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浙教版七年级数学下册专题14解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)
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这是一份浙教版七年级数学下册专题14解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略(原卷版+解析)，共34页。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16569" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16569 \h 1
\l "_Tc29181" 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc29181 \h 1
\l "_Tc120" 【考点二 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc120 \h 3
\l "_Tc2276" 【考点三 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc2276 \h 9
\l "_Tc17406" 【考点四 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc17406 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2023春·七年级单元测试）因式分解．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：____________．
2．（2023春·七年级单元测试）因式分解：=_______________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
4．（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）因式分解：
5．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：．
7．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
8．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
9．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
【考点二 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
【变式训练】
1．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
3．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
4．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2)
6．（2023春·八年级课时练习）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【考点三 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）教你一招：把因式分解．
解：原式
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【考点四 因式分解的应用】
例题：（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：，根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
3．（2023春·江苏·七年级期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
4．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
5．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若．
①当a，b，m满足条件：时，求m的值；
②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
专题14 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16569" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16569 \h 1
\l "_Tc29181" 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc29181 \h 1
\l "_Tc120" 【考点二 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc120 \h 3
\l "_Tc2276" 【考点三 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc2276 \h 9
\l "_Tc17406" 【考点四 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc17406 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2023春·七年级单元测试）因式分解．
【答案】(1)
【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：
，
，
；
【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：____________．
【答案】
【分析】将y(1-m)变形为-y（m-1），再提取公因式即可．
【详解】∵x（m-1）+ y(1-m)
= x（m-1）-y（m-1），
=（x-y）（m-1），
故答案为：（x-y）（m-1）．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）因式分解：=_______________．
【答案】
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是掌握用提公因式法分解因式．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
【答案】20
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解，最后用整体代入的方法求解．
【详解】解：原式
，
把，代入得：
原式．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了提公因式法和利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）因式分解：
【答案】；
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把原式化为，再提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，重点是正确确定公因式．
7．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式求解即可
【详解】解：
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．
9．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后化简即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．
【考点二 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
【答案】
【分析】根据十字相乘法，分解因式即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分解因式，掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，灵活使用各种方法对多项式进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后再运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和十字相乘法是解答本题的关键．
4．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
【点睛】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
6．（2023春·八年级课时练习）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；
（2）用十字相乘法，分解因式即可；
（3）用十字相乘法，分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴；
（2）解：∵，即，
∴；
（3）解：，
∵，即，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）十字相乘法分解因式即可；
（2）十字相乘法分解因式即可；
（3）十字相乘法分解因式即可；
（4）十字相乘法分解因式即可；
（5）十字相乘法分解因式即可；
（6）十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴；
（3）解：
∴；
（4）解：
∴；
（5）解：
∴；
（6）解：
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可；
（5）用十字相乘法分解因式即可；
（6）将看作一个整体，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴
（3）解：
∴
（4）解：
∴
（5）解：
∴
（6）解：
∴．
【点睛】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体．
