人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.1相交线中的角度综合(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.1相交线中的角度综合(原卷版+解析)，共53页。

【典例1】如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．
（1）若∠COE=30°，则∠BOF= __________．
（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．
（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）
【思路点拨】
（1）根据AB⊥CD，∠COE=30°，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据∠EOF=90°，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；
（2）解分两种情形，OA平分∠EOF，得出∠EOA=12∠EOF=45°，∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时 根据运动转过的角度列方程15t=30+45+90，OB平分∠EOF，∠EOB=12∠EOF=45°，根据运动转过的角度列方程15t=30+270+45，解方程即可；
（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线OP是∠COE的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵AB⊥CD，∠COE=30°，
∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
故答案是：30°；
（2）解：分两种情况，
情况一：如图，当OA平分∠EOF时，
∵OA平分∠EOF，
∴∠EOA=12∠EOF=45°，
∴∠FOC=90°−45°=45°，
设运动t秒时，OA平分∠EOF，
根据题意得：15t=30+45+90，
解得：t=11；
情况二：如图，当OB平分∠EOF时，
∵OB平分∠EOF，
∴∠EOB=12∠EOF=45°，
设运动t秒时，OB平分∠EOF，
根据题意得：15t=30+270+45，
解得：t=23；
综上：运动11或23秒时，直线AB平分∠EOF；
（3）解：分四种情况，
情况一：如图，当OE在∠COB内时，
∵射线OP是∠COE的角平分线
∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，
∵∠COE=∠BOF，
∴∠POE=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°+12∠BOF，
情况二：如图，当OE在∠AOC内时，
∵∠COE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∠COE=90°−12∠BOF，
∴∠AOP=90°−12∠BOF，
情况三：如图，当OE在∠AOD内时，
∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∠COE=90°−12∠BOF，
∴∠AOP=90°−12∠BOF，
情况四：如图，当OE在∠BOD内时，
∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+12∠COE=90°+12∠BOF，
∴∠AOP=90°+12∠BOF；
综上：∠AOP=90°+12∠BOF或∠AOP=90°−12∠BOF．
1．（2021秋·福建福州·七年级统考期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OFD．OE⊥OF
2．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
3．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=50°，∠2=60°，射线OG⊥OE，则∠DOG的度数为___________．
4．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°0°<α<360°到OF，若∠AOF=120°时，α的度数是___________．
5．（2022秋·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______．
6．（2022春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．
7．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
8．（2022春·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
9．（2022春·浙江·七年级专题练习）已知直线AB与CD相交于点O．
（Ⅰ）如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．
（Ⅱ）如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小；
（Ⅲ）如图3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．
10．（2022春·四川成都·七年级统考期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点O，∠COE＝90°，OF 平分∠AOE，∠COF＝37°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD=33°，则两射线同时出发 分钟．
12．（2022春·广东深圳·七年级统考期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE=90°， 过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF=130°， 求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②， ∠COE=90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE=20°， ∠BOF=130°， 将图①中的直线CD绕点O按每秒5° 的速度逆时针旋转 α度（0°<α<180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF=90°时，求t的值．
13．（2022秋·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
14．（2022春·全国·七年级期末）如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．
（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）
（2）若∠AOC=40°，
①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．
