浙教版七年级数学下册专题17分式方程及分式方程的应用压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题17分式方程及分式方程的应用压轴题六种模型全攻略(原卷版+解析)，共33页。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25621" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25621 \h 1
\l "_Tc374" 【考点一 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc374 \h 1
\l "_Tc7510" 【考点二 解分式方程】 PAGEREF _Tc7510 \h 2
\l "_Tc26784" 【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】 PAGEREF _Tc26784 \h 5
\l "_Tc31026" 【考点四 分式方程无解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc31026 \h 7
\l "_Tc17048" 【考点五 列分式方程】 PAGEREF _Tc17048 \h 9
\l "_Tc15813" 【考点六 分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc15813 \h 11
\l "_Tc11276" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11276 \h 14
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·八年级课时练习）下列方程：①；②（为常数，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点二 解分式方程】
例题：（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）解下列分式方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）解下列分式方程：
(1) (2)
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）解方程
(1) (2)
【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【变式训练】
1．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______________．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和________．
【考点四 分式方程无解问题求参数的值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若关于的方程无解，则__________．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程，无解，则的值为_______________
2．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的分式方程
（1）若此方程无解，则m的值为___；
（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为___．
【考点五 列分式方程】
例题：（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
【变式训练】
1．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
【考点六 分式方程的实际应用】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）某社区计划对面积为2000平方米的区域进行绿化招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积是多少平方米；
(2)若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.2万元，如果施工总费用不超过11万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆．
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1110箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
2．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋项以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）
A．B．C．D．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
二、填空题
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）方程的解是________________．
7．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）若分式方程有增根，则的值是________．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）某店用元购进一批商品，很快售完，该店又用了元购进第二批同种商品，第二批的价格比第一批多元/件，数量比第一批多．设第一批购进的数量为件，则可列分式方程为___________．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义一种新运算，当时，．若，则______．
三、解答题
11．（2023春·江苏·八年级期中）解方程：
(1)； (2)．
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1) (2)
13．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
14．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
15．（2023春·全国·八年级专题练习）重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长米的道路改造成智慧公路．
(1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期天，施工米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？
(2)在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了米的改造工程，丙队获得了米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工米，乙工程队在完成米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数．
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
专题17 分式方程及分式方程的应用压轴题六种模型全攻略
【考点导航】
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc25621" 【典型例题】 PAGEREF _Tc25621 \h 1
\l "_Tc374" 【考点一 分式方程的定义】 PAGEREF _Tc374 \h 1
\l "_Tc7510" 【考点二 解分式方程】 PAGEREF _Tc7510 \h 2
\l "_Tc26784" 【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】 PAGEREF _Tc26784 \h 5
\l "_Tc31026" 【考点四 分式方程无解问题求参数的值】 PAGEREF _Tc31026 \h 7
\l "_Tc17048" 【考点五 列分式方程】 PAGEREF _Tc17048 \h 9
\l "_Tc15813" 【考点六 分式方程的实际应用】 PAGEREF _Tc15813 \h 11
\l "_Tc11276" 【过关检测】 PAGEREF _Tc11276 \h 14
