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浙教版七年级数学下册专题06解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题06解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)，共44页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30198" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30198 \h 1
\l "_Tc10684" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10684 \h 1
\l "_Tc14340" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc14340 \h 4
\l "_Tc22099" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc22099 \h 8
\l "_Tc3620" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc3620 \h 13
\l "_Tc9188" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc9188 \h 15
\l "_Tc2745" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2745 \h 17
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．
(1)； (2)
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【变式训练】
1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m= ________ ．
6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．
7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
三、解答题
9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组
(1) (2)
10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：
(1) (2)
11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；
（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：
解方程组：．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
16．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）知识积累：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
专题06 解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30198" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30198 \h 1
\l "_Tc10684" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10684 \h 1
\l "_Tc14340" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc14340 \h 4
\l "_Tc22099" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc22099 \h 8
\l "_Tc3620" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc3620 \h 12
\l "_Tc9188" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc9188 \h 14
\l "_Tc2745" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2745 \h 16
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
【变式训练】
1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
得，
解得：，
把代入解得：，
所以方程组的解为；
（2）解：
由①得③
把③代入②得：，
解得：
把代入①解得：，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
（1）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
【答案】．
【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
即方程组为，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
（1）
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
【变式训练】
1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
（1）
∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）
对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴
∴
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴
整理得：，
①+②得： ③
把③代入①得：
把x=5代入②得：
∴
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
【答案】3.5
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵、，
∴，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【答案】(1)，；
(2)5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）∵，
∴，
得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【答案】2
【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．
【详解】解：，
由②①得，
由①②得，
x，y互为相反数，
，解得．
故答案为：2
【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
【答案】1
【分析】根据题意，得出，即可求解．
【详解】解： ，
得，
∵的解满足，
∴，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
【答案】##
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.
【详解】解：，
①+②，得4（x+y）=3k+3，
把x+y=5代入，得20=3k+3，
解得k=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，理清方程组中未知数的系数特点是解决本题的关键．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【答案】4
【分析】首先把m看作常数，解方程组分别表示x，y， 再根据y的值，可知2m+9是34的约数，列式可得m=4，代入x的值后符合题意，从而得出结论．
【详解】解：原方程为 ，
②×2－①×3得：，
∴，
把代入①得： ，
∵x，y是正整数，
∴2m+9=1，2，17，34，
∴m= -4，-3.5，4，12.5
∵m为正整数，
∴m=4，
当m= 4时，x=3，符合题意，
则正整数m的值是4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解， 二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
【答案】C
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【详解】解：
，C选项变形不正确
故选C
【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．
2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】得，得出，结合条件，即可求解．
【详解】解：
得，
∴，
又，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【详解】解：将代入原方程组，得，
解得：．
将代入方程的左右两边，
得：左边，右边，即左边右边，
∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得，
∴，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵，
∴x、y为自然数的解有，，，，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得：，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．
二、填空题
5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m= ________ ．
【答案】-1
【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值．
【详解】解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
解得，m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．
【答案】1或3或7
【分析】先用加减消元法求原方程组的解，再根据题意求m的值即可；
【详解】解：
①+②得，，解得：；
将代入①得，，解得：；
∵二元一次方程组有正整数解，
∴或或，
∴整数m的值可以是：1或3或7；
故答案为：1或3或7．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．