15．（2022春·浙江·七年级专题练习）如图①．直线DE上有一点O， 过点O在直线DE上方作射线OC， 将一直角三角板AOB（其中∠OAB=45∘）的直角顶点放在点O处， 一条直角边OB在射线 OE上， 另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒15∘的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到图②的伩置时， 射线OB恰好平分∠COE， 此时， ∠AOC与∠AOD 之间的数量关系为____________．
（2）若射线OC的位置保持不变， 且∠COD=120∘，
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB， 射线OC， 射线OE中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线? 若存在，请求出t的值； 若不存在， 请说明理由；
②在旋转过程中， 当边AB与射线OD相交时， 如图③， 请直接写出∠BOC−∠AOD的值____________．
16．（2022秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
（2）如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
（3）如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
17．（2022春·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
18．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
（1）【基础尝试】如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）【画图探究】作射线OF⊥OC，设∠AOC=x°，请你利用图（2）画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
（3）【拓展运用】在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
19．（2022春·河南新乡·七年级校联考期末）如图，两条直线AB,CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON（与射线OD重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒10°，两射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）．
（1）图中一定有__个直角；当t=2，∠MON的度数为__；当t=4，∠MON的度数为___；
（2）当0（3）当020．（2021春·福建莆田·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是 ．
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．
专题5.1 相交线中的角度综合
【典例1】如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．
（1）若∠COE=30°，则∠BOF= __________．
（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．
（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）
【思路点拨】
（1）根据AB⊥CD，∠COE=30°，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据∠EOF=90°，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；
（2）解分两种情形，OA平分∠EOF，得出∠EOA=12∠EOF=45°，∠FOC=90°−45°=45°，设运动t秒时 根据运动转过的角度列方程15t=30+45+90，OB平分∠EOF，∠EOB=12∠EOF=45°，根据运动转过的角度列方程15t=30+270+45，解方程即可；
（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线OP是∠COE的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵AB⊥CD，∠COE=30°，
∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
故答案是：30°；
（2）解：分两种情况，
情况一：如图，当OA平分∠EOF时，
∵OA平分∠EOF，
∴∠EOA=12∠EOF=45°，
∴∠FOC=90°−45°=45°，
设运动t秒时，OA平分∠EOF，
根据题意得：15t=30+45+90，
解得：t=11；
情况二：如图，当OB平分∠EOF时，
∵OB平分∠EOF，
∴∠EOB=12∠EOF=45°，
设运动t秒时，OB平分∠EOF，
根据题意得：15t=30+270+45，
解得：t=23；
综上：运动11或23秒时，直线AB平分∠EOF；
（3）解：分四种情况，
情况一：如图，当OE在∠COB内时，
∵射线OP是∠COE的角平分线
∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，
∵∠COE=∠BOF，
∴∠POE=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°+12∠BOF，
情况二：如图，当OE在∠AOC内时，
∵∠COE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∠COE=90°−12∠BOF，
∴∠AOP=90°−12∠BOF，
情况三：如图，当OE在∠AOD内时，
∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-12∠COE=90°−12∠BOF，
∴∠AOP=90°−12∠BOF，
情况四：如图，当OE在∠BOD内时，
∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线OP是∠COE的角平分线，
∴∠POC=12∠COE=12∠BOF，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+12∠COE=90°+12∠BOF，
∴∠AOP=90°+12∠BOF；
综上：∠AOP=90°+12∠BOF或∠AOP=90°−12∠BOF．
1．（2021秋·福建福州·七年级统考期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别平分∠AOC，∠BOC，∠AOD．下列说法正确的是（ ）
A．OE，OF在同一直线上B．OE，OG在同一直线上
C．OG⊥OFD．OE⊥OF
【思路点拨】
