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浙教版七年级数学下册专题08二元一次方程组的应用压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题08二元一次方程组的应用压轴题五种模型全攻略(原卷版+解析)，共33页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20795" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20795 \h 1
\l "_Tc14101" 【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】 PAGEREF _Tc14101 \h 1
\l "_Tc21107" 【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 PAGEREF _Tc21107 \h 5
\l "_Tc8133" 【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】 PAGEREF _Tc8133 \h 8
\l "_Tc1787" 【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】 PAGEREF _Tc1787 \h 10
\l "_Tc7051" 【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】 PAGEREF _Tc7051 \h 12
\l "_Tc6196" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6196 \h 15
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2022·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式训练】
1．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁、两种车型接送师生往返，若租用型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用型车5辆，型车辆，则空余15个座位．
(1)求、两种车型各有多少个座位？
(2)若租用同一种车，且型车租金为1600元/辆，型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？
2．（2021·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【变式训练】
1．（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级期末）重庆市认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个果园，经过一年多的精心栽培，去年6月份共产A、B两种水果2500千克，在市场上A种水果以每千克4元的价格出售，B种水果以每千克6元的价格出售，这样该贫困户6月份收入13000元．
(1)去年6月份该果园产A、B两种水果各多少千克？
(2)今年6月由于雨水较多，该贫困户的水果受到影响，在产量和销售价格上，A种水果数量比去年减少了2a千克，销售价格不变；B种水果数量比去年减少了a%．销售价格比去年减少了，该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，真正达到了脱贫致富，求a的值．
2．（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2022·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．（2022·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A．B．
C．D．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．
【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】
例题：（2022·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【变式训练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
2．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长为30，宽为25的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．100B．125C．200D．210
3．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
二、填空题
4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．若设一个加数为，另一个加数为，则根据题意，可列方程组为_____．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，设原长方形的长为，宽为，那么x、y满足的二元一次方程组是 _____________．
6．（2022秋·八年级课时练习）在餐馆里，王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，则馒头每个_____元．
三、解答题
7．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
8．（2021秋·云南昆明·七年级校考期末）某社团准备购买A，B两种魔方，已知购买1个A魔方和3个B魔方共需65元，购买3个A魔和4个B种魔方所需的钱数相同．
(1)求A、B两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方的个数小于50个），某商店有两种优惠活动，请根据如图所示的信息，说明当购买A种魔方多少个时，两种优惠活动一样．
9．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买钢笔的支数为a．李老师购买纪念品一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？
10．（2022·全国·七年级专题练习）2020年2月，“新冠"疫情日趋严重，“雷神山"医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元.
(1)求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案？
11．（2022春·贵州遵义·七年级校考期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
13．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）．
(1)全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车_______辆来运送；
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三种车型的辆数，并求出此时的运费．
客车型号
A
B
人数/辆
28
49
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
35
50
雪容融
30
40
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
优惠活动
活动一：A种魔方八折
B种魔方四折
活动二：购买一个A种魔方
送一个B种魔方
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套
1.65
1.4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
200
250
300
专题08 二元一次方程组的应用(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20795" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20795 \h 1
\l "_Tc14101" 【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】 PAGEREF _Tc14101 \h 1
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\l "_Tc7051" 【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】 PAGEREF _Tc7051 \h 12
\l "_Tc6196" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6196 \h 15
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2022·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；
（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）
解：依题意，得：3a+4b=31，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）
解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
【变式训练】
1．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁、两种车型接送师生往返，若租用型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用型车5辆，型车辆，则空余15个座位．
(1)求、两种车型各有多少个座位？
(2)若租用同一种车，且型车租金为1600元/辆，型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？
【答案】(1)每辆型车有45个座位，每辆型车有60个座位
(2)选择方案二，只租用型车时最划算，总费用为12950元
【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，根据“若租用A型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆型车有45个座位，每辆型车有60个座位．
（2）
解：方案一：只租用型车时：，故需要租9辆车．
总费用为：（元）
方案二：只租用型车时：，故需要租7辆车．
总费用：（元）
∵，
∴选择方案二，只租用型车时最划算，总费用为12950元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
2．（2021·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元
(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元
【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．
（1）
解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）
设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，注意题中有干扰数据．
【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)20个，30个
(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个
