人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.4平移中的几何综合(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册压轴题专项讲练专题5.4平移中的几何综合(原卷版+解析)，共47页。

【典例1】如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
（1）BD与AC平行吗？为什么？
（2）将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【思路点拨】
（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
【解题过程】
（1）解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）①过点E作EK∥BD，
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
1．（2022春·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD．
（1）阴影部分的周长为______cm；
（2）若三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，则a的值为______．
2．（2022春·云南德宏·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,AD=1,EF=4,CH=43，三角形ABC周长为12．下列结论：①BH//EF；②AD=BE；③∠ACB=∠DFE；④四边形ACFE的周长为14；⑤阴影部分的面积为203．其中正确的是_________．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．
4．（2022春·浙江杭州·七年级统考阶段练习）如图，直线BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F在线段BC上(不与点B，C重合)，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）OC与AB是否平行？请说明理由．
（2）求∠EOB的度数．
（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．
5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
6．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）已知MN//PQ，点B、C在MN上（B在C左侧），A在PQ上，连接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于点E．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若将图1中的线段AC沿PQ向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出∠DEB的度数：
（3）若将图1中的线段AC沿PQ向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时∠DEB的度数又是多少．（不需要证明）
7．（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，点E在直线AB,CD之间．
（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
ⅰ．如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数．
ⅱ．如图③，若FH平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
8．（2022·全国·七年级专题练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．
9．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，已知MN//GH，点A在MN上，点B、C在GH上．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠EDF＝30°．
（1）图中∠BAN的度数是______°；
（2）将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；
（3）将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度数．
10．（2021春·湖北武汉·七年级校联考期中）已知直线a//b，点A，B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b下方，连接AE交直线b于点D．
（1）如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC；
（2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系 ．
11．（2021春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE,DE所在直线交于点E，∠ADC=80°．
（1）若∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=120°，求∠BED的度数．
12．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
13．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，∠PAB=50°，∠ACB=30°，AD平分∠PAC，BD平分∠ABC，AD与BD相交于点D．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若将图1中的线段AC沿MN向右平移到A1C1，如图2，此时A1D平分∠AA1C1，BD平分∠ABC1，A1D与BD相交于点D，∠PAB=50°，∠A1C1B=30°，求∠A1DB的度数；
（3）若将图1中的线段AC沿MN向左平移到A1C1，如图3，其他条件与（2）相同，求此时∠A1DB的度数．