根据角平分线的性质得到∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠BOC，又因为∠AOC与∠BOC是互为补角，所以∠COE+∠COF=90°，所以OE⊥OF，所以A错误，D正确；因为∠AOG=12∠AOD，且∠AOD与∠BOC互为对顶角，所以∠AOG=∠BOF，所以OF与OG共线，所以OE⊥OG，所以B，C均错误．
【解题过程】
解：如图，
∵OE，OF分别是∠AOC，∠BOC的平分线，
∴∠COE=∠AOE=12∠AOC，∠COF=∠BOF=12∠BOC，
∵OG是∠AOD的平分线，
∴∠AOG=∠DOG=12∠AOD，
∴∠COE+∠COF=∠AOF+∠BOF=12×180°=90°，
∴∠EOF=90°，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOG=∠BOF，
∴∠EOG=∠AOG+∠AOE=90°，
∴∠EOG+∠EOF=180°，
∴OF与OG共线，
∴射线OE，OF互相垂直，故D正确，A错误；射线OF与OG互相垂直，故BC错误．
故选：D．
2．（2022秋·江西赣州·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOE=90°，∠DOF=90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；②OD为∠EOG的平分线；③若∠AOD=150°时，∠EOF=30°；④∠BOG=∠EOF．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【思路点拨】
由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【解题过程】
解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵∠AOD=150°，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴∠EOF=30°
故③正确；
若OD为∠EOG的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定∠EOF=30°，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
3．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=50°，∠2=60°，射线OG⊥OE，则∠DOG的度数为___________．
【思路点拨】
先求出∠EOD=70°，再分射线OG在直线EF的两侧进行讨论求解即可．
【解题过程】
解：∵∠1=50°，∠2=60°，∠2=∠AOE，
∴∠EOD=180°－50°－60°=70°，
分两种情况：
①如图，
∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∴∠DOG=∠EOG－∠EOD=90°－70°=20°；
②如图，
∵∠EOG=90°，∠EOD=70°，
∴∠DOG=∠EOD+∠EOG=70°+90°=160°，
综上，∠DOG的度数为20°或160°，
故答案为：20°或160°．
4．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC，将射线OE绕点O逆时针旋转α°0°<α<360°到OF，若∠AOF=120°时，α的度数是___________．
【思路点拨】
OF在运动过程中由两个位置可以使∠AOF=120°，分别作出对应的图像，根据∠AOC的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出两角的值，进而可求出角α的度数．
【解题过程】
解：①当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°，
∵∠AOE=23∠EOC ，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF=120°时，
∴α=∠AOF-∠AOE=120°-30°=90°，
②如图所示，当OF运动到如图所示的位置时，
∵∠BOD=75°，
∴∠AOC=∠BOD=75°，
∵∠AOE=23∠EOC ，
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°，
当∠AOF=120°时，
∴α=360°-（∠AOF＋∠AOE）=360°-150°=210°，
故答案为：90°或210°．
5．（2022秋·安徽铜陵·七年级校考阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，作射线OG⊥OE．若∠EOF＝54°，则∠AOG的度数为______．
【思路点拨】
先根据垂直定义求出∠FOD=90°，从而求出∠DOE的度数，然后利用角平分线的定义求出∠BOD，分两种情况，射线OG在OE的下方，射线OG在OE的上方，即可求解．
【解题过程】
解：∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
∵∠EOF=54°，
∴∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-54°=36°，
∵∴OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠DOE=72°，
分两种情况：
当射线OG在OE的下方，如图：
∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=36°，
∴∠AOG=180°-∠EOG-∠BOE=54°；
当射线OG在OE的上方，如图：
∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°，
∵∠DOE=36°，
∴∠COG=180°-∠EOG-∠DOE=54°，
∴∠AOG=∠AOC+∠COG=∠BOD+∠COG=72°+54°=126°，
综上所述：∠AOG的度数为：54°或126°，
故答案为：54°或126°．
6．（2022春·江苏·七年级专题练习）已知：如图，直线AB,CD相交于点O，EO⊥CD于O．
（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；
（2）若∠BOD:∠BOC=1:5，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出∠EOF的度数．
【思路点拨】
（1）依据垂线的定义以及对顶角相等，即可得∠BOE的度数；
（2）依据平角的定义以及垂线的定义，即可得到∠AOE的度数；
（3）分两种情况：若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；若F′在射线ON上，则∠EOF′=∠DOE+∠BON−∠BOD=150°．
【解题过程】
（1）解：∵EO⊥CD，
∴∠DOE=90°，
又∵∠BOD=∠AOC=36°，
∴∠BOE=90°−36°=54°；
（2）∵∠BOD:∠BOC=1:5，
∴∠BOD=16×180°=30°，
∴∠AOC=30°，
又∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∴∠AOE=90°+30°=120°；
（3）分两种情况：
若F在射线OM上，则∠EOF=∠BOD=30°；
若F′在射线ON上，则∠EOF′=∠DOE+∠BON−∠BOD=150°；