【答案】
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出即可．
【详解】解：
得：，
解得：，
把代入②得：，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元法的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
【答案】
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】当时，二元一次方程组为：
令
得，，解得：
把代入式，得，解得：
∴当时，方程组的解为：；
故正确；
当时，二元一次方程组为：
解得：
∴当时，方程组的解为：；
故错误；
∵
∴
把代入中，得
∴
若，则，方程无解
当，且时，方程无解
∴错误；
当，
∴，
∴在中，，有意义，
∴当时，二元一次方程组有解，
∴正确，
∴正确的为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法．
三、解答题
9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）先化简方程，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）解：方程组整理得：，
①×2+②得：15y＝11，
解得：y＝，
②×7﹣①得：15x＝17，
解得：x＝，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）加减消元法先消去未知数求出，再将代入方程①求出即可．
（2）方程组先整理，再加减消元法消去x求出y，再将y代入方程求出x即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得x＝2．
把x＝2代入②，得：，
解得．
∴方程组的解是．
（2）解：原方程组整理得：，
①＋②×5得：46y＝46，
解得y＝1．
把y＝1代入①得：5x＋1＝36，
解得x＝7．
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．
11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：2y-3y+3=1，
解得y=2，
把y=2代入①得x=1，
∴方程组的解为；
（2），
整理得：，
①+②得：4x=8，
解得：x=2，代入①中，
解得：y=，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解；
【详解】（1）解：
得：，
得：，
解得：，
把代入①中，得：，
解得：，
∴该二元一次方程组的解为：；
（2）解：化简得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①中，得：，
解得：
∴该二元一次方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．
13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；
（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
【答案】（1）；（2）x+y＝．
【分析】（1）选择整体代入法求解即可；
（2）转化为二元一次方程组问题求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
解得：y＝1，
∴x＝4，
∴方程组的解为；
（2）根据题中的新定义化简得：，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y＝．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整体法求解方程组是解题的关键．
14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）-12；（2）
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，得到二元一次方程组，计算即可求出所求．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查了新定义运算，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：
解方程组：．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】（1）解：由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
【答案】加减 ，三 ，去括号错误 ；
【分析】任务一：用代入消元法解方程组；注意去括号变号；
任务二：用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：任务一：方程组用代入消元法解方程组，
故答案为：加减；
第三步出现错误，去括号时没有变号，
故答案为：三，去括号错误；
任务二： ，
由得 ，
把代入，得，
整理得，
解得，即，
把代入，得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）知识积累：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照原题提供的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设1＝x，2＝y，
∴原方程组可变为：
，
解这个方程组得：，
，
所以：；
（2）解：设，
可得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30198" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30198 \h 1
\l "_Tc10684" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10684 \h 1
\l "_Tc14340" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc14340 \h 4
\l "_Tc22099" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc22099 \h 8
\l "_Tc3620" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc3620 \h 13
\l "_Tc9188" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc9188 \h 15
\l "_Tc2745" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2745 \h 17
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【变式训练】
1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．
(1)； (2)
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【变式训练】
1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m= ________ ．
6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．
7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
三、解答题
9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组
(1) (2)
10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：
(1) (2)
11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；
（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：
解方程组：．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
16．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）知识积累：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
专题06 解题技巧专题：解二元一次方程组压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc30198" 【典型例题】 PAGEREF _Tc30198 \h 1
\l "_Tc10684" 【考点一 解二元一次方程组】 PAGEREF _Tc10684 \h 1
\l "_Tc14340" 【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】 PAGEREF _Tc14340 \h 4
\l "_Tc22099" 【考点三 二元一次方程组的特殊解法】 PAGEREF _Tc22099 \h 8
\l "_Tc3620" 【考点四 新定义型二元一次方程组问题】 PAGEREF _Tc3620 \h 12
\l "_Tc9188" 【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】 PAGEREF _Tc9188 \h 14
\l "_Tc2745" 【过关检测】 PAGEREF _Tc2745 \h 16
【典型例题】
【考点一 解二元一次方程组】
例题：（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）解二元一次方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
∴二元一次方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，准确计算．
【变式训练】
1．（2022春·山东青岛·八年级统考期末）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
2．（2022春·山西太原·八年级校考阶段练习）解方程组：
(1)； (2)．
【答案】(1)； (2)
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：；
（2），
得：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
