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浙教版七年级数学下册专题05二元一次方程六种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题05二元一次方程六种模型全攻略(原卷版+解析)，共37页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2850" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2850 \h 1
\l "_Tc11445" 【考点一 二元一次方程的定义】 PAGEREF _Tc11445 \h 1
\l "_Tc21779" 【考点二 二元一次方程的解】 PAGEREF _Tc21779 \h 3
\l "_Tc1255" 【考点三 求二元一次方程的正整数解】 PAGEREF _Tc1255 \h 4
\l "_Tc18964" 【考点四 判断是否是二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18964 \h 6
\l "_Tc20035" 【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc20035 \h 8
\l "_Tc4485" 【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】 PAGEREF _Tc4485 \h 11
\l "_Tc14212" 【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】 PAGEREF _Tc14212 \h 13
\l "_Tc6308" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6308 \h 16
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．2x-3=10B．3＋2y=10C．xy＋8=0D．x＋y=2
【变式训练】
1．（江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津北京师范大学静海附属学校七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．
3．（2021·云南·南华县龙川初级中学八年级期末）已知下列各式：①；②2x-3y=5；③；④x+y=z-1 ；⑤，其中是二元一次方程的是________
【考点二 二元一次方程的解】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）若二元一次方程的解是，则的值是______________．
3．（2022·福建·泉州科技中学七年级期中）若方程的一个解是，则的值为______．
【考点三 求二元一次方程的正整数解】
例题：（2022春·八年级单元测试）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式训练】
1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考开学考试）已知二元一次方程，则它的正整数解是_____．
3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程的所有正整数解为______．
【考点四 判断是否是二元一次方程组】
例题：（2022·河南·睢县第二中学七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②③B．①②③④C．③④D．②③
【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）下列二元一次方程组的解为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）解下列方程组：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2022·全国·广州四十七中九年级阶段练习）解方程组：．
2．（2022·广东·广州市天河区汇景实验学校九年级阶段练习）解二元一次方程组
3．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）解方程组：．
【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022·广东·东莞市万江第二中学七年级阶段练习）解方程组
2．（2022·重庆璧山·七年级期中）解方程：
(1)； (2)．
3．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）解下列方程组：
(1) (2)
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
6．（2022秋·八年级单元测试）关于、方程是二元一次方程，则______，______．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为______．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
9．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）已知，满足方程组，则的值为______．
10．（2022春·河南濮阳·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，则的值是___________．
三、解答题
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：．
12．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）解方程组：
13．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)
14．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
15．（2022秋·八年级单元测试）解下列方程组：
(1)； (2)．
16．（2022秋·全国·八年级期末）请用指定的方法解下列方程组：
(1)（代入法） (2)（加减法）
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）解下列方程组：
(1) (2)
18．（2022春·北京·七年级校考期末）选用适当的方法，解下列关于x，y的二元一次方程组．
(1)； (2)； (3)； (4)
专题05 二元一次方程(组)的定义及求解二元一次方程组压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2850" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2850 \h 1
\l "_Tc11445" 【考点一 二元一次方程的定义】 PAGEREF _Tc11445 \h 1
\l "_Tc21779" 【考点二 二元一次方程的解】 PAGEREF _Tc21779 \h 3
\l "_Tc1255" 【考点三 求二元一次方程的正整数解】 PAGEREF _Tc1255 \h 4
\l "_Tc18964" 【考点四 判断是否是二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18964 \h 6
\l "_Tc20035" 【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc20035 \h 8
\l "_Tc4485" 【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】 PAGEREF _Tc4485 \h 11
\l "_Tc14212" 【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】 PAGEREF _Tc14212 \h 13
\l "_Tc6308" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6308 \h 16
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．2x-3=10B．3＋2y=10C．xy＋8=0D．x＋y=2
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1，依次判断即可．
【详解】解：A．只有一个未知数，不符合题意；
B．未知数x的次数为2次，不符合题意；
C．含有未知数的项的次数为2次，不符合题意；