【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．
（1）
解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，
有题意得
解得
答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；
（2）
由表格得，
设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，
∴35a+30b=600
∴
∵a，b为正整数
∴可得，
∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级期末）重庆市认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个果园，经过一年多的精心栽培，去年6月份共产A、B两种水果2500千克，在市场上A种水果以每千克4元的价格出售，B种水果以每千克6元的价格出售，这样该贫困户6月份收入13000元．
(1)去年6月份该果园产A、B两种水果各多少千克？
(2)今年6月由于雨水较多，该贫困户的水果受到影响，在产量和销售价格上，A种水果数量比去年减少了2a千克，销售价格不变；B种水果数量比去年减少了a%．销售价格比去年减少了，该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，真正达到了脱贫致富，求a的值．
【答案】(1)去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克
(2)a的值为30
【分析】（1）设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合去年6月份共产A、B两种水果2500千克且销售总额为13000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
（1）
解：设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，
依题意得：，
解得：，
即去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克．
（2）
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，
即a的值为30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
2．（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元
(2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．
（1）
解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；
（2）
设需要的空瓶个，的空瓶个，
依题意得：，
，
，均为非负整数，
或或，
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
，
分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2022·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，
则10x+y−10y−x=63，
整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且0∴或
∴这个两位数为：92或81．
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组
，
故选A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
【答案】27
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得，
解得：，
即原来的两位数是27．
故答案为：27．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数的值．
【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，大长方形的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形边长为：，
设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
小长方形的长为，宽为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出小长方形的长与宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得：，
解得：，
∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）-6×8×2=44（）．
答：阴影部分的面积为44．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】
例题：（2022·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【答案】m=15，n=9
【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】根据题意以及表格数据，
有：，
解得，
答：m的值为15，n的值为9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）
设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
2．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，
则解得
这首歌的歌词的字数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长为30，宽为25的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．100B．125C．200D．210
【答案】D
【分析】小矩形的长为x,宽为y,根据图形找到等量关系，列出x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再由阴影部分的面积等于大矩形面积减去5个小矩形面积即可．
【详解】设小矩形的长为x,宽为y,由题意得，
解得
∴阴影部分的面积为30×25-5×18×6=210．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
【答案】D
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得：，
∴大套装的单价为120元．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
二、填空题
4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．若设一个加数为，另一个加数为，则根据题意，可列方程组为_____．
【答案】
【分析】根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找准等量关系是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，设原长方形的长为，宽为，那么x、y满足的二元一次方程组是 _____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，根据面积相等即可列出方程组．
【详解】解：∵长方形的长方形的的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，
∴；
∵这两个图形的面积相等，
∴，
即．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）在餐馆里，王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，则馒头每个_____元．
【答案】1
【分析】设馒头每个x元，菜每个y元，由题意：王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设馒头每个x元，菜每个y元，
由题意得：，
解得：，
即馒头每个1元，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题
7．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
【答案】小长方形的长为10米，宽为4米
【分析】设小长方形的长为米，宽为米，由大长方形的周长及上下两边相等，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组：
解得：
答：小长方形的长为10米，宽为4米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2021秋·云南昆明·七年级校考期末）某社团准备购买A，B两种魔方，已知购买1个A魔方和3个B魔方共需65元，购买3个A魔和4个B种魔方所需的钱数相同．
(1)求A、B两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方的个数小于50个），某商店有两种优惠活动，请根据如图所示的信息，说明当购买A种魔方多少个时，两种优惠活动一样．
【答案】(1)A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元
(2)购买A种魔方45个、B种魔方55个时，两种优惠活动一样
【分析】（1）设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，根据“购买1个A种魔方和3个B种魔方共需65元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种魔方个，B种魔方n个，根据两种优惠活动所需费用一样，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元．
（2）解：设购买A种魔方个，B种魔方n个，
依题意，得：，
解得：．
答：当购买A种魔方45个、B种魔方55个时，两种优惠活动一样．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买钢笔的支数为a．李老师购买纪念品一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？
【答案】(1)钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
(2)3或6或10支．
【分析】（1）设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元”列方程组求解；
（2）设买a支钢笔，则买b个笔记本，根据单价求得分别求得当和时的费用，进而列出二元一次方程，解方程即可求解．
（1）
设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据题意得：
解得：，
答：钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
（2）
设买a支钢笔，买b个笔记本，
当时，，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，，
当时，，
即，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，
综上所述，3或6或10．
答：他可能购买了3或6或10支钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级专题练习）2020年2月，“新冠"疫情日趋严重，“雷神山"医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元.