14．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线AB//CD，直线EF分别与AB，CD交于O点，G点．P点是直线EF上的一个动点．
（1）如图1，当P运动至AB与CD之间时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N．若∠BMP=15°，则∠PNG=______度．
（2）如图2，当P运动至直线AB上方时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M、N．作∠EPM的角平分线并反向延长交AB于点T，交CD于点Q，作∠NPF的角平分线与CD交于点H，若∠PHC=72°，求∠BTQ的度数．
（3）过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N，设PN与AB交于点K，点O在M、K之间且MO：MO:KO=3:1，S△POK=8．沿直线EF方向平移直线CD，并保持CD始终在AB下方，使得S△MOG=4．连接MG、MN、KG．在备用图中画出相关图形，并直接写出△MGN的面积．
15．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）如图已知∠MON=α0°<α<90°，有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA//ON交OM于点E．
（1）如图1，若BC//OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；
（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P：
①如图2，当AP//OM，且α=60°时，请说明：BC//OM；
②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC//OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．
16．（2021春·江苏·七年级统考期末）如图，直线PQ//MN，一副直角三角板ΔABC,ΔDEF中，∠ACB=∠EDF=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°．
（1）若ΔDEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若ΔABC,ΔDEF如图2摆放时，则∠PDE=
（3）若图2中ΔABC固定，将ΔDEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中ΔDEF的周长35cm,AF=5cm，现将ΔABC固定，将ΔDEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到ΔD'E'A，点D、E的对应点分别是D'、E'，请直接写出四边形DEAD'的周长．
（5）若图2中ΔDEF固定，（如图4）将ΔABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与ΔDEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．
专题5.4 平移中的几何综合
【典例1】如图1，AB,AC被直线BC所截，点E是线段BC上一点，过点E作DE∥AB，连接BD,∠A=∠D=60°．
（1）BD与AC平行吗？为什么？
（2）将线段BD沿着直线BC进行平移，平移后得到的对应线段记为线段FG，连接EG；
①当线段FG在E点下方时，如图2，若∠EGF=15°，求∠DEG的度数．
②在整个平移的过程中，当∠EGF=3∠DEG时，求∠EGF的度数．
【思路点拨】
（1）结论：BD∥AC，延长DE交AC于点T．利用平行线的性质以及判定证明即可；
（2）①过点E作EK∥BD，利用平行线的性质求解即可；
②分两种情形：当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，分别利用平行线的性质求解即可．
【解题过程】
（1）解：结论：BD∥AC．理由如下：
延长DE交AC于点T，如图所示：
∵DT∥AB，
∴∠DTC＝∠A＝60°，
∵∠D＝60°，
∴∠D＝∠DTC，
∴BD∥AC．
（2）①过点E作EK∥BD，
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG＝15°，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠DEK＋∠KEG＝75°．
②当点F在线段BE上时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝60°−∠FGE，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝15°，
∴∠EGF＝45°；
当点F在点B的上方时，过点E作EK∥BD，如图所示：
∵BD∥FG，
∴EK∥FG∥BD，
∴∠EGF＝∠KEG，∠DEK＝∠D＝60°，
∴∠DEG＝∠FGE−60°，
∵∠EGF＝3∠DEG，
∴∠DEG＝30°，
∴∠EGF＝90°．
综上所述，满足条件的∠EGF的值为45°或90°．
1．（2022春·七年级单元测试）如图，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=4cm，BC=5cm，AC=3cm，将三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD．
（1）阴影部分的周长为______cm；
（2）若三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，则a的值为______．
【思路点拨】
（1）由平移的性质可得出AD=BE=acm，DE=AB=5cm．再根据CE=BC−BE=(5−a)cm，即可求出阴影部分的周长；
（2）过A点作AH⊥BC于H，利用等面积法计算出AH=125cm，由S四边形ABED=S四边形ABEG+S△ADG，S△ABC=S四边形ABEG+S△CEG，即可得出125×BE−S△ADG=12×3×4−S△CEG，再根据S△ADG−S△CEG=4.8cm2，即可列出关于a的等式，解出a即可．
【解题过程】
解：（1）∵三角形ABC沿BC方向平移acm(a<5)得到三角形DEF，
∴AD=BE=acm，DE=AB=5cm．