D．含有两个未知数，且次数均为1，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查二元一次方程的定义，理解此定义是解题关键．
【变式训练】
1．（江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
2．（2022·天津北京师范大学静海附属学校七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．
【答案】
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．据此解答即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴且，
解得，n=4．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（2021·云南·南华县龙川初级中学八年级期末）已知下列各式：①；②2x-3y=5；③；④x+y=z-1 ；⑤，其中是二元一次方程的是________
【答案】②
【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的次数为1次，这样的整式方程，判断即可．
【详解】解：①，不是整式方程，不是二元一次方程；
②2x-3y=5，是二元一次方程；
③，最高次数为2，不是二元一次方程；
④x+y=z-1，含有三个未知数，不是二元一次方程；
⑤，只有一个未知数，不是二元一次方程；
综上，只有②是二元一次方程．
故答案为：②．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【考点二 二元一次方程的解】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入到方程中，即可求出值．
【详解】解：由题意得：，解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义．熟练掌握使方程成立的未知数的值就是方程的解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】将方程的解代入原方程，可求出的值．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知方程的解求参数的问题，可将方程的解代入原方程求参数的值，熟知使二元一次方程两边值相等的未知数的值即为方程的解是解答本题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）若二元一次方程的解是，则的值是______________．
【答案】##－0.5
【分析】把代入二元一次方程kx−3y＝2得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把代入二元一次方程kx−3y＝2得：
，
解得：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解与解一元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．
3．（2022·福建·泉州科技中学七年级期中）若方程的一个解是，则的值为______．
【答案】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点三 求二元一次方程的正整数解】
例题：（2022春·八年级单元测试）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程2x＋3y＝11，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案．
【详解】解：由得：，
当x＝1时，；
当x＝2时，；
当x＝3时，；
∴二元一次方程的正整数解有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够求出所有的正整数解是解题的关键．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考开学考试）已知二元一次方程，则它的正整数解是_____．
【答案】
【分析】先将含的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得解．
【详解】解：，
，
正整数解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤．
3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程的所有正整数解为______．
【答案】
【分析】先用x将y表示出来，然后根据x、y均为正整数运用列举法即可求解．
【详解】解：由可得y= ，
∵x、y均为正整数，
∴＞0，即x＜5
当x=2时，y=4，
∴方程4x+3y=20的正整数解为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解答本题题的关键．
【考点四 判断是否是二元一次方程组】
例题：（2022·河南·睢县第二中学七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两个方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：A．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；
C．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握“根据二元一次方程组的定义识别二元一次方程组”是解本题的关键.
【变式训练】
1．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④方程组含有，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：（1）符合二元一次方程组的定义；
（2）第二个方程中的是二次的，故该选项不符合题意；
（3）第一个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
（4）符合二元一次方程组的定义．
则二元一次方程组共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
3．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②③B．①②③④C．③④D．②③
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．
【详解】①是三元一次方程组，故不符合题意；
②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③是二元一次方程组，故符合题意；
④是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）下列二元一次方程组的解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入各方程组两个方程检验，即可作出判断．
【详解】解：A、
把代入①得：左边=1−1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=1，不成立；
∴选项A不符合题意；
B、
把代入①得：左边=1－1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=－1，不成立；
∴选项B不符合题意；
C、，
把代入①得：左边=1－1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=2，成立；
∴选项C符合题意；
D、
把代入①得：左边=1−1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=−2，不成立
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式训练】
1．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入得6-1=5，方程左右两边相等，
将代入得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等，
∴是的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程组检验即可．
【详解】解：A、将代入方程组，
可得：，
即是方程组的解，符合题意；
B、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
C、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
D、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入中得：，方程左右两边相等，
将代入中得：，方程左右两边相等，