故原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
3．（2022秋·北京·七年级校考阶段练习）解二元一次方程组．
(1)； (2)
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）先整理方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：
整理得：，
得，
解得：，
把代入解得：，
所以方程组的解为；
（2）解：
由①得③
把③代入②得：，
解得：
把代入①解得：，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，利用消元思想，消元的方法为：代入消元法和加减消元法．
【考点二 二元一次方程组的错解复原问题】
例题：（2022·河南·安阳市第五中学七年级期末）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．
【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6
(2)
【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么；
（2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解．
（1）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
∴甲把a看成了5，乙把b看成了6；
（2）
解：把代入，
可得：，
解得：，
把代入，
可得：，
解得：，
把，代入原方程组，
可得：，
由②得：③，
由①+③，可得：，
∴，
把代入①，可得：，
解得：，
∴原方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的方法是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·仁寿县长平初级中学校（四川省仁寿第一中学校南校区初中部）七年级期中）甲、乙两人解同一个方程组 , 甲因看错①中的得解为，乙因抄错了②中的解得，请求出原方程组的解．
【答案】．
【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出，求出，得出方程组，①②得出，求出，再把代入①求出即可．
【详解】解：，
把代入②得：，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
即方程组为，
①②，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·吉林长春·七年级期末）下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：
解：①×2，得……③ 第一步
②－③，得 第二步
． 第三步
将代入①，得． 第四步
所以，原方程组的解为 第五步
(1)这种求解二元一次方程组的方法叫做 法，以上求解步骤中，马小虎同学第 步开始出现错误．
(2)请写出此题正确的解答过程．
【答案】(1)加减消元法，第四步
(2)见解析
【分析】（1）根据解方程组的特点判断，注意系数化为1时的计算．
（2）按照解方程组的步骤求解即可
（1）
根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第四步系数化为1时，出错，
故答案为：加减消元法，第四步．
（2）
方程组：
解：①×2，得……③ ，
②－③，得 ，
解得．
将代入①，得3．
解得x=．
所以，原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握方程组的解法是解题的关键．
3．（2022·河北唐山·二模）解方程组：．
小海同学的解题过程如下：
解：由②，得③……（1）
把③代入①，得：……（2）
解得：……（3）
把代入③，得……（4）
∴此方程组的解为……（5）
判断小海同学的解题过程是否正确，若不正确，请指出错误的步骤序号，并给出正确的解题过程．
【答案】不正确，错误的步骤是（1），（2），（3），正确结果为
【分析】第（1）步，移项没有变号，第（2）步没有用乘法分配律，去括号也错误了，第（3）步移项后计算错误，写出正确的解答过程即可．
【详解】解：错误的是（1），（2），（3），
正确的解答过程：
由②得：y＝5﹣x③
把③代入①得：3x﹣10+2x＝6，
解得：，
把代入③得：，
∴此方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
【考点三 二元一次方程组的特殊解法】
例题：（2022·广东·广州市第一二三中学模拟预测）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得x﹣y＝1③
将③代入②得：4×1﹣y＝5，即y＝﹣1
把y＝﹣1代入③得x＝0，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到1+2y＝9，解得y＝4，再将y＝4代入①得：x＝7，得到原方程组的解为：．
【详解】解：，
将①代入②得：1+2y＝9，即y＝4，
将y＝4代入①得：x＝7，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
【变式训练】
1．（2022·重庆璧山·七年级期中）阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1)若方程组的解是，则方程组的解是__________．
(2)仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可．
（2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可．
解得：，∴，解这个二元一次方程组即可．
（1）
∵方程组的解是，
∴，
解得： ；
（2）
对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键．
2．（2022·河北石家庄·七年级期中）甲、乙、丙在探讨问题“已知，满足，且求的值．”的解题思路时，甲同学说：“可以先解关于，的方程组再求的值．”乙、丙同学听了甲同学的说法后，都认为自己的解题思路比甲同学的简单，乙、丙同学的解题思路如下．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求的值；
丙同学：先解方程组，再求的值．
你最欣赏乙、丙哪位同学的解题思路？先根据你最欣赏的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．
【答案】我最欣赏乙同学的解法，，理由见解析
【分析】我最欣赏乙同学的解法，根据乙的思路求出的值，分析简便的原因．
【详解】解：我最欣赏乙同学的解法，
，
得：，
整理得：，
代入得：，
解得：，
这样解题采用了整体代入的思想，利用简化运算．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，能观察方程特点并运用整体代入的方法是解题的关键．消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【考点四 新定义型二元一次方程组问题】
例题：（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）定义新运算∶对于任何非零实数a、b．都有a※b= ax- by．
(1)若2※2 =-3，求x- y的值；
(2)若3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，求x、y的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义的含义可得从而可得答案；
（2）根据新定义的含义构建方程组再解方程组即可．
（1）
解：∵a※b= ax- by，2※2 =-3，
∴
∴
（2）
∵3※(-2)= 3，(-2)※3= 8，
∴
整理得：，
①+②得： ③
把③代入①得：
把x=5代入②得：
∴
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，代数式的求值，二元一次方程组的解法，理解新定义的含义，构建二元一次方程组是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·河南新乡·七年级统考期中）对于、我们定义一种新运算“”：，其中、类为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算已知：、，求的值．
【答案】3.5
【分析】根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出，再求出答案即可．
【详解】解：∵、，
∴，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）对x，y定义一种新运算，规定： ，（其中a，b均为非零常数），例如： ．
(1)求与的值（用含a，b的代数式表示）；
(2)若（c为非零的常数），求代数式7a+5b的值．
【答案】(1)，；
(2)5
【分析】（1）根据新定义计算即可；
（2）结合（1）得到a，b的方程组，用含c的式子表示a，b，再代入计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）∵，
∴，
得：
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查新定下的列代数式，加减消元法，掌握加减消元法是解题的关键．
【考点五 已知二元一次方程组的解求参数】
例题：（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）已知方程组的解满足x，y互为相反数，则k＝_____．
【答案】2
【分析】根据题意，先解关于的二元一次方程组，再根据x，y互为相反数，列式求解即可得到值．
【详解】解：，
由②①得，
由①②得，
x，y互为相反数，
，解得．
故答案为：2
【点睛】本题考查解二元一次方程组及相反数的性质，熟练掌握解方程组的步骤是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2022·广东韶关实验中学七年级期中）关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值是______．
【答案】1
【分析】根据题意，得出，即可求解．
【详解】解： ，
得，
∵的解满足，
∴，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东济宁·七年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解与方程x+y＝5的解相同，则k的值是 _____．
【答案】##
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k.