【考点三 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查利用提取公因式法，公式法进行因式分解，能够将两种方法灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）教你一招：把因式分解．
解：原式
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
（2）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
（3）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
；
（3）解：
；
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；
（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可；
（3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
【点睛】本题考查因式分解中分组分解，灵活根据公因式或公式法对原式进行合理的分组是解题关键．
4．（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
【答案】(1)①②
(2)
(3)，
【分析】（1）①将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分组分解法先将原式整理为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用拆项法先将原式变形为，然后再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则进行运算，然后比较系数即可获得答案．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）原式
；
（3）
，
∵，
∴，
比较系数可得，．
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂题目材料并理解所给做法是解题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)
(2)①，②；
(3)
【分析】(1)根据阅读材料解答即可；
(2)运用分组分解法直接作答即可；
(3)运用分组分解法直接作答即可．
【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解；
故正确的序号是，
故答案为：；
（2）解：①，
②，
故答案为：①，②；
（3）解：
【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
【考点四 因式分解的应用】
例题：（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：，根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）
（2）等腰三角形，理由如下：
∴
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【点睛】题目主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
【答案】D
【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．
【详解】解：，
所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
【答案】
【分析】利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，利用等面积法进行因式分解是解题关键．
3．（2023春·江苏·七年级期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
【答案】(1)
(2)2，3
(3)
(4)
【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是，
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为，利用面积得出，
（4）首先根据题意得到长方形的面积，然后分解因式，进而求解周长即可．
【详解】（1）这个乘法公式是，
故答案为：；
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，
故答案为：2，3；
（3）由图③可知矩形面积为，所以，
故答案为：；
（4）长方形的面积为，
∴周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的几何应用，解题的关键是掌握数形结合的方法．
4．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
5．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)2，；
(2)有最大值，相应的的值为；
(3)．
【分析】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值；
（2）先提出负号，再变形，最后确定最值；
（3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围．
【详解】（1）解：∵代数式
∴代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
（2）解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
（3）解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：的取值范围为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若．
①当a，b，m满足条件：时，求m的值；
②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．
【答案】(1)
(2)①②或或
【分析】（1）利用配方法，进行因式分解即可；
（2）①将进行因式分解，得到，利用非负性，求出的值，再逆用幂的乘方，求出的值即可；②根据三角形的三边关系求出的取值范围，根据c边的长为奇数，求出的值，进而得出结论即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
①∵，即：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵的三边长是a，b，c，
∴，即：，
∵c边的长为奇数，
∴或或，
当时，的周长为；
当时，的周长为；
当时，的周长为；
综上：的周长为或或．
【点睛】本题考查因式分解的应用，同时考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，非负性，三角形的三边关系．理解并掌握配方法进行因式分解，是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
，，
原式；
（3）是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，即，
是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16569" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16569 \h 1
\l "_Tc29181" 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc29181 \h 1
\l "_Tc120" 【考点二 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc120 \h 3
\l "_Tc2276" 【考点三 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc2276 \h 9
\l "_Tc17406" 【考点四 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc17406 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2023春·七年级单元测试）因式分解．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：____________．
2．（2023春·七年级单元测试）因式分解：=_______________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
4．（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）因式分解：
5．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：．
7．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
8．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
9．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
【考点二 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
【变式训练】
1．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
3．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
4．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2)
6．（2023春·八年级课时练习）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【考点三 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）教你一招：把因式分解．
解：原式
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