(1)求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案？
【答案】(1)A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元
(2)共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆
【分析】（1）设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，列出二元一次方程，利用整数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，
依题意，得：，
得：，
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及解二元一次方程，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
11．（2022春·贵州遵义·七年级校考期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨
(2)三种方案：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
【分析】（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”列出方程组可求解；
（2）由“现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物”列出方程，求出正整数解，即可求解．
（1）
解：（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨．
（2）
解：由题意可得：3a+4b=31，
∵a,b为正整数，
∴a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1，
∴有三种方案，方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
答：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套
(2)有4种方案，方案见解析
【分析】（1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可；
（2）根据题意设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有4种进货方案．
【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得，
，
解得，，
经检验，符合题意，
答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套；
（2）设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，
由题意得，，
∵a， b均为正整数，
∴此方程的解为：
，或，或，或，
综上所述，有4种方案：
①购进A品牌的教学设备4套，购进B品牌的教学设备20套；
②购进A品牌的教学设备8套，购进B品牌的教学设备15套；
③购进A品牌的教学设备12套，购进B品牌的教学设备10套；
④购进A品牌的教学设备16套，购进B品牌的教学设备5套．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键．
13．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）．
(1)全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车_______辆来运送；
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三种车型的辆数，并求出此时的运费．
【答案】(1)4
(2)分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆
(3)甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元
【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设需甲车满，乙车y辆，根据运费4100元，总吨数是120吨，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案，
（1）
解：根据题意得∶，
答∶ 丙型车4辆来运送；
故答案为：4
（2）
解：设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：
，解得，
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆．
（3）
解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆，
由题意得：，即，
∵a、b、均为正整数，
∴b只能等于5，
∴，，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费200×2+250×5+300×7=3750（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
客车型号
A
B
人数/辆
28
49
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
35
50
雪容融
30
40
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
优惠活动
活动一：A种魔方八折
B种魔方四折
活动二：购买一个A种魔方
送一个B种魔方
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套
1.65
1.4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
200
250
300
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20795" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20795 \h 1
\l "_Tc14101" 【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】 PAGEREF _Tc14101 \h 1
\l "_Tc21107" 【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 PAGEREF _Tc21107 \h 5
\l "_Tc8133" 【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】 PAGEREF _Tc8133 \h 8
\l "_Tc1787" 【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】 PAGEREF _Tc1787 \h 10
\l "_Tc7051" 【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】 PAGEREF _Tc7051 \h 12
\l "_Tc6196" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6196 \h 15
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2022·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式训练】
1．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁、两种车型接送师生往返，若租用型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用型车5辆，型车辆，则空余15个座位．
(1)求、两种车型各有多少个座位？
(2)若租用同一种车，且型车租金为1600元/辆，型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？
2．（2021·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【变式训练】
1．（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级期末）重庆市认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个果园，经过一年多的精心栽培，去年6月份共产A、B两种水果2500千克，在市场上A种水果以每千克4元的价格出售，B种水果以每千克6元的价格出售，这样该贫困户6月份收入13000元．
(1)去年6月份该果园产A、B两种水果各多少千克？
(2)今年6月由于雨水较多，该贫困户的水果受到影响，在产量和销售价格上，A种水果数量比去年减少了2a千克，销售价格不变；B种水果数量比去年减少了a%．销售价格比去年减少了，该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，真正达到了脱贫致富，求a的值．
2．（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2022·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【变式训练】
1．（2022·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A．B．
C．D．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．
【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】
例题：（2022·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【变式训练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
2．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长为30，宽为25的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．100B．125C．200D．210
3．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
二、填空题
4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．若设一个加数为，另一个加数为，则根据题意，可列方程组为_____．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，设原长方形的长为，宽为，那么x、y满足的二元一次方程组是 _____________．
6．（2022秋·八年级课时练习）在餐馆里，王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，则馒头每个_____元．
三、解答题
7．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
8．（2021秋·云南昆明·七年级校考期末）某社团准备购买A，B两种魔方，已知购买1个A魔方和3个B魔方共需65元，购买3个A魔和4个B种魔方所需的钱数相同．
(1)求A、B两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方的个数小于50个），某商店有两种优惠活动，请根据如图所示的信息，说明当购买A种魔方多少个时，两种优惠活动一样．
9．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买钢笔的支数为a．李老师购买纪念品一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？
10．（2022·全国·七年级专题练习）2020年2月，“新冠"疫情日趋严重，“雷神山"医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元.