综上所述，∠EOF的度数为30°或150°．
7．（2022春·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠EOD．
（1）若∠BOE：∠EOC＝1：4，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．
【思路点拨】
（1）设∠BOE=x，则∠EOC=4x，先根据角平分线的定义可得∠BOD=∠BOE=x，∠EOD=2∠BOE=2x，再根据邻补角的定义求出x的值，从而可得∠BOD的度数，然后根据对顶角相等即可得；
（2）先求出∠EOD=60°,∠FOD=90°，再分①点F在AB的上方和②点F在AB的下方两种情况，根据角的和差即可得．
【解题过程】
（1）解：由题意，设∠BOE=x，则∠EOC=4x，
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOD=2∠BOE=2x，∠BOD=∠BOE=x，
∵∠EOD+∠EOC=180°，
∴2x+4x=180°，
解得x=30°，
∴∠BOD=30°，
由对顶角相等得：∠AOC=∠BOD=30°．
（2）解：由（1）可知，∠EOD=2×30°=60°，
∵OF⊥CD，
∴∠FOD=90°，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当点F在AB的上方时，
则∠EOF=∠EOD+∠FOD=150°；
②如图，当点F在AB的下方时，
则∠EOF=∠FOD−∠EOD=30°；
综上，∠EOF的度数为30°或150°．
8．（2022春·江苏·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC．请回答下列问题：
（1）∠AOE度数是 ；∠DOE度数是 ；
（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．
①如图2，当OF平分∠BOE时，OB是否平分∠DOF？请说明其理由；
②当OA⊥OF时，请求出α的度数．
【思路点拨】
（1）对于求解∠AOE与∠DOE的度数，首先从∠BOD=75°分析，它们之间有什么关系．根据对顶角相等，以及给出的角关系比例即可求出2个角的度数；
（2）要想得出OB是否平分∠DOF的结论，需要求出∠BOD与∠BOF的度数，进行比较即可得出结论；
②考虑到有两种情况即可，即为OF在如图所示位置与OF在上方位置．
【解题过程】
解：（1）∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠BOD＝∠AOC＝75°
∵∠AOE＝23∠COE，
∴∠AOC＝∠AOE+∠COE＝53∠COE＝75°，
∴∠COE＝45°，
∴∠AOE＝30°，
∵∠AOD＝180°﹣∠BOD＝105°，
∠DOE＝∠AOE+∠AOD＝30°+105°＝135°，
故答案为：75°，135°；
（2）①当OF平分∠BOE时
∵∠BOF＝12∠BOE＝12（∠COE+∠BOC）＝12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠BOD＝75°，
∴当OF平分∠BOE时，OB是平分∠DOF．
②当OA⊥OF时，且OF在下方时，
∵∠COF＝90°﹣∠AOC＝90°﹣75°＝15°，
∴α＝∠COE+∠COF＝45°+15°＝60°，
当OA⊥OF时，且OF在上方时，OF相当于比在下方时多旋转了180°，
∴α＝60°+180°＝240°．
综上所述：当OA⊥OF时，α的度数为60°或者240°．
9．（2022春·浙江·七年级专题练习）已知直线AB与CD相交于点O．
（Ⅰ）如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．
（Ⅱ）如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小；
（Ⅲ）如图3，若∠AOM=α，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小（用含α的式子表示）．
【思路点拨】
（Ⅰ）根据角平分线的定义求出∠AOC=45°，然后根据邻补角的定义求解即可；
（Ⅱ）设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根据角平分线的定义表示出∠COM=∠MON=12∠CON，再根据∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；
（Ⅲ）与（2）的解法相同．
【解题过程】
解（Ⅰ）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM，
∴∠AOC=12∠AOM=12×90°=45°，
∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOD=180°−∠AOC=180°−45°=135°，
即∠AOD的度数为135°；
（Ⅱ）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x°+x°=90°，
∴x=36°，
∴∠MON=32x°=32×36°=54°，
即∠MON的度数为54°；
（Ⅲ）∵∠BOC=4∠NOB
∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°，
∴∠CON=∠COB−∠BON=4x°−x°=3x°，
∵OM平分∠CON，
∴∠COM=∠MON=12∠CON=32x°，
∵∠BOM=32x°+x°=180°−α，
∴x=360°−2α5，
∴∠MON=32×360°−2α5=540°−3α5．
10．（2022春·四川成都·七年级统考期末）直线AB与直线CD相交于点O，∠AOD＝90°，射线OF在∠BOD内部．
（1）如图1，射线OE在∠AOD内部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，请比较∠AOE和∠DOF的大小，并说明理由；
（2）如图2，小亮将∠BOF沿射线OH折叠，使OF与OD重合，OB落在∠AOD的内部为OG．小亮提出了以下问题，请你解决：
①∠BOG等于∠COF吗？请说明理由；
②现有一条射线OM在∠AOD内部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，请求出∠MOH的度数．
【思路点拨】
（1）因为∠AOD=90°，∠DOE=∠BOF=40°，所以∠AOE=50°，∠DOF=50°，则∠AOE=∠DOF；
（2）①因为∠BOD=90°，所以∠BOF+∠DOF=90°，由折叠可知，∠BOF=∠GOD，所以∠GOD+∠DOF=90°，即∠GOF=90°，因为COB=90°，所以∠COB=∠GOF，则∠BOG=∠COF；
②因为∠BOF=50°，所以∠DOF=40°，由折叠可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH-∠FOH=20°，因为∠GOD=∠BOF=50°且∠MOG=15°，所以∠MOH=85°或∠MOH=55°．
【解题过程】
（1）解：（1）∠AOE=∠DOF，理由如下：
∵∠AOD=90°，∠DOE=∠BOF=40°，
∴∠AOE=50°，∠DOF=50°，
∴∠AOE=∠DOF；
（2）①∠BOG=∠COF，理由如下：