4．（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【考点四 因式分解的应用】
例题：（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：，根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
3．（2023春·江苏·七年级期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
4．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
5．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若．
①当a，b，m满足条件：时，求m的值；
②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
专题14 解题技巧专题：特殊的因式分解法压轴题四种模型全攻略
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc16569" 【典型例题】 PAGEREF _Tc16569 \h 1
\l "_Tc29181" 【考点一 利用整体法提公因式因式分解】 PAGEREF _Tc29181 \h 1
\l "_Tc120" 【考点二 十字相乘法因式分解】 PAGEREF _Tc120 \h 3
\l "_Tc2276" 【考点三 分组分解法因式分解】 PAGEREF _Tc2276 \h 9
\l "_Tc17406" 【考点四 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc17406 \h 15
【典型例题】
【考点一 利用整体法提公因式因式分解】
例题：（2023春·七年级单元测试）因式分解．
【答案】(1)
【分析】直接提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：
，
，
；
【点睛】本题考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：____________．
【答案】
【分析】将y(1-m)变形为-y（m-1），再提取公因式即可．
【详解】∵x（m-1）+ y(1-m)
= x（m-1）-y（m-1），
=（x-y）（m-1），
故答案为：（x-y）（m-1）．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练进行代数式的变形构造公因式是解题的关键．
2．（2023春·七年级单元测试）因式分解：=_______________．
【答案】
【分析】运用提公因式法分解因式即可．
【详解】解：原式=
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，解决本题的关键是掌握用提公因式法分解因式．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，，则的值等于________．
【答案】20
【分析】先提公因式，再利用平方差公式分解，最后用整体代入的方法求解．
【详解】解：原式
，
把，代入得：
原式．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了提公因式法和利用平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）因式分解：
【答案】；
【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】先把原式化为，再提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
【点睛】本题考查的是提取公因式分解因式，掌握“公因式的确定以及提取公因式的方法”是解本题的关键．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：．
【答案】
【分析】直接提取公因式即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，重点是正确确定公因式．
7．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
8．（2023·全国·九年级专题练习）分解因式：．
【答案】
【分析】根据提公因式法分解因式求解即可
【详解】解：
【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法．
9．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后化简即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提公因式法是解决因式分解的关键．
【考点二 十字相乘法因式分解】
例题：（2023春·江苏·七年级专题练习）把下列各式因式分解：．
【答案】
【分析】根据十字相乘法，分解因式即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题考查了分解因式，掌握十字相乘法分解因式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2022秋·上海·七年级校联考期末）分解因式：．
【答案】．
【分析】先提取公因式，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【分析】首先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，灵活使用各种方法对多项式进行因式分解是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后再运用十字相乘法因式分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和十字相乘法是解答本题的关键．
4．（2023秋·上海嘉定·七年级上海市育才中学校考期末）因式分解：．
【答案】
【分析】先提取公因式a，再用十字相乘法分解，最后再用平方差公式分解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）根据十字相乘法因式分解即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：．
【点睛】本题考查的是因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律．
6．（2023春·八年级课时练习）将下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；
（2）用十字相乘法，分解因式即可；
（3）用十字相乘法，分解因式即可．
【详解】（1）解：∵，即，
∴；
（2）解：∵，即，
∴；
（3）解：，
∵，即，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号． 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．
7．（2023春·浙江·七年级专题练习）分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）十字相乘法分解因式即可；
（2）十字相乘法分解因式即可；
（3）十字相乘法分解因式即可；
（4）十字相乘法分解因式即可；
（5）十字相乘法分解因式即可；
（6）十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴；
（3）解：
∴；
（4）解：
∴；
（5）解：
∴；
（6）解：
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解此题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）用十字相乘法分解下列因式．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；
（2）用十字相乘法分解因式即可；
（3）用十字相乘法分解因式即可；
（4）用十字相乘法分解因式即可；
（5）用十字相乘法分解因式即可；
（6）将看作一个整体，用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
∴；
（2）解：
∴
（3）解：
∴
（4）解：
∴
（5）解：
∴
（6）解：
∴．
【点睛】本题主要考查了用十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个多项式看作一个整体．
【考点三 分组分解法因式分解】
例题：（2023春·全国·七年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)分解因式：；
(3)分解因式：.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题考查利用提取公因式法，公式法进行因式分解，能够将两种方法灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．
①分组分解法：
例如：．
②拆项法：
例如：．
仿照以上方法分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）将原式先变形为，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）教你一招：把因式分解．
解：原式
请你仔细阅读上述解法后，把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
（2）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
（3）首先将原式进行分组得到原式，再利用公式法分解因式即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
；
（3）解：
；
【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
3．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；
（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可；