(1)求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案？
11．（2022春·贵州遵义·七年级校考期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
13．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）．
(1)全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车_______辆来运送；
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三种车型的辆数，并求出此时的运费．
客车型号
A
B
人数/辆
28
49
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
35
50
雪容融
30
40
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
优惠活动
活动一：A种魔方八折
B种魔方四折
活动二：购买一个A种魔方
送一个B种魔方
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套
1.65
1.4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
200
250
300
专题08 二元一次方程组的应用(方案,销售利润,数字,几何图形,图表)压轴题五种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc20795" 【典型例题】 PAGEREF _Tc20795 \h 1
\l "_Tc14101" 【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】 PAGEREF _Tc14101 \h 1
\l "_Tc21107" 【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】 PAGEREF _Tc21107 \h 5
\l "_Tc8133" 【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】 PAGEREF _Tc8133 \h 8
\l "_Tc1787" 【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】 PAGEREF _Tc1787 \h 10
\l "_Tc7051" 【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】 PAGEREF _Tc7051 \h 12
\l "_Tc6196" 【过关检测】 PAGEREF _Tc6196 \h 15
【典型例题】
【考点一 二元一次方程组的应用——方案问题】
例题：（2022·山东·日照市北京路中学七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；
（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得：，
解得：．
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）
解：依题意，得：3a+4b=31，
∴．
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）
解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
【变式训练】
1．（2022·山东·德州市第五中学七年级期中）某中学组织七年级师生共390人开展研学活动，学校向租车公司租赁、两种车型接送师生往返，若租用型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用型车5辆，型车辆，则空余15个座位．
(1)求、两种车型各有多少个座位？
(2)若租用同一种车，且型车租金为1600元/辆，型车租金为1850元/辆，要使每位师生都有座位，怎样租车更合算？
【答案】(1)每辆型车有45个座位，每辆型车有60个座位
(2)选择方案二，只租用型车时最划算，总费用为12950元
【分析】（1）设每辆A型车有x个座位，每辆B型车有y个座位，根据“若租用A型车2辆，型车5辆，则刚好坐满；若租用A型车5辆，B型车3辆，则15人没座位”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）
解：设每辆型车有个座位，每辆型车有个座位，
依题意，得：，
解得：．
答：每辆型车有45个座位，每辆型车有60个座位．
（2）
解：方案一：只租用型车时：，故需要租9辆车．
总费用为：（元）
方案二：只租用型车时：，故需要租7辆车．
总费用：（元）
∵，
∴选择方案二，只租用型车时最划算，总费用为12950元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
2．（2021·浙江省锦绣江山外国语学校七年级期中）某校在2021年组织七年级学生参加研学活动，租用二种不同型号的客车，每辆座位如下表：
若租用 A型客车5辆和 B型客车2辆，则需要租金2500元；若租用 A型客车1辆和 B型客车5辆，则需要租金 2800 元.