∵∠BOD=90°，
∴∠BOF+∠DOF=90°，
∵∠BOF沿射线OH折叠得到∠GOD，
∴∠BOF=∠GOD，
∴∠GOD+∠DOF=90°，即∠GOF=90°，
∵∠COB=90°，
∴∠COB=∠GOF，
∴∠COB+∠BOF=∠GOF+∠BOF，
∴∠BOG=∠COF；
②∵∠BOF=50°，
∴∠DOF=40°
∵沿射线OH折叠，OF与OD重合，
∴OH平分∠DOF，
∴∠DOH-∠FOH=20°，
∵∠GOD=∠BOF=50°且∠MOG=15°，
∴∠MOH=85°或∠MOH=55°．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线 AB 和 CD 相交于点O，∠COE＝90°，OF 平分∠AOE，∠COF＝37°．
（1）求∠EOB的度数．
（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．
（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD=33°，则两射线同时出发 分钟．
【思路点拨】
（1）先根据直角∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOE，进而由平角定义求解即可；
（2）先求出∠FOD=143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据射线OF转动的度数－射线OD转动的度数=143列出方程求解即可；
（3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，分两条射线第一次重合前和两条射线第一次重合后两种情况，根据题意列出方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵ ∠COE＝90°，∠COF＝37°，
∴ ∠EOF＝90°－37°＝53°，
∵ OF 平分∠AOE，
∴ ∠AOE＝2∠EOF=53°×2＝106°，
∴ ∠EOB＝180°－106°＝74°；
（2）∵ ∠COD＝180°，∠COE＝90°，
∴ ∠EOD＝90°，
∴ ∠FOD＝90°＋53°＝143°，
设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，
依题意，得：6x－0.5x＝143，
解得：x＝26．
答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合；
（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，
设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，
当射线OF与射线OD第一次重合前，根据题意，
得：6t+33=143+0.5t，
解得：t=20；
射线OF与射线OD第一次重合后，根据题意，
得：6t=143+33+0.5t，
解得：t=32，
综上，两射线同时出发20或32分钟后，∠FOD=33°，
故答案为：20或32．
12．（2022春·广东深圳·七年级统考期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE=90°， 过点O作射线OF．
（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF=130°， 求∠BOE的度数；
（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②， ∠COE=90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；
（3）若∠BOE=20°， ∠BOF=130°， 将图①中的直线CD绕点O按每秒5° 的速度逆时针旋转 α度（0°<α<180°），∠COE始终保持为90°，设旋转的时间为t秒，当∠AOC+∠EOF=90°时，求t的值．
【思路点拨】
（1）由补角的定义得出∠AOF的度数，由角平分线的定义得出∠FOC的度数，根据余角定义得出∠BOE的度数；
（2）由∠COE=90°得出∠COF+∠FOE=∠AOC+∠EOB，由角平分线的定义得出∠FOE=∠EOB，得∠AOC=∠COF即可得出结论；
（3）由余角和补角的定义求得∠BOC、∠AOC的度数，然后分当0【解题过程】
解：（1）∵∠BOF=130°，
∴∠AOF=180∘−130∘=50°
∵射线OF平分∠AOC，
∴∠AOF=∠FOC=50°，
∴∠COB=80°
∵∠COE=∠COB+∠BOE=90°，
∴∠BOE=90°−80°=10°
（2） 射线OC平分∠AOF，理由如下：
∵∠COE=∠COF+∠FOE=90°，
∴∠AOC+∠EOB=90°．
∴∠COF+∠FOE=∠AOC+∠EOB
∵OE平分∠FOB，
∴∠FOE=∠EOB
∴∠AOC=∠COF
即射线OC平分∠AOF．
（3）∵∠BOE=20°且∠BOF=130°，
∴∠EOF=150°
又∵∠COE=90°，
∴∠BOC=70°，
∴∠AOC=110°
①当0∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转
∴∠AOC=110°−5t，∠EOF=150°−5t
∵∠AOC+∠EOF=90°
∴110−5t+150−5t=90
解得t=17
②当22∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转
∴∠AOC=5t−110°，∠EOF=150°−5t
∵∠AOC+∠EOF=90°
∴5t−110+150−5t=90
40=90，此时无解
③当30∵直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转
∴∠AOC=5t−110°，∠EOF=5t−150°
∵∠AOC+∠EOF=90°
∴5t−110+5t−150=90
解得t=35
综上所述，当∠AOC+∠EOF=90°时， t=17秒或t=35秒．
13．（2022秋·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；
②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；
（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①利用余角的定义以及角之间的关系可求出∠EOF=60°；②利用OF平分∠BOE，可得：∠EOF=∠FOB=12∠EOB，再利用垂直得到：∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，即可证明∠COE=∠AOC，OC平分∠AOE．
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧和点E，F在直线AB的异侧两种情况，再分别表示出∠BOE与∠AOC，再消去α即可．
【解题过程】
（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=20°,∠BOE=130°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−130°−20°=30°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−∠COE=90°−30°=60°；
