河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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命题人：审题人：
一、单选题
1. 已知为虚数单位，复数，则（）
A. 3B. C. 5D. 2
2. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，且与互相垂直，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
4. 如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）
A. B. C. D.
5. 如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）
A 四点共面B.
C. 三线共点D.
6. 如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（）
A. B. 8C. D. 12
7. 如图，在中，，D在边AB上，，，则（）
A. B. C. D.
8. 如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件中，能使的形状唯一确定的有（）
A. B. ，，
C ，∠B=30°，∠C=60°D. ，，∠B=60°
10. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（）

A.
B.
C. 最大值为
D ，，三点共线时
11. 如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（）
A. 当时，S为四边形
B. 当时，S为等腰梯形
C. 当时，S与的交点，满足
D. 当时，S为四边形
三、填空题
12. 已知，若直线，直线，且l，m为两条不同的直线，则l，m的位置关系是______.
13. 复数在复平面内对应的点为，则________．
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______．
四、解答题
15. 如图，圆柱的底面半径为1，侧面积为，，分别是圆柱上、下底面圆的一条直径，且点在下底面的投影点平分圆弧.
（1）若圆柱上下底面的圆周均在球的表面上，求球的表面积；
（2）求四面体的体积.
16. 已知的内角所对的边分别为，向量与平行.
（1）求；
（2）若，求的面积．
17. 在中，内角所对的边分别是，且．
（1）求角；
（2）若是角平分线，，的面积为，求的值．
18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 如图，圆半径为3，其中为圆上的两点.
（1）若，当为何值时，与垂直？
（2）若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且.证明：为定值；
（3）若的最小值为1，求的值.