∵CE=BC−BE=(5−a)cm，
∴阴影部分的周长为AD+CE+AC+DE=a+5−a+3+4=12cm，
故答案为：12；
（2）过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵∠BAC=90°
∴S△ABC=12⋅AH⋅BC=12⋅AB⋅AC，
∴AH=3×45=125cm．
∵S四边形ABED=S四边形ABEG+S△ADG，
∴S四边形ABEG=125×BE−S△ADG．
∵S△ABC=S四边形ABEG+S△CEG，
∴S四边形ABEG=12×3×4−S△CEG，
∴125×BE−S△ADG=12×3×4−S△CEG，即S△ADG−S△CEG=125a−12×3×4．
∵三角形ADG的面积比三角形EGC的面积大4.8cm2，即S△ADG−S△CEG=4.8cm2，
∴125a−12×3×4=4.8，
解得a=4.5．
故答案为：4.5．
2．（2022春·云南德宏·七年级校考阶段练习）如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF,AD=1,EF=4,CH=43，三角形ABC周长为12．下列结论：①BH//EF；②AD=BE；③∠ACB=∠DFE；④四边形ACFE的周长为14；⑤阴影部分的面积为203．其中正确的是_________．
【思路点拨】
①由平移变换可知BC//EF，因为点B、H、C三点在同一条直线上可得出结论；
②由平移变换可知DE=AB，可得到AB=AD+DB，DE=BE+DB，即可得出结论；
③因为平移前后角的度数是不变的，即可得出结论；
④由平移变换可知四边形ADFC是平行四边形，四边形ACFE的周长为：AD+CF+DE+EF+AC，求解即可；
⑤∵S阴影=S▱ADFC−S△HCF，根据条件求解即可．
【解题过程】
解：①∵△DEF是由△ABC平移得来的，
∴BC//EF,
又∵点B、H、C三点在同一条直线上，
∴ BH//EF，
∴①正确；
②∵△DEF是由△ABC平移得来的，
∴DE=AB,∵AB=AD+DB,DE=BE+DB,∴AD=BE,
∴②正确；
③∵△DEF是由△ABC平移得来的，
∴平移前后角的度数是不变的，
∴ ∠ACB=∠DFE，
∴③正确；
④∵三角形ABC周长为12，
∴AB+BC+AC=12，
∵△DEF是由△ABC平移得来的，
∴边的长度不变且AC//DF，
∴DE+EF+DF=12,∴DE+EF+AC=12,
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF=1,
∵四边形ACFE的周长为：AD+CF+DE+EF+AC，
∴四边形ACFE的周长为：2+12=14，
∴④正确；
⑤由④得四边形ADFC是平行四边形，
∴CF=AD=1，
∵S阴影=S▱ADFC−S△HCF，
∵BC⊥AE,∴BC⊥AD,∴BC⊥CF,
∴S阴影=AD·EF−12·HC·CF
=1×4−12×43×1=4−23=103,
∴⑤错误．
故答案为：①②③④．
3．（2022·全国·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．
【思路点拨】
根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到AB∥DE，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作CG∥AB，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①当∠ACD=2∠CDE时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=15°，
∴∠ACD=2x=30°，
②当∠CDE=2∠ACD时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=12x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+12x=45°，解得：x=30°，
∴∠ACD=12x=15°，
第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作CG∥AB
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴AB∥DE，
∵CG∥AB，AB∥DE，
∴CG∥DE，
①当∠ACD=2∠CDE时，
设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x=x+45°，解得：x=45°，
∴∠ACD=2x=90°，
②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况，
综上：∠ACD=15°或30°或90°．
4．（2022春·浙江杭州·七年级统考阶段练习）如图，直线BC∥OA，∠C＝∠OAB＝108°，E，F在线段BC上(不与点B，C重合)，且满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．
（1）OC与AB是否平行？请说明理由．
（2）求∠EOB的度数．
（3）若左右平移线段AB，是否存在∠OEC＝∠OBA的可能？若存在，求出此时∠OEC的度数；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质和判定，两直线平行同旁内角互补，同旁内角互补两直线平行，解答即可；
（2）利用角平分线的定义和平行线的性质解答即可；
（3）设∠OEC=∠OBA=x，结合（2）问结论，在△OBE中利用三角形的内角和为180°列方程求解解答；
【解题过程】
（1）解：OC∥AB，理由如下：
∵BC∥OA，∴∠COA＋∠C=180°，
∵∠C=∠OAB，∴∠COA＋∠OAB=180°，
∴OC∥AB．
（2）解：∵OE平分∠COF，
∴∠EOF=12∠COF，
∵∠FOB=∠AOB=12∠FOA，
∴∠EOB=∠EOF＋∠FOB=12∠COF＋12∠FOA=12(∠COF＋∠FOA)=12∠COA；
∵BC∥OA，
∴∠COA=180°−∠C=180°−108°=72°，
∴∠EOB=12×72°=36°．
（3）解：存在∠OEC=∠OBA，理由如下：
OC∥AB，则∠ABC=180°－∠C=72°，
设∠OEC=∠OBA=x，则∠OEB=180°－x，∠OBC=72°－x
在△OBE中∠OEB+∠OBE+∠EOB=180°得
180°－x+72°－x+36°=180°，求得x=54°