∴∠EOF的度数为60°；
②∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠AOC+∠BOF=90°，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）解：设∠COE=α，则∠AOF=2α，
当点E，F在直线AB的同侧时，如图：
∠EOF=90°−α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠COE−∠AOC=180°−α−90°−α=270°−3α，②
令①×3+②×2可得：3∠AOC+2∠BOE=270°，
当点E，F在直线AB的异侧时，如图：
∠EOF=90°+α，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°，①
∠BOE=180°−∠AOE−∠BOD=180°−α−∠AOC−∠AOC=180°−α，②
令①+②×2可得：∠AOC+2∠BOE=270°，
综上所述：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
14．（2022春·全国·七年级期末）如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．
（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）
（2）若∠AOC=40°，
①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．
【思路点拨】
（1）利用角的和差关系求解∠BOF, 再利用角平分线的含义求解∠DOF即可；
（2）①设∠COE=β，再利用角的和差关系依次求解∠AOE=40°−β， ∠AOF=50°+β，∠BOF=130°−β， 从而可得答案；②由题意得：OE与OA重合是第18秒，OF与OD重合是第8秒，停止是36秒．再分三种情况讨论：如图，当0【解题过程】
（1）解：∵∠AOB=180°,∠EOF=90°,∠AOE=n°,
∴ ∠BOF=180°−∠EOF−∠AOE=90°−n°
∵OF平分∠BOD
∴∠DOF=∠BOF=90°−n°
（2）解：①设∠COE=β，则∠AOE=40°−β，
∴∠AOF=90°−(40°−β)=50°+β
∴∠BOF=180°−∠AOF=180°−(50°+β)=130°−β，
∴∠COE+∠BOF=130°
②由题意得：OE与OA重合是第18秒，OF与OD重合是第8秒，停止是36秒．
如图，当0则90−5t+40−5t=90，
∴t=4
如图，当8则90−5t+5t−40=90，方程无解，不成立
如图，当18则5t−90+5t−40=90，
∴t=22
综上所述t=4秒或22秒
15．（2022春·浙江·七年级专题练习）如图①．直线DE上有一点O， 过点O在直线DE上方作射线OC， 将一直角三角板AOB（其中∠OAB=45∘）的直角顶点放在点O处， 一条直角边OB在射线 OE上， 另一边OA在直线DE的上方，将直角三角形绕着点O按每秒15∘的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到图②的伩置时， 射线OB恰好平分∠COE， 此时， ∠AOC与∠AOD 之间的数量关系为____________．
（2）若射线OC的位置保持不变， 且∠COD=120∘，
①在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB， 射线OC， 射线OE中的某一条射线是另外两条射线所夹锐角的角平分线? 若存在，请求出t的值； 若不存在， 请说明理由；
②在旋转过程中， 当边AB与射线OD相交时， 如图③， 请直接写出∠BOC−∠AOD的值____________．
【思路点拨】
（1）根据OB平分∠COE，得出∠COB=∠EOB，根据∠AOB=90°，得出∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，利用等角的余角性质得出∠AOC=∠AOD即可；
（2）①存在，根据∠COD=120∘，得出∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，当OB平分∠COE时，直角边OB在射线 OE上，∠EOB=∠BOC=12∠COE=12×60°=30°，列方程15°t=30°，解得t=2；当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，∠EOB不是锐角舍去，当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，∠BOC=2∠EOC=120°＞90°∠BOC不是锐角舍去即可；
②如图根据∠COD=120°，可得AB与OD相交时，∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，代入计算即可．
【解题过程】
（1）解：∵OB平分∠COE，
∴∠COB=∠EOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOC+∠AOC =90°，∠BOE+∠AOD =90°，
∴∠AOC=∠AOD，
故答案为：∠AOC=∠AOD；
（2）解：①存在，
∵∠COD=120∘，
∴∠COE=180°-∠COD=180°-120°=60°，
当OB平分∠COE时，直角边OB在射线 OE上，
∠EOB=∠BOC=12∠COE=12×60°=30°，
则15°t=30°，
∴t=2；
当OC平分∠EOB时，∠BOC=∠EOC=60°，
∴∠EOB=2∠EOC=120°＞90°，
∴当OC平分∠EOB时，∠EOB不是锐角舍去，
当OE平分∠BOC时，∠EOB=∠EOC=60°，
∴∠BOC=2∠EOC=120°＞90°，
当OE平分∠BOC时，∠BOC不是锐角舍去，
综上，所有满足题意的t的取值为2，
②如图，
∵∠COD=120°，
当AB与OD相交时，
∵∠BOC=∠COD-∠BOD=120°-∠BOD，∠AOD=∠AOB-∠BOD=90°-∠BOD，
∴∠BOC−∠AOD=120°−∠BOD−90°−∠BOD=30°，
故答案为：30°．
16．（2022秋·浙江台州·七年级校联考阶段练习）如图，直线CD，EF相交于点O，射线OA在∠COF的内部，∠DOF=13∠AOD．
（1）如图1，若∠AOC=120°，求∠EOC的度数；
（2）如图2，若∠AOC=α（60°<α<180°），将射线OA绕点O逆时针旋转60°，到OB，
①求∠EOB的度数（用含α的式子表示）；
②观察①中的结果，直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
（3）如图3 ，0°<∠AOC <120°，将射线OA绕点O顺时针旋转60°，到OB，请直接写出∠AOC，∠EOB之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等得出答案；
（2）①根据补角的定义求出∠AOD，结合已知求出∠DOF，然后根据对顶角相等求出∠EOC，再根据∠BOC＝α－60°，求出∠EOB的度数即可；②根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；