（3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
（2）
（3）
【点睛】本题考查因式分解中分组分解，灵活根据公因式或公式法对原式进行合理的分组是解题关键．
4．（2022秋·江西新余·八年级统考期末）我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
例2．
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
(1)分解因式：①；②
(2)分解因式：．
(3)若多项式利用分组分解法可分解为，请求出的值．
【答案】(1)①②
(2)
(3)，
【分析】（1）①将前两项利用平方差公式分解因式，进而利用提取公因式法分解因式得出答案；②利用分组分解法先将原式整理为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用拆项法先将原式变形为，然后再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可；
（3）利用多项式乘以多项式法则进行运算，然后比较系数即可获得答案．
【详解】（1）解：①原式
；
②原式
；
（2）原式
；
（3）
，
∵，
∴，
比较系数可得，．
【点睛】此题主要考查了拆项法以及分组分解法分解因式，读懂题目材料并理解所给做法是解题的关键．
5．（2023春·全国·八年级专题练习）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下：
例1：
分成两组
分别分解
提取公因式完成分解
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解．
(1)关于以上方法中“分组”目的的以下说法中所有正确的序号是______．
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解．
(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？
①______．
②______．
(3)利用分组分解法进行因式分解：．
【答案】(1)
(2)①，②；
(3)
【分析】(1)根据阅读材料解答即可；
(2)运用分组分解法直接作答即可；
(3)运用分组分解法直接作答即可．
【详解】（1）解：从材料可知：“分组”的目的是：
①分组后组内能出现公因式；
②分组后组内能运用公式；
③分组后组间能继续分解；
故正确的序号是，
故答案为：；
（2）解：①，
②，
故答案为：①，②；
（3）解：
【点睛】本题考查了因式分解，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解答本题的关键．
【考点四 因式分解的应用】
例题：（2023秋·陕西渭南·八年级统考期末）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，运用公式法．当不能直接运用提取公因式法或公式法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如：，根据上面的方法因式分解：
(1)；
(2)已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）根据题干中的方法进行分组分解因式即可；
（2）利用分组法分解因式，然后得出，即可判断三角形的形状．
【详解】（1）
（2）等腰三角形，理由如下：
∴
∴
∴
∴
∵a，b，c是的三边，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形．
【点睛】题目主要考查分组分解因式及提公因式与公式法分解因式，等腰三角形的定义等，理解题意，深刻理解题干中的分组分解法是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南
【答案】D
【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．
【详解】解：，
所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且，观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
【答案】
【分析】利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解．
【详解】解：大长方形面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，利用等面积法进行因式分解是解题关键．
3．（2023春·江苏·七年级期中）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．
(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是______；
(2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片______张，3号卡片______张；
(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积可以把多项式分解因式，其结果是______；
(4)小刚又选取了2张1号卡片，3张2号卡片和7张3号卡片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______．
【答案】(1)
(2)2，3
(3)
(4)
【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是，
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，即可得出答案，
（3）由图③可知矩形面积为，利用面积得出，
（4）首先根据题意得到长方形的面积，然后分解因式，进而求解周长即可．
【详解】（1）这个乘法公式是，
故答案为：；
（2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张，
故答案为：2，3；
（3）由图③可知矩形面积为，所以，
故答案为：；
（4）长方形的面积为，
∴周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的几何应用，解题的关键是掌握数形结合的方法．
4．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）【阅读材料】
若，求，的值．
解：，
∴，
∴．
(1)【解决问题】已知，求的值；
(2)【拓展应用】已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）将拆分成和，再根据完全平方公式配方解答；
（2）先根据阅读材料求出，的值，再根据三角形的三边关系解答．
【详解】（1），
将拆分成和，可得
，
根据完全平方公式得：
，
∴，，
∴，
（2）∵，
根据完全平方公式得：
，
，
∴，，
∴，，
∵是中最长的边，
∴，
即的取值范围．
【点睛】本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．
5．（2023秋·山东日照·八年级统考期末）阅读理解并解答：
【方法呈现】
(1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小或最大问题．
例如：，
，
．
则这个代数式的最小值是______，这时相应的的值是______．
【尝试应用】
(2)求代数式的最小或最大值，并写出相应的的值．
(3)已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围．
【答案】(1)2，；
(2)有最大值，相应的的值为；
(3)．
【分析】（1）利用非负数的性质确定代数式的最值；
（2）先提出负号，再变形，最后确定最值；
（3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围．
【详解】（1）解：∵代数式
∴代数式的最小值是，这时相应的的值是，
故答案为：，；
（2）解：
，
∵
∴，
∴代数式有最大值，相应的的值为；
（3）解：∵a，，是的三边长，满足，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
是中最长的边，
∴．
答：的取值范围为．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的应用．
6．（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读下面的内容，再解决问题：
问题：对于形如，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：．
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)若．
①当a，b，m满足条件：时，求m的值；
②若的三边长是a，b，c，且c边的长为奇数，求的周长．
【答案】(1)
(2)①②或或
【分析】（1）利用配方法，进行因式分解即可；
（2）①将进行因式分解，得到，利用非负性，求出的值，再逆用幂的乘方，求出的值即可；②根据三角形的三边关系求出的取值范围，根据c边的长为奇数，求出的值，进而得出结论即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
①∵，即：，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵的三边长是a，b，c，
∴，即：，
∵c边的长为奇数，
∴或或，
当时，的周长为；
当时，的周长为；
当时，的周长为；
综上：的周长为或或．
【点睛】本题考查因式分解的应用，同时考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，非负性，三角形的三边关系．理解并掌握配方法进行因式分解，是解题的关键．
7．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
，，
原式；
（3）是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，即，
是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
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