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023秋·河南开封·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的方程，分母中不含未知数，所以不是分式方程，故不符合题意；
C选项方程中的分母中含未知数，是分式方程，故符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）下列方程中不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的概念逐项判断即可找出正确答案．
【详解】解：分式方程需同时满足3个条件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，
观察可知，选项A B D均满足上述三个条件，故都是分式方程，
选项C分母中没有未知量，不属于分式方程，
故答案为：C．
【点睛】本题考查分式方程的概念，熟练掌握分式方程的判定方法是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）下列方程：①；②（为常数，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】①分母中含未知数，是分式方程；
②（为常数，且）分母中不含未知数，故不是分式方程；
③分母中不含未知数，故不是分式方程；
④分母中含未知数，是分式方程；
⑤分母中不含未知数，故不是分式方程；
综上，①④是分式方程，共有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母．
【考点二 解分式方程】
例题：（2023秋·陕西商洛·八年级统考期末）解下列分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据解分式方程的基本步骤求解即可．
(2)根据解分式方程的基本步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同时乘，得
化简，得
解得：
经检验，是原分式方程的解
故是原方程的解．
（2）方程两边同乘以，得：，
解得：．
检验：当时，，
故是分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·河南周口·八年级统考阶段练习）解下列分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分式方程两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程两边同时乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
经检验是原方程的解；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
合并同类项，得，
即，
经检验是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）解方程
(1) (2)
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：
去分母得：
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解；
（2）解：
∴
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意验根是解题的关键．
【考点三 根据分式方程解的情况求参数的值】
例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】B
【分析】先化分式方程为整式方程得到，求得方程的解，根据解的属性，方程的增根两个角度去求解即可．
【详解】∵，
去分母，得，
解得．
∵分式方程的解为正数，且方程的增根为，
∴，
解得且，
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，增根，探求字母的取值范围，熟练根据解的属性，增根的意义建立不等式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·山东济南·八年级统考期末）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是______________．
【答案】且
【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合求出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
∴且，
即且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）已知关于的分式方程的解不超过6，且关于的不等式组有且仅有四个整数解，则符合条件的整数的和________．
【答案】
【分析】先解分式方程，求得分式方程解，再由分式方程的解不超过6，得且，解得：且、，然后解不等式组得，根据不等式组有四个整数解，得，解得：，所以且，又因为m为整数，则，，即可求解．
【详解】解：解方程，得，
∵的解不超过6，
∴且，
解得：且、，
解不等式组，得，
∵不等式组有四个整数解，
∴，
解得：，
∴且，
∵m为整数，
∴，，
∴符合条件的整数的和为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况和不等式组的整数解求字母系数值，熟练掌握解分式方程和不等式组是解题的关键．
【考点四 分式方程无解问题求参数的值】
例题：（2023春·八年级课时练习）若关于的方程无解，则__________．
【答案】或
【分析】首先方程两边都乘，整理可得方程：，然后分析的情况，再利用关于的方程无解，得，继而求得答案．
【详解】解：两边都乘以，得
，
整理，得
，
当=0时，即时，方程无解；
当≠0时，，
∵关于的方程无解，
∴(+1)(-1)=0，
解得：=1或=-1，
当=-1时，，解得：；
当=1时，，此时无解；
∴或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查分式方程的解，分式方程无解有两种情况： ①相应的整式方程无解; ②求出的整式方程的解是原分式方程的增根，也就是使原分式方程的分母为0的根．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）若关于的方程，无解，则的值为_______________
【答案】或或．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得，由分式方程无解求出m的值即可．
【详解】
关于的方程无解
或
或或
解得：或或
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．
2．（2023春·八年级课时练习）已知关于x的分式方程
（1）若此方程无解，则m的值为___；
（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为___．
【答案】 -6 m＜－2且m≠－6
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，再求．
（2）先表示分式方程的解，再求范围．
【详解】（1）原方程两边同乘得：．
．
方程无解，
，
．
．
．
故答案为：．
（2）由（1）知：．
．
方程的解为正数．
．
．
，
．
．
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键．
【考点五 列分式方程】
例题：（2023·山西晋城·统考一模）山西省宁武县被命名为“中国高原莜麦之乡”．莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一，对预防和治疗高血压、糖尿病等多种疾病，促进新陈代谢有明显功效．某莜麦标准化种植基地在改良前种植总产量可以达到，经过改良后，平均每亩产量是原来的1．5倍．若改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，求改良前平均每亩的产量．若设改良前平均每亩的产量为，则可列方程为__________．
【答案】
【分析】根据改良后种植总产量不变，但种植亩数减少25亩，列出方程即可．
【详解】解：设改良前平均每亩的产量为，则，改良后平均每亩的产量为，