(1)求租用A，B两种型号客车，每辆车租金分别是多少元？
(2)现有七年级14个班级的学生588人，现计划同时租用两种型号客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，为节约成本，则租用 A型客车和 B型客车各多少辆，需要花费多少钱？
【答案】(1)A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元
(2)租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元
【分析】（1）设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，根据已知租用方案，列出方程组，解之即可；
（2）设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，得到关于a，b的二元一次方程，求出正整数解，可得方案．
（1）
解：设A型车每辆的租金为x，B型车每辆的租金为y，
由题意可得：，
解得：，
∴A型车每辆的租金为300元，B型车每辆的租金为500元；
（2）
设租用A型车辆a辆，B型车辆b辆，
28a+49b=588，
化简得：4a+7b=84，
∴，
∴当b=4，a=14，需要花费14×300+4×500=6200元；
当b=8，a=7，需要花费7×300+8×500=6100元，
∴租用A型客车14辆，B型客车4辆，需要花费6200元；租用A型客车7辆，B型客车8辆，需要花费6100元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，注意题中有干扰数据．
【考点二 二元一次方程组的应用——销售、利润问题】
例题：（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）某纪念品店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共50个，花去1600元，这两种吉祥物的进价、售价如表：
(1)求冰墩墩、雪容融各进了多少个？
(2)这50个吉祥物玩具很快售完，所得利润再次用于购进冰墩墩与雪容融（每种至少一个），且恰好用完.那么该纪念品店再次购进冰墩墩与雪容融各多少个？
【答案】(1)20个，30个
(2)再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个
【分析】（1）设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）先计算出所得利润，然后列出二元一次方程求出整数解即可．
（1）
解：设冰墩墩和雪容融分别进了x个和y个，
有题意得
解得
答：冰墩墩和雪容融分别进了20和30个；
（2）
由表格得，
设再次购进冰墩墩和雪容融分别为a个和b个，
∴35a+30b=600
∴
∵a，b为正整数
∴可得，
∴再次购进冰墩墩6个，雪容融13个或冰墩墩12个，雪容融6个．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆市秀山土家族苗族自治县育才中学七年级期末）重庆市认真落实“精准扶贫”．某“建卡贫困户”在党和政府的关怀和帮助下投资了一个果园，经过一年多的精心栽培，去年6月份共产A、B两种水果2500千克，在市场上A种水果以每千克4元的价格出售，B种水果以每千克6元的价格出售，这样该贫困户6月份收入13000元．
(1)去年6月份该果园产A、B两种水果各多少千克？
(2)今年6月由于雨水较多，该贫困户的水果受到影响，在产量和销售价格上，A种水果数量比去年减少了2a千克，销售价格不变；B种水果数量比去年减少了a%．销售价格比去年减少了，该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，真正达到了脱贫致富，求a的值．
【答案】(1)去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克
(2)a的值为30
【分析】（1）设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合去年6月份共产A、B两种水果2500千克且销售总额为13000元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合该贫困户在去年和今年两年丰收中共收入了23510元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
（1）
解：设去年6月份该果园产A种水果x千克，产B种水果y千克，
依题意得：，
解得：，
即去年6月份该果园产A种水果1000千克，产B种水果1500千克．
（2）
解：依题意得：，
整理得：，
解得：，
即a的值为30．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
2．（2022·广东·东莞外国语学校七年级期中）临近年春节，西安疫情形势较为严峻，对确诊病例所在地区实行区域管控，严格履行疫情防控措施．为防范疫情，某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种消毒液若干瓶，已知购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元．
(1)求甲、乙两种消毒液的单价；
(2)为节约成本，该校购买散装消毒液进行分装，现需将的消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中每瓶均装满，若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分能使总损耗最小？求出此时需要的两种空瓶的数量．
【答案】(1)甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元
(2)分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个
【分析】（1）设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，根据“购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元，购买瓶甲种和瓶乙种消毒液需要元”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设分装的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根据需将的消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗，列出二元一次方程，结合，均为非负整数得出各分装方案，选择最小的方案即可．
（1）
解：设甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：甲种消毒液的单价为元，乙种消毒液的单价为元；
（2）
设需要的空瓶个，的空瓶个，
依题意得：，
，
，均为非负整数，
或或，
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
当，时，总损耗为；
，
分装成的瓶，的瓶时，总损耗最小，此时需要的空瓶个，的空瓶个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【考点三 二元一次方程组的应用——数字问题】