（3）分情况讨论：①当0°<∠AOC ≤90°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出答案；②当90°<∠AOC ≤120°时，根据题意结合补角的定义求出∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋60°，然后可得∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，再根据对顶角相等计算得出∠EOC＋∠BOC＝23∠AOC＋120°，最后根据周角的定义计算得出答案．
【解题过程】
（1）解：∵∠AOC＝120°，
∴∠AOD＝180°－∠AOC＝180°－120°＝60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝20°，
∴∠EOC＝∠DOF＝20°；
（2）解：①∵∠AOC＝α，
∴∠AOD＝180°－α，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13α，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13α，
由题意得：∠AOB＝60°，
∴∠BOC＝α－60°，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13α＋α－60°＝23α；
②观察①中结果可得：∠EOB＝23∠AOC，
证明：∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOC－60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC－60°＝23∠AOC；
（3）解：①当0°<∠AOC ≤90°时，如图，
∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOB＝∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°．
②当90°<∠AOC ≤120°时，如图，
∵∠AOD＝180°－∠AOC，∠BOC＝∠AOC＋∠AOB＝∠AOC＋60°，
∴∠DOF＝13∠AOD＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＝∠DOF＝60°－13∠AOC，
∴∠EOC＋∠BOC＝60°－13∠AOC＋∠AOC＋60°＝23∠AOC＋120°，
∴∠EOB＝360°－（∠EOC＋∠BOC）＝360°－23∠AOC－120°＝240°－23∠AOC．
17．（2022春·辽宁大连·七年级校考期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．
（1）当点E，F在直线AB的同侧；
①如图1，若∠BOD=15°，∠BOE=120°，求∠EOF的度数；
②如图2，若OF平分∠BOE，请判断OC是否平分∠AOE，并说明理由；
（2）若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．
【思路点拨】
（1）①先利用角度的和差关系求得∠COE，再根据∠EOF=90°−∠COE，可得∠EOF的度数；
②先根据角平分线定义∠EOF=∠FOB，再结合余角定义和对顶角相等可得结论；
（2）需要分类讨论，当点E，F在直线AB的同侧，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，再分别表示∠AOC、∠BOE，再消去α即可．
【解题过程】
（1）解：①∵OF⊥CD于点O，
∴∠COF=90°，
∵∠BOD=15°，∠BOE=120°，
∴∠COE=180°−∠BOE−∠BOD=180°−120°−15°=45°，
∴∠EOF=∠COF−∠COE=90°−45°=45°，
∴∠EOF的度数为45°；
②平分．理由如下：
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=∠FOB=12∠EOB，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠COE+∠EOF=∠FOB+∠BOD=90°，
∴∠COE=∠BOD，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠COE=∠AOC，
∴OC平分∠AOE．
（2）如图，当点E，F在直线AB的同侧，设∠COE=α，
∵∠AOF=2∠COE，
∴∠AOF=2∠COE=2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠AOF−∠COF=2α−90°①，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−2α−90°−α=270°−3α②，
①×3＋②×2得，3∠AOC+2∠BOE=270°；
如图，当点E，F在直线AB的异侧；设∠COE=α，
∵∠AOF=2∠COE，
∴∠AOF=2∠COE=2α，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOC=∠COF−∠AOF=90°−2α①，
∴∠BOE=180°−∠AOC−∠COE=180°−90°−2α−α=90°+α②，
①＋②×2得，∠AOC+2∠BOE=270°．
综上所述，∠BOE与∠AOC之间的数量关系：3∠AOC+2∠BOE=270°或∠AOC+2∠BOE=270°．
18．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．
（1）【基础尝试】如图（1），若∠AOC=40°，求∠DOE的度数；
（2）【画图探究】作射线OF⊥OC，设∠AOC=x°，请你利用图（2）画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．
（3）【拓展运用】在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．
【思路点拨】
（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；
（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；
（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70°，
∵∠DOE+∠COE=180°，
∴∠DOE=180°-70°=110°；
（2）∠EOF=12x或∠EOF=180°-12x．
当OF在∠BOC内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°，
∴∠BOC=（180-x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=（90-12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=90°-∠COE=90°-（90-12x）°=12x°，
即∠EOF=12x°；
当OF在∠AOD内部时，如图，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°，
