河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前第六次适应性考试数学试题（原卷版+解析版）

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命题人： 审核人：
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（ ）
A. 18B. 20C. 21D. 22
2. 已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，若恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
6. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数分别满足，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 设、为复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若，则
D. 若，且，则在复平面对应的点在一条直线上
10. 已知函数，且满足，，对任意的恒有，且为的极值点，则下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 在边长为2的正方体中，动点满足，且，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，最小值为
B. 当时，异面直线与所成角的余弦值为
C. 当，且时，则的轨迹长度为
D. 当时，与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，函数恒成立，则的最大值为______.
13. 抛物线：的焦点为，直线，过分别交抛物线于点，，，，且直线，交轴于，，其中，则点坐标为_________．
14. 已知的角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________．
四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在三棱柱中，，点为中点．

（1）求的长；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
16. 已知椭圆过点，且离心率为，过右焦点的直线交椭圆于、两点，直线交轴于，过、分别作的垂线，交于、两点，为上除点的任一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求值；
（3）设直线、、斜率分别为、、，求的值．
17. 某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
（1）已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为，求的最有可能的取值：
（2）该公司统计了七个部门测试的平均成绩（满分100分）与绩效等级优秀率，如下表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，
（ⅰ）已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
（ⅱ）根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．经计算，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率．
参考公式与数据：①．
②线性回归方程中，，．
③若随机变量，则，，．
18. 设函数，
（1）已知对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）已知直线与曲线，分别切于点，，其中．
①求证：；
②已知对任意恒成立，求的取值范围．
19. 对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
（1）证明：；
（2）记．证明：（其中i为虚数单位）；
（3）以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．
32
41
54
68
74
80
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028
0.34
0.44
0.58
066
0.74
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