例题：（2022·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y−10y−x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，
则10x+y−10y−x=63，
整理得：x−y=7，
又∵x，y为正整数，且0
∴这个两位数为：92或81．
故选A．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组
，
故选A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
2．（2022·山东烟台·七年级期末）一个两位数，个位数字比十位数字大5，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得到的新数与原数的和是99．原来的两位数是__________．
【答案】27
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，本题中2个等量关系为：个位数字-十位数字=5，（10×十位数字+个位数字）+10×个位数字+十位数字=99，根据这两个等量关系可列出方程组．
【详解】解：设个位数字为x，十位数字为y，
由题意，得，
解得：，
即原来的两位数是27．
故答案为：27．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是熟练用十位数字和个位数字表示出两位数的值．
【考点四 二元一次方程组的应用——几何问题】
例题：（2022·内蒙古·乌拉特前旗第三中学七年级期中）如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为厘米和厘米，则依题意列方程组正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据图示可得：大长方形的宽可以表示为x＋2y，宽又是75厘米，故x＋2y＝75，大长方形的长可以表示为2x，或x＋3y，故2x＝3y＋x，整理得x＝3y，联立两个方程即可．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【变式训练】
1．（2022·四川乐山·七年级期末）如图，面积为的正方形，分成个全等的长方形和一个面积为的小正方形，则小长方形的长和宽分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形边长为：，
设小长方形的长为，宽为，
依题意得：，
解得：，
小长方形的长为，宽为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·辽宁大连·七年级期末）如图，在大长方形中，放入六个相同的小长方形，求阴影部分的面积．
【答案】阴影部分的面积为
【分析】设小长方形的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出小长方形的长与宽，再利用阴影部分的面积=大长方形的面积-6×小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
依题意得：，
解得：，
∴阴影部分的面积为14×（6+2×2）-6×8×2=44（）．
答：阴影部分的面积为44．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点五 二元一次方程组的应用——图表问题】
例题：（2022·福建省永春第五中学七年级期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【答案】m=15，n=9
【分析】右边的数为，的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】根据题意以及表格数据，
有：，
解得，
答：m的值为15，n的值为9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2022·安徽合肥·七年级期末）某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元．
(1)甲、乙两种食材每千克的进价分别是多少元？
(2)该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，那么该公司每日购进甲、乙两种食材各多少千克？
【答案】(1)甲食材每千克的进价为40元，乙食材每千克的进价为20元
(2)该公司每日购进甲食材400千克，乙食材100千克
【分析】（1）设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由购买4千克的甲食材比购买5千克的乙食材多花60元建立方程求解即可
（2）抓住两个等量关系列方程求解：一是甲、乙两种食材每日购买的进价和为18000；二是制成营养品的含铁量与甲、乙两种食材含铁量的和相等，列出方程组即可求解．
（1）
设乙食材每千克的进价为a元，则甲食材每千克的进价为2a元，由题意，得
4×2a－5×a＝60，
解得a＝20，
则2a＝40．
答：甲、乙两种食材每千克的进价分别是40元、20元；
（2）
设该公司每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，
由题意，得
解得
【点睛】本题考查了一元一次方程及一元二次方程组的应用，找出等量关系列方程是解题关键．
2．（2022·湖北·武汉市第二初级中学七年级阶段练习）童威在某商店给妈妈购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打相同的折扣，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：
(1)以折扣价购买商品A、B是第________次购物；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】(1)三
(2)商品A的标价为72元，商品B的标价为54元
(3)商店是打八折出售这两种商品的
【分析】（1）根据买到A、B商品多，且花钱少来判断即可；
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打m折出售这两种商品，根据题意列出方程求解即可．
（1）
根据图表可得童威第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以童威以折扣价购买商品A、B是第三次购物，
故答案是：三；
（2）
（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，
根据题意，得，
解得：，
答：商品A的标价为72元，商品B的标价为54元；
（3）
设商店是打m折出售这两种商品，
由题意得，，
解得：m=8．
答：商店是打八折出售这两种商品的．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
【过关检测】
一、选择题
1．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设个位数字为，十位数字为，
则解得