∴是方程组的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解“二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”．
【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用代入法解方程组．
（1）
解：
将②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
∴方程组的解为
（2）
原方程组整理得
由①得，③，
将③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能依据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·广州四十七中九年级阶段练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用代入消元法解答，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
2．（2022·广东·广州市天河区汇景实验学校九年级阶段练习）解二元一次方程组
【答案】
【分析】根据代入消元法将代入即可求解．
【详解】解：，
将②代入①得：，
解得：，
将代入②得：，
所以原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）解方程组：．
【答案】
【分析】根据方程组中方程的特点，采用代入消元法解答即可．
【详解】解：代入得，，
解得，
将代入得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（1）
解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）
解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·东莞市万江第二中学七年级阶段练习）解方程组
【答案】
【分析】方程组中未知数 的系数分别是 ， ，最小公倍数是 ，①式（见详解）乘以 减去②式乘以 ，消去未知数，即可求出未知数 ，再代入①式即可求出答案．
【详解】解：原式得，3x+5y=25①4x+3y=1②
， ，
∴ ，
∴ ，把代入①得， ，
∴ ，
故方程组的解是： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，先分析各未知数系数的关系，确定最小公倍数，运用加减消元法解方程组，掌握加减消元法解方程组最关键的是要确定未知数的系数的关系．
2．（2022·重庆璧山·七年级期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法，把①②消去y，得到，解得，把代入②，得到，解得，即得；
（2）利用加减消元法，把①②消去y，得到，解得，并代入①，得到，解得，即得．
（1）
解：，
①②得，解得．
把代入②，得，解得．
原方程组的解为．
（2）
，
①②，得，
解得，并代入①，得，解得．
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．
3．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解方程即可；
（2）先处理方程，然后再用加减消元法解方程即可．
（1）
解：
，得，
解得，
把代入得
解得，
所以原方程组的解为．
（2）
解：原方程化为：
，得，
解得：，
把代入得：
解得，
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单，特殊情况用代入法．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】A、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
B、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
C、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
D、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，由定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】A
【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得．
【详解】解：方程可化为，
∵，均为正整数，
∴，且是的倍数，
，且为偶数，
则当时，，
即方程的正整数解为，共有1组，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
4．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将当成已知数，方程的左右两边同时乘以2，再移项求解即可．
【详解】解：方程，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程，解题的关键是将当成已知数，求出．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·八年级单元测试）关于、方程是二元一次方程，则______，______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵关于、方程是二元一次方程，
∴，，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为______．
【答案】
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于，的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式可得答案．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义是解题的关键．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义，代入方程组，求出，的值，即可求解．
【详解】∵是关于x、y的方程组的解，
∴
∴
∴，
故答案为：4
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解定义是解本题的关键．
9．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】-2
【分析】根据等式的性质方程①与方程②相减即可．
【详解】解：，
得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解等式的性质是解决问题的前提，方程①与方程②相减是解决问题的关键．
10．（2022春·河南濮阳·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，则的值是___________．
【答案】12
【分析】首先根据题意可得，把代入二元一次方程组得到关于的二元一次方程组，解出即可得到的值，代入代数式中，即可得出结果．
【详解】把代入二元一次方程组，
可得：
解得：
∴把代入，
可得：
故答案为：12
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组的解，求参数的问题，本题的关键在熟练掌握二元一次方程组的解法．
三、解答题
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：整理得：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：
解：由①得：，
由③，得，
②④，得，
将代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法—加减消元法，代入消元法是解题的关键．
13．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先变形然后用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
（2）解：，
原方程组可变为：，
得：，即，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
14．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是选择合适的方法进行消元．
15．（2022秋·八年级单元测试）解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）先化简方程组，根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【详解】（1）解：