【详解】解：，
①+②，得4（x+y）=3k+3，
把x+y=5代入，得20=3k+3，
解得k=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，理清方程组中未知数的系数特点是解决本题的关键．
3．（2022·山东淄博·七年级期中）关于x，y的二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值是_______．
【答案】4
【分析】首先把m看作常数，解方程组分别表示x，y， 再根据y的值，可知2m+9是34的约数，列式可得m=4，代入x的值后符合题意，从而得出结论．
【详解】解：原方程为 ，
②×2－①×3得：，
∴，
把代入①得： ，
∵x，y是正整数，
∴2m+9=1，2，17，34，
∴m= -4，-3.5，4，12.5
∵m为正整数，
∴m=4，
当m= 4时，x=3，符合题意，
则正整数m的值是4；
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解， 二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形不正确的是（ ）
A．由①得B．由①得
C．由②得D．由②得
【答案】C
【分析】根据代入消元法解方程组的方法，进行变形时要特别注意移项后符号要变号．
【详解】解：
，C选项变形不正确
故选C
【点睛】本题考查了解方程的方法，解题关键是掌握代入消元法解方程组的相关知识．
2．（2022秋·八年级课时练习）方程组的解适合方程，则k值为( )
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】得，得出，结合条件，即可求解．
【详解】解：
得，
∴，
又，
∴，
解得，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
3．（2021春·江苏南通·七年级校考期中）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
4．（2022秋·河北保定·八年级校考期末）已知关于x，y的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；
②无论a取何值，x，y不可能互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若，则．
其中不正确的有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可判断；
②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解；
③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
④根据整体代入的方法即可求解．
【详解】解：将代入原方程组，得，
解得：．
将代入方程的左右两边，
得：左边，右边，即左边右边，
∴当时，方程组的解不是方程的解，故①错误，符合题意；
解原方程组，得，
∴，
∴无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确，不符合题意；
∵，
∴x、y为自然数的解有，，，，
∴x，y都为自然数的解有4对，故③正确，不符合题意；
∵，，
∴，
解得：，故④错误，符合题意．
综上所述：②③正确，①④错误．
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组．解题的关键是掌握二元一次方程的解和二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组的方法和步骤．
二、填空题
5．（2022春·云南红河·七年级校考阶段练习）如果方程组的解x、y的值相同，则m= ________ ．
【答案】-1
【分析】根据方程组的解x、y的值相同，联立方程组，求出x，y的值，然后把x，y的值代入即可求出m的值．
【详解】解：方程组的解x、y的值相同，
联立方程组，
解得，
把代入，得，
解得，m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考二元一次方程组的解法，根据题意联立方程组，从而求出x，y的值是解题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）如果关于x、y的二元一次方程组有正整数解，则整数m的值可以是________．
【答案】1或3或7
【分析】先用加减消元法求原方程组的解，再根据题意求m的值即可；
【详解】解：
①+②得，，解得：；
将代入①得，，解得：；
∵二元一次方程组有正整数解，
∴或或，
∴整数m的值可以是：1或3或7；
故答案为：1或3或7．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的求解方法是解题的关键．
7．（2022秋·八年级课时练习）对实数a，b，定义运算“◆”：，例如，因为，所以，若x，y满足方程组则________．
【答案】
【分析】求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出即可．
【详解】解：
得：，
解得：，
把代入②得：，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元法的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2021春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）关于，的二元一次方程组，下列说法正确的是______．
当时，方程组的解为．
当时，方程组无解．
当时，无论为何值，方程组均有解．
当时，方程组有解．
【答案】
【分析】根据解二元一次方程的知识，进行求解，即可．
【详解】当时，二元一次方程组为：
令
得，，解得：
把代入式，得，解得：
∴当时，方程组的解为：；
故正确；
当时，二元一次方程组为：
解得：
∴当时，方程组的解为：；
故错误；
∵
∴
把代入中，得
∴
若，则，方程无解
当，且时，方程无解
∴错误；
当，
∴，
∴在中，，有意义，
∴当时，二元一次方程组有解，
∴正确，
∴正确的为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法．
三、解答题
9．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用代入法求解即可；
（2）先化简方程，再用加减法求解即可．
【详解】（1）解：，
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）解：方程组整理得：，
①×2+②得：15y＝11，
解得：y＝，
②×7﹣①得：15x＝17，
解得：x＝，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握根据方程组的特征，恰当选择代入消元法和加减消元法求解是解题的关键．
10．（2022秋·全国·八年级期末）解方程组：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）加减消元法先消去未知数求出，再将代入方程①求出即可．