这首歌的歌词的字数为．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在长为30，宽为25的矩形中，有形状、大小完全相同的5个小矩形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．100B．125C．200D．210
【答案】D
【分析】小矩形的长为x,宽为y,根据图形找到等量关系，列出x,y的二元一次方程组，解之即可得出x,y的值，再由阴影部分的面积等于大矩形面积减去5个小矩形面积即可．
【详解】设小矩形的长为x,宽为y,由题意得，
解得
∴阴影部分的面积为30×25-5×18×6=210．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022秋·八年级课时练习）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为( )元
A．50B．70C．90D．120
【答案】D
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【详解】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：，
解得：，
∴大套装的单价为120元．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
二、填空题
4．（2022秋·全国·八年级阶段练习）小明和小亮做加减法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242，而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341．若设一个加数为，另一个加数为，则根据题意，可列方程组为_____．
【答案】
【分析】根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意找准等量关系是解题的关键．
5．（2022秋·全国·八年级专题练习）一个长方形，它的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，它的面积与长方形的面积相等，设原长方形的长为，宽为，那么x、y满足的二元一次方程组是 _____________．
【答案】
【分析】根据题意可得，根据面积相等即可列出方程组．
【详解】解：∵长方形的长方形的的长减少，宽增加，所得的是一个正方形，
∴；
∵这两个图形的面积相等，
∴，
即．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．
6．（2022秋·八年级课时练习）在餐馆里，王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，则馒头每个_____元．
【答案】1
【分析】设馒头每个x元，菜每个y元，由题意：王伯伯买了5个菜，3个馒头，老板少收3元，只收60元，李太太买了10个菜，5个馒头，老板以售价的八折优惠，只收100元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【详解】解：设馒头每个x元，菜每个y元，
由题意得：，
解得：，
即馒头每个1元，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、解答题
7．（2022秋·陕西榆林·八年级校考期末）某居民小区为了改善小区环境，建设和谐家园，准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成全等的9块小长方形，如图所示，小长方形的长和宽各是多少米？
【答案】小长方形的长为10米，宽为4米
【分析】设小长方形的长为米，宽为米，由大长方形的周长及上下两边相等，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米，根据题意可列方程组：
解得：
答：小长方形的长为10米，宽为4米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2021秋·云南昆明·七年级校考期末）某社团准备购买A，B两种魔方，已知购买1个A魔方和3个B魔方共需65元，购买3个A魔和4个B种魔方所需的钱数相同．
(1)求A、B两种魔方的单价；
(2)结合社员们的需求社团决定购买A、B两种魔方共100个（其中A种魔方的个数小于50个），某商店有两种优惠活动，请根据如图所示的信息，说明当购买A种魔方多少个时，两种优惠活动一样．
【答案】(1)A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元
(2)购买A种魔方45个、B种魔方55个时，两种优惠活动一样
【分析】（1）设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，根据“购买1个A种魔方和3个B种魔方共需65元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种魔方个，B种魔方n个，根据两种优惠活动所需费用一样，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种魔方的单价为x元，B种魔方的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A种魔方的单价为20元，B种魔方的单价为15元．
（2）解：设购买A种魔方个，B种魔方n个，
依题意，得：，
解得：．
答：当购买A种魔方45个、B种魔方55个时，两种优惠活动一样．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）某校计划为在校运会上表现突出的12名志愿者每人颁发一件纪念品，李老师前往购买钢笔和笔记本作为纪念品，如果买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)售货员提示：当购买的钢笔超过6支时，所有的钢笔打9折．设购买钢笔的支数为a．李老师购买纪念品一共花了210元钱，求他可能购买了多少支钢笔？
【答案】(1)钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
(2)3或6或10支．
【分析】（1）设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据“买10支钢笔和2本笔记本，需230元；如果买8支钢笔和4本笔记本，需220元”列方程组求解；
（2）设买a支钢笔，则买b个笔记本，根据单价求得分别求得当和时的费用，进而列出二元一次方程，解方程即可求解．
（1）
设钢笔和笔记本的单价分别为x,y元，根据题意得：
解得：，
答：钢笔和笔记本的单价分别为20元，15元；
（2）
设买a支钢笔，买b个笔记本，
当时，，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，，
当时，，
即，
即，
∴，
∵为正整数，且，
∴，
综上所述，3或6或10．
答：他可能购买了3或6或10支钢笔．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．
10．（2022·全国·七年级专题练习）2020年2月，“新冠"疫情日趋严重，“雷神山"医院急需新型救护车，某企业为了向医院捐献救护车，派人到汽车销售公司了解到，新型救护车共有A、B两种型号，2辆A救护车、3辆B型救护车的进价共计80万元；3辆A型救护车、2辆B型救护车的进价共计95万元.