由题意，得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）劳动教育是全面发展教育体系的重要组成部分，是大中小学必须开展的教育活动．某校积极响应，开设校园农场．七年级学生共收获农产品，八年级学生共收获农产品，已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，七年级学生人数是八年级学生人数的1.5倍．求七、八年级各有多少名学生．若设八年级有x名学生，则可列分式方程为_______．
【答案】
【分析】根据题设，得出七年级有1.5x名学生，再表示出每个年级人均收获农产品的数量，根据八年级比七年级人均多建立方程．
【详解】解：若设八年级有x名学生，则七年级有1.5x名学生，
八年级人均收获农产品为，
七年级人均收获农产品为，
已知八年级学生比七年级学生人均多收获农产品，
则有．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列分式方程，解题的关键是理清题目中的数量关系．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）有一项工程，甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期3天才能完成．现甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成，问甲单独做需要几天完成？若设甲单独做需要天完成，则根据题意可列方程____________．
【答案】
【分析】设甲单独做需x天，则乙单独做需天，再根据甲、乙合做2天，余下由乙单独做正好按期完成列出方程即可．
【详解】解：设甲单独做需x天，则乙单独做需天，
由题意得：，
故答案为：
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间工作总量工作效率，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1．
【考点六 分式方程的实际应用】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）某社区计划对面积为2000平方米的区域进行绿化招标，甲、乙两个工程队中标，全部绿化工作由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积是多少平方米；
(2)若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.2万元，如果施工总费用不超过11万元，那么乙工程队至少需施工多少天？
【答案】(1)乙工程队每天能完成绿化的面积为，甲工程队每天能完成绿化的面积为
(2)乙工程队至少需施工10天
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合在独立完成面积为区域的绿化时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设乙工程队需施工y天，则甲工程队需施工天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间结合施工总费用不超过11万元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
【详解】（1）（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积为，则甲工程队每天能完成绿化的面积为，
根据题意得：，
解得：
经检验，是原分式方程的解，
∴
答：乙工程队每天能完成绿化的面积为，甲工程队每天能完成绿化的面积为．
（2）解：设乙工程队需施工天，则甲工程队需施工天，
根据题意得：，
解得：．
答：乙工程队至少需施工10天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
【变式训练】
1．（2023春·江苏无锡·九年级校考阶段练习）无锡地铁号线一期工程全长公里，设个站点，起自渔父岛站，串联蠡湖未来城、无锡主城区、南长街、坊前、梅村等地．某站点由两个工程队一起建设了个月，剩下的部分由队单独建设，还需个月．
(1)若队单独建设需要个月，队单独建设需要多少时间？
(2)若队单独建设的时间为个月（），试分析说明两队谁的施工速度更快．
【答案】(1)
(2)队的施工速度更快
【分析】（1）根据题意找出等量关系列方程即可得到方程；
（2）根据题意找出数量关系列方程解方程，再利用作差法即可得到正确结果．
【详解】（1）解：队单独建设需要个月，队单独建设需要个月，
根据题意可得方程：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为，
答：若队单独建设需要个月，队单独建设需要个月．
（2）解：设队单独建设需要个月，根据题意得：，
解得：，
∴ ，
∵，
∴，即，
∴队的施工速度更快．
【点睛】本题考查了分式方程应用， 分式方程的运算法则，作差法比较大小等相关知识点，审清题意，找出等量关系是解题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，甲型货车每辆装载量是乙型货车的倍，若甲、乙两种型号货车各装载1500箱材料，甲型货车比乙型货车少用40辆．
(1)甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？
(2)经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1110箱．计划租用甲、乙两种型号的货车共60辆，且乙型货车的数量不大于甲型货车数量的2倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？
【答案】(1)甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料
(2)该公司共有2种租车方案，方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车
【分析】（1）设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载箱材料，得方程，即可得答案；
（2）设租用m辆甲型货车，则租用辆乙型货车，得不等式组，即可得答案．
【详解】（1）解：设乙型货车每辆可装载x箱材料，甲型货车每辆可装载箱材料，
依题意得：，
解得：，
检验：把代入，
∴是原方程的解，
∴甲型号货车每辆可装载25箱材料，
答：甲型号货车每辆可装载25箱材料，乙型号货车每辆可装载15箱材料．
（2）设租用m辆甲型货车，则租用辆乙型货车．
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取20，21，
∴该公司共有2种租车方案，
方案1：租用20辆甲型号货车，40辆乙型号货车；
方案2：租用21辆甲型号货车，39辆乙型号货车．
【点睛】本题考查了分式方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
则分式方程的个数是2．
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
3．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若关于的无实数解，则的值是（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，进行求解即可．
【详解】解：方程去分母得：，
解得：，
当时，分母为0，方程无解，
即，
解得：，
若关于的无实数解，则的值是，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解，或者解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，熟练掌握该条件是解题的关键．
4．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株橡？（椽，装于屋项以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用单价=总价÷数量，可求出一株椽的价钱为文，结合“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解∶这批㭬的价钱为6210文，这批椽有株，
一株椽的价钱为文，
又每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运費恰好等于一株椽的价钱，．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】C
【分析】先解分式方程得，然后令，且，计算求解即可．
【详解】解：，
两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项合并得，，