得，③，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为；
（2）原方程组可以化为：
，
得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答，第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法，解题的关键是根据方程的特点选用合适的方法．
16．（2022秋·全国·八年级期末）请用指定的方法解下列方程组：
(1)（代入法） (2)（加减法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①得③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：，解得，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的一般方法，加减消元法和代入消元法．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法解二元一次方程组即可；
（2）先把方程组中的两个方程分别化简，再用加减法即可求解．
【详解】（1），
把代入得：，
解得：，
把代入中，得，
所以原方程组的解为；
（2），
原方程组化简为，
得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选取适当的方法解方程组；当方程组中的两个方程有括号或分母时，往往先把每个方程化简，再用代入法或加减法解．
18．（2022春·北京·七年级校考期末）选用适当的方法，解下列关于x，y的二元一次方程组．
(1)； (2)； (3)； (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用代入消元法求解；
（2）利用加减消元法求解；
（3）利用代入消元法求解；
（4）利用代入消元法求解．
【详解】（1）解： ，
将②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
因此该方程组的解为：；
（2）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
因此该方程组的解为：；
（3）解：，
由②得，
将代入①，得，
解得，
将代入，得，
因此该方程组的解为：；
（4）解：，
由①得，
将代入②，得，
解得，
将代入，得，
因此该方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2850" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2850 \h 1
\l "_Tc11445" 【考点一 二元一次方程的定义】 PAGEREF _Tc11445 \h 1
\l "_Tc21779" 【考点二 二元一次方程的解】 PAGEREF _Tc21779 \h 3
\l "_Tc1255" 【考点三 求二元一次方程的正整数解】 PAGEREF _Tc1255 \h 4
\l "_Tc18964" 【考点四 判断是否是二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18964 \h 6
\l "_Tc20035" 【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc20035 \h 8
\l "_Tc4485" 【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】 PAGEREF _Tc4485 \h 11
\l "_Tc14212" 【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】 PAGEREF _Tc14212 \h 13
\l "_Tc6308" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6308 \h 16
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．2x-3=10B．3＋2y=10C．xy＋8=0D．x＋y=2
【变式训练】
1．（江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·天津北京师范大学静海附属学校七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．
3．（2021·云南·南华县龙川初级中学八年级期末）已知下列各式：①；②2x-3y=5；③；④x+y=z-1 ；⑤，其中是二元一次方程的是________
【考点二 二元一次方程的解】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）若二元一次方程的解是，则的值是______________．
3．（2022·福建·泉州科技中学七年级期中）若方程的一个解是，则的值为______．
【考点三 求二元一次方程的正整数解】
例题：（2022春·八年级单元测试）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【变式训练】
1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考开学考试）已知二元一次方程，则它的正整数解是_____．
3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程的所有正整数解为______．
【考点四 判断是否是二元一次方程组】
例题：（2022·河南·睢县第二中学七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②③B．①②③④C．③④D．②③
【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）下列二元一次方程组的解为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）解下列方程组：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2022·全国·广州四十七中九年级阶段练习）解方程组：．
2．（2022·广东·广州市天河区汇景实验学校九年级阶段练习）解二元一次方程组
3．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）解方程组：．
【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）解方程组：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2022·广东·东莞市万江第二中学七年级阶段练习）解方程组
2．（2022·重庆璧山·七年级期中）解方程：
(1)； (2)．
3．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）解下列方程组：
(1) (2)
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
4．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题
6．（2022秋·八年级单元测试）关于、方程是二元一次方程，则______，______．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为______．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
9．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）已知，满足方程组，则的值为______．
10．（2022春·河南濮阳·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，则的值是___________．
三、解答题
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：．
12．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）解方程组：
13．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)
14．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
15．（2022秋·八年级单元测试）解下列方程组：
(1)； (2)．
16．（2022秋·全国·八年级期末）请用指定的方法解下列方程组：
(1)（代入法） (2)（加减法）
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）解下列方程组：
(1) (2)
18．（2022春·北京·七年级校考期末）选用适当的方法，解下列关于x，y的二元一次方程组．