(1)求A、B两种型号的救护车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该企业计划正好用200万元购进以上两种型号的新型救护车（两种型号的救护车均购买），该企业共有哪几种购买方案？
【答案】(1)A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元
(2)共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆
【分析】（1）设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，列出二元一次方程，利用整数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型救护车每辆的进价为x万元，B型救护车每辆的进价为y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：A型救护车每辆的进价为25万元，B型救护车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进A型救护车m辆，购进B型救护车n辆，
依题意，得：，
得：，
∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共3种购买方案，方案一：购进A型车6辆，B型车5辆；方案二：购进A型车4辆，B型车10辆；方案三：购进A型车2辆，B型车15辆．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及解二元一次方程，理解题意，列出方程（组）是解题关键．
11．（2022春·贵州遵义·七年级校考期中）已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案（即、两种型号的车各租几辆，有几种租车方案）．
【答案】(1)1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨
(2)三种方案：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
【分析】（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨”列出方程组可求解；
（2）由“现有31吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物”列出方程，求出正整数解，即可求解．
（1）
解：（1）设1辆A型车一次可运货x吨，1辆B型车一次可运货y吨，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆A型车一次可运货3吨，1辆B型车一次可运货4吨．
（2）
解：由题意可得：3a+4b=31，
∵a,b为正整数，
∴a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1，
∴有三种方案，方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；
方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；
方案三：租用A型车9辆，B型车1辆
答：方案一：租用A型车1辆，B型车7辆；方案二：租用A型车5辆，B型车4辆；方案三：租用A型车9辆，B型车1辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．
12．（2022秋·全国·八年级专题练习）某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量]
(1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？
(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？
【答案】(1)购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套
(2)有4种方案，方案见解析
【分析】（1）根据题意设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，再根据总进价为66万元，毛利润为9万元，列出二元一次方程组，解出答案即可；
（2）根据题意设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，根据题意列出二元一次方程，由于a， b均为正整数，即可得出方程的解，即可得出有4种进货方案．
【详解】（1）解：设购进A品牌的教学设备x套，购进B品牌的教学设备y套，得，
，
解得，，
经检验，符合题意，
答：购进A品牌的教学设备20套，购进B品牌的教学设备30套；
（2）设再用30万购进A品牌的教学设备a套，购进B品牌的教学设备b套，
由题意得，，
∵a， b均为正整数，
∴此方程的解为：
，或，或，或，
综上所述，有4种方案：
①购进A品牌的教学设备4套，购进B品牌的教学设备20套；
②购进A品牌的教学设备8套，购进B品牌的教学设备15套；
③购进A品牌的教学设备12套，购进B品牌的教学设备10套；
④购进A品牌的教学设备16套，购进B品牌的教学设备5套．
【点睛】本题考查了二元一次方程（组）的应用，找出等量关系列出方程和方程组是本题的关键．
13．（2022春·辽宁大连·七年级校联考期中）某公司筹集了120吨的救灾物资运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示（假设每辆车均满载）．
(1)全部救灾物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车_______辆来运送；
(2)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
(3)为了节省运费，公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，分别求出三种车型的辆数，并求出此时的运费．
【答案】(1)4
(2)分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆
(3)甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元
【分析】（1）根据甲型车运载量是5吨/辆，乙型车运载量是8吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数；
（2）设需甲车满，乙车y辆，根据运费4100元，总吨数是120吨，列出方程组，再进行求解即可；
（3）设甲车有辆，乙车有b辆，则丙车有（14-a-b）辆，列出等式，再根据a、b、14-a-b均为正整数，求出a，b的值，从而得出答案，
（1）
解：根据题意得∶，
答∶ 丙型车4辆来运送；
故答案为：4
（2）
解：设需要甲x辆，乙y辆，根据题意得：
，解得，
答：分别需甲、乙两种车型为8辆和10辆．
（3）
解：设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆，
由题意得：，即，
∵a、b、均为正整数，
∴b只能等于5，
∴，，
∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，
则需运费200×2+250×5+300×7=3750（元），
答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费3750元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解，利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
客车型号
A
B
人数/辆
28
49
进价（元/个）
售价（元/个）
冰墩墩
35
50
雪容融
30
40
营养品信息表
营养成分
每千克含铁42毫克
配料表
原料
每千克含铁
甲食材
50毫克
乙食材
10毫克
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
8
16
1440
第二次购物
7
15
1314
第三次购物
9
17
1252.8
优惠活动
活动一：A种魔方八折
B种魔方四折
活动二：购买一个A种魔方
送一个B种魔方
A
B
进价（万元/套）
1.5
1.2
售价（万元/套
1.65
1.4
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
200
250
300
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