系数化为1得，，
令，且，
解得，且，，
综上，，且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算并检验．
二、填空题
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）方程的解是________________．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
检验：将代入，
则是原方程的根．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
7．（2023春·江苏泰州·八年级统考期中）若分式方程有增根，则的值是________．
【答案】
【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，再由分式方程有增根得到，然后将x的值代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原式
分式方程去分母得：，
由分式方程有增根，∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键．
8．（2023春·浙江·七年级专题练习）某店用元购进一批商品，很快售完，该店又用了元购进第二批同种商品，第二批的价格比第一批多元/件，数量比第一批多．设第一批购进的数量为件，则可列分式方程为___________．
【答案】
【分析】根据题意可知：第一批商品进价第二批商品的进价，然后列出相应的分式方程即可．
【详解】第一批购进的数量为件，则第二批购进的数量为件，
根据题意得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出响应方程．
9．（2023春·全国·八年级专题练习）若关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】首先求出关于的分式方程的解，然后根据解为负数，求出的取值范围即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：
合并同类项得：，
解得：，
∵分式方程的解是负数，
，
，
∴，
且，即，
解得：且
∴且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．
10．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义一种新运算，当时，．若，则______．
【答案】4或
【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．
【详解】解：由题意可知：当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
当时，则，
解得：，
经检验当时，，且
∴是原方程的解；
故答案为4或．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
三、解答题
11．（2023春·江苏·八年级期中）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】（1）先约去分母化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先约去分母化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解；
（2）方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当 时，，
∴是原方程的解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤，并注意要检验是解题的关键．
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）解分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘以得，，解得，，检验后即可得到答案；
（2）方程两边都乘以得，，解得，检验后即可得到答案．
【详解】（1）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2）
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
∴是增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
13．（2023春·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）已知关于x的分式方程．
(1)当时，求方程的解；
(2)若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)且．
【分析】（1）将代入分式方程，解分式方程的即可求解；
（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，
故方程的解为：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
去分母得：，
解得：，
由分式方程有解且解为非负数，
且，即：且，
即：且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了解分式方程及不等式的解法；掌握解分式方程要进行检验及分式方程有解且解为非负数的条件是解题关键．
14．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的分式方程
(1)若分式方程的根是，求的值
(2)若分式方程有增根，求的值
(3)若分式方程有无解，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可.
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或．
【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
15．（2023春·全国·八年级专题练习）重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长米的道路改造成智慧公路．
(1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期天，施工米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？
(2)在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了米的改造工程，丙队获得了米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工米，乙工程队在完成米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数．
【答案】(1)技术改造前甲队每天施工米
(2)丙工程队平均每天施工米
【分析】（1）设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米，根据两队的天数和是天列分式方程求解即可；
（2）设丙工程队平均每天施工y米，根据两队的天数相等列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：技术改造前甲队每天施工米；
（2）解：设丙工程队平均每天施工y米，
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，
答：丙工程队平均每天施工米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解答的关键．
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
(1)观察上述方程的解，猜想关于的方程的解是________；
(2)根据上面的规律，猜想关于的方程的解是________；
(3)由（2）可知，在解方程：时，可以变形转化为方程的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
【答案】(1)，
(2)，
(3)过程见解析，，
【分析】（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3）解：
，
，
，
即，，
解得：，，
经检验：，是方程的解.
【点睛】此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键．