(1)； (2)； (3)； (4)
专题05 二元一次方程(组)的定义及求解二元一次方程组压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc2850" 【典型例题】 PAGEREF _Tc2850 \h 1
\l "_Tc11445" 【考点一 二元一次方程的定义】 PAGEREF _Tc11445 \h 1
\l "_Tc21779" 【考点二 二元一次方程的解】 PAGEREF _Tc21779 \h 3
\l "_Tc1255" 【考点三 求二元一次方程的正整数解】 PAGEREF _Tc1255 \h 4
\l "_Tc18964" 【考点四 判断是否是二元一次方程组】 PAGEREF _Tc18964 \h 6
\l "_Tc20035" 【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】 PAGEREF _Tc20035 \h 8
\l "_Tc4485" 【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】 PAGEREF _Tc4485 \h 11
\l "_Tc14212" 【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】 PAGEREF _Tc14212 \h 13
\l "_Tc6308" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6308 \h 16
【典型例题】
【考点一 二元一次方程的定义】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）下列方程属于二元一次方程的是（ ）
A．2x-3=10B．3＋2y=10C．xy＋8=0D．x＋y=2
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的次数均为1，依次判断即可．
【详解】解：A．只有一个未知数，不符合题意；
B．未知数x的次数为2次，不符合题意；
C．含有未知数的项的次数为2次，不符合题意；
D．含有两个未知数，且次数均为1，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查二元一次方程的定义，理解此定义是解题关键．
【变式训练】
1．（江苏省南京十三中集团校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【详解】解：A．该方程是二元一次方程，故此选项不符合题意；
B．该方程是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．
2．（2022·天津北京师范大学静海附属学校七年级期中）若是关于，的二元一次方程，则_________，_________．
【答案】
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．据此解答即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴且，
解得，n=4．
故答案为：，．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（2021·云南·南华县龙川初级中学八年级期末）已知下列各式：①；②2x-3y=5；③；④x+y=z-1 ；⑤，其中是二元一次方程的是________
【答案】②
【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的次数为1次，这样的整式方程，判断即可．
【详解】解：①，不是整式方程，不是二元一次方程；
②2x-3y=5，是二元一次方程；
③，最高次数为2，不是二元一次方程；
④x+y=z-1，含有三个未知数，不是二元一次方程；
⑤，只有一个未知数，不是二元一次方程；
综上，只有②是二元一次方程．
故答案为：②．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
【考点二 二元一次方程的解】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）已知，是方程的一个解，则k的值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入到方程中，即可求出值．
【详解】解：由题意得：，解得：；
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程的解的定义．熟练掌握使方程成立的未知数的值就是方程的解是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）已知是方程的一个解，那么的值是（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】C
【分析】将方程的解代入原方程，可求出的值．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了已知方程的解求参数的问题，可将方程的解代入原方程求参数的值，熟知使二元一次方程两边值相等的未知数的值即为方程的解是解答本题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级阶段练习）若二元一次方程的解是，则的值是______________．
【答案】##－0.5
【分析】把代入二元一次方程kx−3y＝2得到关于k的一元一次方程，解之即可．
【详解】解：把代入二元一次方程kx−3y＝2得：
，
解得：，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解与解一元一次方程，正确掌握代入法是解题的关键．
3．（2022·福建·泉州科技中学七年级期中）若方程的一个解是，则的值为______．
【答案】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点三 求二元一次方程的正整数解】
例题：（2022春·八年级单元测试）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】B
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程2x＋3y＝11，
解得：y＝，
当x＝1时，y＝3；x＝4时，y＝1，
则方程的正整数解有2组，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．
【变式训练】
1．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期末）二元一次方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】C
【分析】用含x的式子表示出y，求出所有的正整数解即可得出答案．
【详解】解：由得：，
当x＝1时，；
当x＝2时，；
当x＝3时，；
∴二元一次方程的正整数解有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够求出所有的正整数解是解题的关键．
2．（2022秋·浙江宁波·七年级校联考开学考试）已知二元一次方程，则它的正整数解是_____．
【答案】
【分析】先将含的项移到等式右边，再两边都乘以2即可得解．
【详解】解：，
，
正整数解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤．
3．（2022秋·河南安阳·七年级统考期中）方程的所有正整数解为______．
【答案】
【分析】先用x将y表示出来，然后根据x、y均为正整数运用列举法即可求解．
【详解】解：由可得y= ，
∵x、y均为正整数，
∴＞0，即x＜5
当x=2时，y=4，
∴方程4x+3y=20的正整数解为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的特殊解，用一个未知数表示成另一个未知数是解答本题题的关键．
【考点四 判断是否是二元一次方程组】
例题：（2022·河南·睢县第二中学七年级期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两个方程组成，且含有两个未知数，含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可.
【详解】解：A．含有3个未知数，不是二元一次方程组，故A不符合题意；
B．是二元一次方程组，故B符合题意；
C．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故C不符合题意；
D．含有未知数的项的最高次数不是1，不是二元一次方程组，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握“根据二元一次方程组的定义识别二元一次方程组”是解本题的关键.
