安徽省六安市第二中学河西校区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 在中，角，，所对各边分别为，，，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A 36B. C. 32D.
6. 已知平面向量，，若向量与共线，则（ ）
A B. 2C. 5D.
7. 在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
8. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题中，正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 若复数z满足（i是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A. z的虚部为B. z的模为
C. z的共轭复数为D. z在复平面内对应的点位于第四象限
11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C. 圆柱的侧面积与球面面积相等D. 圆锥的侧面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为3的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
13. 如图，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知米，点C位于线段BD上，则山高AB=__________米.
14. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且，，，，若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，且，的夹角为．
（1）求；
（2）若与互相垂直，求的值．
16. 在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
17. 在边长为的正三角形中，已知，，点是线段的中点，点在线段上，.
（1）以为基底表示；
（2）求.
18. 如图，在中，，，，在三角形内挖去一个半圆，圆心在边上，半圆与分别相切于点，与交于另一点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体.
（1）求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积.
19. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．
（1）求扇形空地AOB的周长和面积；
（2）当米时，求PQ的长；
（3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区面积尽可能的大．设，求面积的最大值．