∴∠BOC=（180-x）°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=12∠BOC=（90-12x）°，
∵OF⊥OC，
∴∠COF=90°，
∴∠EOF=90°+∠COE=90°+（90-12x）°=180°-12x°，
即∠EOF=180°-12x°．
综上所述：∠EOF=12x°或∠EOF=180°-12x；°
（3）∠EOF可能和∠DOE互补．
当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC=∠BOD=90°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12BOC=45°，
即∠EOF=45°，
∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+45°=135°，
∴∠EOF+∠DOE=180°，
即∠EOF和∠DOE互补．
19．（2022春·河南新乡·七年级校联考期末）如图，两条直线AB,CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O逆时针方向旋转，速度为每秒15°，射线ON（与射线OD重合）绕点O顺时针方向旋转，速度为每秒10°，两射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒（本题出现的角均指不大于平角的角）．
（1）图中一定有__个直角；当t=2，∠MON的度数为__；当t=4，∠MON的度数为___；
（2）当0（3）当0【思路点拨】
（1）根据垂直的定义求直角，及角度的关系求出∠MON的度数；
（2）根据∠AOM=3∠AON−60°列方程求出t的值即可；
（3）先求出∠MON=180°时t的值，再分情况讨论，当0【解题过程】
（1）解：∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOD=∠AOC=90°,∠BOC=∠AOD=90°，
∴图中共有4直角；
由题意得：∠BOM=15t°,∠DON=10t°，
当t=2时，∠BOM=30°,∠DON=20°，
∴∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=30°+90°+20°=140°；
当t=4时，∠BOM=60°,∠DON=40°，
∴∠MON=360°−∠BOM+∠BOD+∠DON=360°−60°+90°+40°=170°；
故答案为：4，140°，170°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷10=9，
当OM与OA重合时，t=180÷15=12，
∴当0由∠AOM=3∠AON−60°，得180°−15t°=390°−10t°−60°，
解得t=2；
当9由∠AOM=3∠AON−60°，得180°−15t°=310t°−90°−60°，
解得t=343，
综上，当∠AOM=3∠AON−60°时，t的值为2或343；
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t°+90°+10t°=180°，
解得t=185，
当0∠MON=∠BOD+∠DON+∠BOM=90°+10t°+15t°=90°+25t°，
∴8∠BON−3∠COM∠MON
=890°+10t°−390°−15t°90°+25t°
=5；
当185∠MON=360°−∠BOD+∠DON+∠BOM=360°−90°+10t°+15t°=270°−25t°，
∴8∠BON−3∠COM∠MON
=890°+10t°−390°−15t°270°−25t°
=25t−905t−54，
综上，当020．（2021春·福建莆田·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O，且∠AOD＝90°，现将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，把该直角三角尺OEF绕着点O旋转，作射线OH平分∠AOE．
（1）如图1所示，当∠DOE＝20°时，∠FOH的度数是 ．
（2）若将直角三角尺OEF绕点O旋转至图2的位置，试判断∠FOH和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
（3）若再作射线OG平分∠BOF，试求∠GOH的度数．
【思路点拨】
（1）根据∠AOD＝90°，∠DOE＝20°得∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°，再根据OH平分∠AOE，即可求解；
（2）可以设∠AOH＝x，根据OH平分∠AOE，可得∠HOE＝∠AOH＝x，进而∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x，∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x，即可得结论；
（3）分两种情况解答：当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内，当OE落在其他位置时，根据OH平分∠AOE，OG平分∠BOF即可求解．
【解题过程】
解：（1）因为∠AOD＝90°，∠DOE＝20°
所以∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝110°
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝12∠AOE＝55°
所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝35°；
故答案为35°；
（2）∠BOE＝2∠FOH，理由如下：
设∠AOH＝x，
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝x
所以∠FOH＝90°﹣∠HOE＝90°﹣x
∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣2x
所以∠BOE＝2∠FOH；
（3）如图3，当OE落在∠BOD内时，OF落在∠AOD内
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝12∠AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝12∠BOF
所以∠GOH＝∠GOF﹣∠FOH
＝12∠BOF﹣（∠AOH﹣∠AOF）
＝12（180°﹣∠AOF）﹣12∠AOE+∠AOF
＝90°﹣12∠AOF﹣12（90°+∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣12∠AOF﹣45°﹣12∠AOF+∠AOF
＝45°；
所以∠GOH的度数为45°；
如图4，当OE落在其他位置时
因为OH平分∠AOE
所以∠HOE＝∠AOH＝12∠AOE
因为OG平分∠BOF
∠FOG＝∠GOB＝12∠BOF
所以∠GOH＝∠GOF+∠FOH
＝12∠BOF+∠AOH+∠AOF
＝12（180°﹣∠AOF）+12∠AOE+∠AOF
＝90°﹣12∠AOF+12（90°﹣∠AOF）+∠AOF
＝90°﹣12∠AOF+45°﹣12∠AOF+∠AOF
＝135°；
所以∠GOH的度数为135°；
综上所述：∠GOH的度数为45°或135°．