【变式训练】
1．（2022·河南·濮阳市第一中学八年级期中）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫二元一次方程组可得．
【详解】解：①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
②方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
③方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
④方程组含有，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程组；
⑤符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
2．（2022·山东·邹城市第十一中学七年级阶段练习）下列方程组中，二元一次方程组一共有（ ）个．
（1），（2），（3），（4）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】解：（1）符合二元一次方程组的定义；
（2）第二个方程中的是二次的，故该选项不符合题意；
（3）第一个方程不是整式方程，故该选项不符合题意；
（4）符合二元一次方程组的定义．
则二元一次方程组共2个，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
3．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①②③B．①②③④C．③④D．②③
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组，据此即可判定．
【详解】①是三元一次方程组，故不符合题意；
②各方程不是整式方程，故不是二元一次方程组，故不符合题意；
③是二元一次方程组，故符合题意；
④是二元一次方程组，故符合题意；
故是二元一次方程组是③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，理解和掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键．
【考点五 判断是否是二元一次方程组的解】
例题：（2022·北京四中璞瑅学校七年级期中）下列二元一次方程组的解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把代入各方程组两个方程检验，即可作出判断．
【详解】解：A、
把代入①得：左边=1−1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=1，不成立；
∴选项A不符合题意；
B、
把代入①得：左边=1－1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=－1，不成立；
∴选项B不符合题意；
C、，
把代入①得：左边=1－1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=2，成立；
∴选项C符合题意；
D、
把代入①得：左边=1−1=0，右边=0，成立；
把代入②得：左边=1+1=2，右边=−2，不成立
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式训练】
1．（2022·浙江工业大学附属实验学校七年级阶段练习）下列以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入得6-1=5，方程左右两边相等，
将代入得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等，
∴是的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
2．（2022·福建·武平县实验中学七年级期中）已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把代入方程组检验即可．
【详解】解：A、将代入方程组，
可得：，
即是方程组的解，符合题意；
B、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
C、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
D、将代入方程组，
可得：，
即不是方程组的解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
3．（2022·广西河池·七年级期末）下列方程组中，以为解的二元一次方程组是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将代入中得：，方程左右两边相等，
将代入中得：，方程左右两边相等，
∴是方程组的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解“二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”．
【考点六 解二元一次方程组—代入消元法】
例题：（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校八年级阶段练习）解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用代入法解方程组．
（1）
解：
将②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
∴方程组的解为
（2）
原方程组整理得
由①得，③，
将③代入②，得，
解得，
将代入③，得，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的解法：代入法和加减法，并能依据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·全国·广州四十七中九年级阶段练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用代入消元法解答，即可求解．
【详解】解：，
把①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
2．（2022·广东·广州市天河区汇景实验学校九年级阶段练习）解二元一次方程组
【答案】
【分析】根据代入消元法将代入即可求解．
【详解】解：，
将②代入①得：，
解得：，
将代入②得：，
所以原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022·吉林市亚桥中学七年级期末）解方程组：．
【答案】
【分析】根据方程组中方程的特点，采用代入消元法解答即可．
【详解】解：代入得，，
解得，
将代入得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答；第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法．
【考点七 解二元一次方程组—加减消元法】
例题：（2021·四川省南充市高坪中学七年级期中）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
（1）
解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）
解：，
得：，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东·东莞市万江第二中学七年级阶段练习）解方程组
【答案】
【分析】方程组中未知数 的系数分别是 ， ，最小公倍数是 ，①式（见详解）乘以 减去②式乘以 ，消去未知数，即可求出未知数 ，再代入①式即可求出答案．
【详解】解：原式得，3x+5y=25①4x+3y=1②
， ，
∴ ，
∴ ，把代入①得， ，
∴ ，
故方程组的解是： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，先分析各未知数系数的关系，确定最小公倍数，运用加减消元法解方程组，掌握加减消元法解方程组最关键的是要确定未知数的系数的关系．
2．（2022·重庆璧山·七年级期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法，把①②消去y，得到，解得，把代入②，得到，解得，即得；
（2）利用加减消元法，把①②消去y，得到，解得，并代入①，得到，解得，即得．
（1）
解：，
①②得，解得．
把代入②，得，解得．
原方程组的解为．
（2）
，
①②，得，
解得，并代入①，得，解得．
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握加减消元法解二元一次方程组．
3．（2022·河南·漯河市实验中学七年级期末）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解方程即可；
（2）先处理方程，然后再用加减消元法解方程即可．
（1）
解：
，得，
解得，
把代入得
解得，
所以原方程组的解为．
（2）
解：原方程化为：
，得，
解得：，
把代入得：
解得，
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单，特殊情况用代入法．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·八年级单元测试）下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】A、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
