性质可知．
∵，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于．
4．（2022春·八年级单元测试）如图，，直线交于点，交于点，平分，交于点，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由平分，求得的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数．
【详解】解：，
，
，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．
5．（2022秋·河北石家庄·七年级统考期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15°
B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105°
D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
【答案】A
【分析】分三种情况：若，若，若，由平行线的性质可得出答案．
【详解】解：若，
∴∠CFE=∠E=90°，
又∵∠C=30°，
∴，
∴∠DAB=45°-30°=15°；
若，
；
若，
，
．
综上所述，为或或．
故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
二、填空题
6．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，，和互余，则的度数为___________．
【答案】##度
【分析】利用平行线的性质证明，再利用余角的含义求解，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵和互余，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的性质，互为余角的含义，证明是解本题的关键．
7．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）如图，快艇从处向正北航行到处时，向右转航行到处，再向左转继续航行，此时的航行方向为北偏西______°．
【答案】
【分析】根据平行线的性质与方位角的定义即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
此时的航行方向为：北偏西；
故答案为：．
【点睛】此题主要考查方位角，解题的关键是熟知方位角的定义及平行线的性质．
8．（2022秋·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，将木条，与钉在一起，，，要使木条与平行，木条按图所示方向旋转的度数至少是 __．
【答案】30°
【分析】根据同位角相等，两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】解：如图：
∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA//b，即a//b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是80°﹣50°＝30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
9．（2022秋·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成∠1与∠2．若∠1＝68°，则∠2＝_______°．
【答案】22°##22度
【分析】延长CE，交AD与点F，根据平行的性质有∠2=∠DFE，再根据∠1+∠DFE=90°，即可求出∠DFE，则问题得解．
【详解】延长CE，交AD与点F，如图，
根据题意有：，∠DEC=90°，
∴∠2=∠DFE，∠DEF=∠DEC=90°，
∴△DEF是直角三角形，即∠1+∠DFE=90°，
∵∠1=68°，
∴∠DFE=90°-∠1=22°，
∴∠2=22°，
故答案为：22°．
【点睛】本题考查了由平行线的性质探究角的关系；掌握两直线平行内错角相等是解题关键．
10．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝a°，则下列结论：①∠BOE＝（180﹣a）°；②OF平分∠BOD；③∠POB＝∠DOF；④∠POE＝∠BOF．其中正确的个数有______．（填序号）
【答案】①②④
【分析】根据垂直定义、角平分线的定义，求出∠POE、∠BOF、∠BOD、∠BOE、∠DOF等角的度数，即可对①②③④进行判断．
【详解】解：∵，
∴∠BOD=∠ABO=a°，
∴∠COB=180°-∠ABO=180°﹣a°=（180﹣a）°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=∠EOC=∠COB=（180﹣a）°．故①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°﹣（180﹣a）°=a°，
∴∠BOF=∠BOD，
∴OF平分∠BOD．故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠POE=90°﹣∠EOC=a°，
∴∠POE=∠BOF． 故④正确；
∴∠POB=90°﹣a°，而∠DOF=a°，故③错误．
故答案为①②④．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义；解答此题要注意将垂直、平行、角平分线的定义结合应用，弄清图中角的关系，再进行解答．
三、解答题
11．（2022春·广东河源·八年级期末）如图，，平分交于点E．若，求的度数．
【答案】
【分析】欲求，需求，因为平分，欲求，即求．根据邻补角的定义，由，得．
【详解】证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质、邻补角的定义以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、平角的定义以及角平分线的定义是解决本题的关键．
12．（2022春·八年级单元测试）如图，点在上，点分别在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明结论；
（2）根据垂直定义和平行线的判定与性质即可求出结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
13．（2022·全国·七年级专题练习）如图，已知，于点F，于点B，点E，D，C在同一条直线上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）由，，证明，根据平行线的性质得出：，根据，得出即可证得；
（2）根据，，得出，再根据平行线的性质，即可求得．
【详解】（1）证明：∵，，
∴,
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握和运用平行线的判定及性质是解决本题的关键．
14．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）如图，，分别交于、于E，F，平分，平分．
求证：．请在括号里填写适当的根据．
证明：∵（已知）
∴（____________________）
∵平分，平分（_____________）
∴，，（____________________）
∵
∴
∴____________（____________________）
∴（____________________）
【答案】两直线平行，内错角相等；已知；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】根据平行线的判定和性质及角平分线的定义证明即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵平分，平分（已知）
∴，，（角平分线定义）
∵
∴
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，内错角相等；已知；角平分线定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质及角平分线的定义，利用数形结合的思想是解题的关键．
15．（2022春·八年级单元测试）如图，已知点在直线上，点在线段上，与交于点，，．
(1)求证：；
(2)试判断与之间的数量关系，并说明理由；
(3)若求的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；
(3)
【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出，进而判定，即可得出；
（3）依据已知条件求得的度数，进而利用平行的性质得出的度数，依据对顶角相等即可得到的度数．
【详解】（1）证明：，
；
（2）解：;
理由：，
,
，
,
,
；
（3）解：，，
,
又，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行线关系来寻找角的数量关系．
16．（2022春·全国·八年级专题练习）如图，在中，于点，点在上，且，点在直线上，交直线于点．
(1)当点在线段的延长线上时，判断与的大小关系，并说明理由．
(2)当点在射线上，且时，请直接写出的度数．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，得，推出；根据，得，推出，等量代换，即可；
（2）分类讨论点在线段上和点在射线上，根据平行线的性质，邻补角互补，即可求出的角度．
【详解】（1）解：
理由如下：
∵
∴
∴
∵，
∴
∴
∴．
（2）当点在线段上，如图
由（1）得，，
∴，
∴
∵
∴
∴；
当点在射线上，如图
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴或．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，分类讨论的位置．