（2）方程组先整理，再加减消元法消去x求出y，再将y代入方程求出x即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得x＝2．
把x＝2代入②，得：，
解得．
∴方程组的解是．
（2）解：原方程组整理得：，
①＋②×5得：46y＝46，
解得y＝1．
把y＝1代入①得：5x＋1＝36，
解得x＝7．
∴方程组的解是．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题关键是熟知解方程组的基本步骤：消元．
11．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
把②代入①得：2y-3y+3=1，
解得y=2，
把y=2代入①得x=1，
∴方程组的解为；
（2），
整理得：，
①+②得：4x=8，
解得：x=2，代入①中，
解得：y=，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级期末）解下列方程组
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法解答，即可求解；
（2）利用加减消元法解答，即可求解；
【详解】（1）解：
得：，
得：，
解得：，
把代入①中，得：，
解得：，
∴该二元一次方程组的解为：；
（2）解：化简得：，
得：，
得：，
解得：，
把代入①中，得：，
解得：
∴该二元一次方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法，代入消元法是解题的关键．
13．（2021春·河南南阳·七年级统考期末）（1）解方程组：；
（2）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b＝2a+b．例如3⊗4＝2×3+4＝10．若x⊗（﹣y）＝2，且2y⊗x＝﹣1，求x+y的值．
【答案】（1）；（2）x+y＝．
【分析】（1）选择整体代入法求解即可；
（2）转化为二元一次方程组问题求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
解得：y＝1，
∴x＝4，
∴方程组的解为；
（2）根据题中的新定义化简得：，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y＝．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握整体法求解方程组是解题的关键．
14．（2021春·浙江杭州·七年级期中）对于任意实数a，b，定义关于“&”的运算如下：，例如．
（1）求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）-12；（2）
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）已知等式利用题中的新定义化简，得到二元一次方程组，计算即可求出所求．
【详解】解：（1）∵，
∴；
（2）已知等式利用题中的新定义化简得：
，，
即，
解得：，
∴．
【点睛】此题考查了新定义运算，解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．（2022秋·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校校考期末）阅读以下材料：
解方程组：．
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②得：
(1)请你替小亮补全完整的解题过程；
(2)请你用这种方法解方程组：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）由①得代入②得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【详解】（1）解：由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：，
由①得③，
将③代入②得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
∴方程组的解为．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
【答案】加减 ，三 ，去括号错误 ；
【分析】任务一：用代入消元法解方程组；注意去括号变号；
任务二：用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：任务一：方程组用代入消元法解方程组，
故答案为：加减；
第三步出现错误，去括号时没有变号，
故答案为：三，去括号错误；
任务二： ，
由得 ，
把代入，得，
整理得，
解得，即，
把代入，得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）知识积累：解方程组．
解：设a﹣1＝x，b＋2＝y．原方程组可变为，解这个方程组得，即，所以，这种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组：．
(2)能力运用：已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照原题提供的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答．
【详解】（1）解：设1＝x，2＝y，
∴原方程组可变为：
，
解这个方程组得：，
，
所以：；
（2）解：设，
可得：，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．
18．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料： 小明同学遇到下列问题：
解方程组，他发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的（2x＋3y）和（2x—3y）分别看做一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令m＝2x＋3y，n＝2x—3y，原方程组可以化为：，解得
把代入m＝2x＋3y，n＝2x—3y，得，解得
∴原方程组的解为
请你参考小明同学的做法，解决下面的问题：
(1)解方程组：
(2)若方程组的解是，则方程组的解是 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可；
（2）令，，将方程组整理后，仿照阅读材料中的解法求出解即可．
【详解】（1）解：令，，
原方程组可化为，
解得：，
∴，
两式相加得，将代入中，求得，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：，，
原方程组可化为
，
依题意，得
，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
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