B、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
C、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
D、该方程不符合二元一次方程的定义，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，由定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意；
B、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
C、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D、不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022春·湖南邵阳·七年级校考期中）方程的正整数解有（ ）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【答案】A
【分析】先将方程化为，再根据均为正整数进行分析即可得．
【详解】解：方程可化为，
∵，均为正整数，
∴，且是的倍数，
，且为偶数，
则当时，，
即方程的正整数解为，共有1组，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解法是解题关键．
4．（2022秋·八年级单元测试）对于方程，用含x的代数式表示y的形式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将当成已知数，方程的左右两边同时乘以2，再移项求解即可．
【详解】解：方程，
解得：，
故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程，解题的关键是将当成已知数，求出．
5．（2022秋·重庆·八年级校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据二元一次方程解的定义把代入到方程中得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
二、填空题
6．（2022秋·八年级单元测试）关于、方程是二元一次方程，则______，______．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
【详解】解：∵关于、方程是二元一次方程，
∴，，
解得，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．
7．（2022秋·山东青岛·八年级统考期末）若是二元一次方程的一个解，则的值为______．
【答案】
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于，的方程，可得整体代数式的值，再代入代数式可得答案．
【详解】解：∵是二元一次方程的一个解，
∴代入得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义是解题的关键．
8．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）若是关于x、y的方程组的解，则的值为____________．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义，代入方程组，求出，的值，即可求解．
【详解】∵是关于x、y的方程组的解，
∴
∴
∴，
故答案为：4
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义，理解二元一次方程组的解定义是解本题的关键．
9．（2022·宁夏银川·银川九中校考二模）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】-2
【分析】根据等式的性质方程①与方程②相减即可．
【详解】解：，
得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解等式的性质是解决问题的前提，方程①与方程②相减是解决问题的关键．
10．（2022春·河南濮阳·七年级统考期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，则的值是___________．
【答案】12
【分析】首先根据题意可得，把代入二元一次方程组得到关于的二元一次方程组，解出即可得到的值，代入代数式中，即可得出结果．
【详解】把代入二元一次方程组，
可得：
解得：
∴把代入，
可得：
故答案为：12
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组的解，求参数的问题，本题的关键在熟练掌握二元一次方程组的解法．
三、解答题
11．（2022秋·辽宁·八年级校考期末）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【详解】解：整理得：，
，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
12．（2022秋·辽宁丹东·八年级统考期末）解方程组：
【答案】
【分析】利用加减消元法解答，即可求解．
【详解】解：
解：由①得：，
由③，得，
②④，得，
将代入①，得，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法—加减消元法，代入消元法是解题的关键．
13．（2022秋·广东广州·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组；
（2）先变形然后用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
（2）解：，
原方程组可变为：，
得：，即，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算．
14．（2022春·北京西城·七年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2）解：，
把①代入②得：，
解得，
把代入①得：，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是选择合适的方法进行消元．
15．（2022秋·八年级单元测试）解下列方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可；
（2）先化简方程组，根据方程组中方程的特点，采用加减消元法解答即可．
【详解】（1）解：
得，③，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为；
（2）原方程组可以化为：
，
得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，第一种代入消元法，先从一个方程当中用一个字母表示另一个字母，然后代入另一个方程消去未知数解答，第二种加减消元法，把两个方程的两边分别相加或相减去一个未知数的方法叫作加减消元法，解题的关键是根据方程的特点选用合适的方法．
16．（2022秋·全国·八年级期末）请用指定的方法解下列方程组：
(1)（代入法） (2)（加减法）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
由①得③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得：，解得，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的一般方法，加减消元法和代入消元法．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）解下列方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法解二元一次方程组即可；
（2）先把方程组中的两个方程分别化简，再用加减法即可求解．
【详解】（1），
把代入得：，
解得：，
把代入中，得，
所以原方程组的解为；
（2），
原方程组化简为，
得：，
解得：，
把代入得：，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的特点灵活选取适当的方法解方程组；当方程组中的两个方程有括号或分母时，往往先把每个方程化简，再用代入法或加减法解．
18．（2022春·北京·七年级校考期末）选用适当的方法，解下列关于x，y的二元一次方程组．
(1)； (2)； (3)； (4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用代入消元法求解；
（2）利用加减消元法求解；
（3）利用代入消元法求解；
（4）利用代入消元法求解．
【详解】（1）解： ，
将②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
因此该方程组的解为：；
（2）解：，
①②，得，
解得，
将代入①，得，
解得，
因此该方程组的解为：；
（3）解：，
由②得，
将代入①，得，
解得，
将代入，得，
因此该方程组的解为：；
（4）解：，
由①得，
将代入②，得，
解得，
将代入，得，
因此该方程组的解为：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
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