5．（2022春·山东德州·七年级统考期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
【思路点拨】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【解题过程】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
6．（2022春·内蒙古巴彦淖尔·七年级统考期末）已知MN//PQ，点B、C在MN上（B在C左侧），A在PQ上，连接AB、AC，∠PAB=60°，∠ACB=40°，AE平分∠PAC，BE平分∠ABC，AE、BE交于点E．
（1）求∠AEB的度数；
（2）若将图1中的线段AC沿PQ向右平移到DC如图2所示位置，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，DE、BE交于点E，∠PAB=60°，∠DCB=40°，请你直接写出∠DEB的度数：
（3）若将图1中的线段AC沿PQ向左平移到DC如图3所示位置，其它条件与（2）相同，猜想此时∠DEB的度数又是多少．（不需要证明）
【思路点拨】
（1）先证明∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,再求解∠PAE=12×140°＝70°，可得∠BAE=∠PAE−∠PAB=10°,再求解∠ABE=30°，再利用三角形的内角和定理可得答案；
（2）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°, 可得∠PDC=140°, 由DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，∠ADE=12∠PDC=70°,∠ABE=12∠ABC=30°, 再利用四边形的内角和定理可得答案；
（3）先证明∠ABC=60°,∠QDC=40°,结合角平分线的定义可得∠ADE=20°,∠ABE=∠EBC=30°,如图，过E作EK∥PQ，证明∠ADE=∠DEK=20°, 再证明∠KEB=∠EBC=30°, 从而可得答案．
【解题过程】
解：（1）∵PQ∥MN， ∠PAB=60°，∠ACB=40°，
∴∠QAC=∠ACB=40°,∠ABC=∠PAB=60°,
∴∠PAC=180°-40°=140°， 而AE平分∠PAC，
∴∠PAE=12×140°＝70°，
∴∠BAE=∠PAE−∠PAB=70°−60°=10°,
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=30°，
在△ABE中，∠AEB=180°-∠ABE-∠BAE=180°-30°-10°=140°，
（2）∵PQ∥MN， ∠PAB=60°，∠DCB=40°，
∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,∠DAB=120°,
∴∠PDC=140°,
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠ADE=12∠PDC=70°,∠ABE=12∠ABC=30°,
∴∠DEB=360°−120°−70°−30°=140°.
（3）
∵PQ∥MN， ∠PAB=60°，∠DCB=40°，
∴∠ABC=60°,∠QDC=40°,
∵DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，
∴∠ADE=12∠ADC=20°,∠ABE=∠EBC=12∠ABC=30°,
如图，过E作EK∥PQ，
∴∠ADE=∠DEK=20°,
∵MN∥PQ,
∴KE∥MN,
∴∠KEB=∠EBC=30°,
∴∠DEB=∠DEK+∠KEB=20°+30°=50°.
7．（2021春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，点E在直线AB,CD之间．
（1）求证：∠AEC=∠BAE+∠ECD
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD平移至FG．
ⅰ．如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数．
ⅱ．如图③，若FH平分∠CFG，请直接写出∠AHF与∠AEC的数量关系．
【思路点拨】
（1）过E作EF∥AB，可得∠A=∠AEF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；
（2）ⅰ．HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，根据平行线的性质可以得到∠AHF的度数；ⅱ．设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得到∠AHF与∠AEC的数量关系．
【解题过程】
解：（1）如图1，过点E作直线EN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EN∥CD，
∴∠BAE=∠AEN，∠DCE=∠CEN，
∴∠AEC=∠AEN+∠CEN=∠BAE+∠ECD；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
ⅰ．∵HF平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x，
又CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°，
∴∠BAH=∠EAH=45°-x，
如图2，过点H作l∥AB，
同理可得：∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°；
ⅱ．设∠GFD=2x，∠BAH=∠EAH=y，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH=90°-x，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+2y，
如图3，过点H作l∥AB，
∴∠AHF-y+∠CFH=180°，
即∠AHF-y+90°-x=180°，∠AHF=90°+（x+y），
∴∠AHF=90°+12∠AEC．
8．（2022·全国·七年级专题练习）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【解题过程】
解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=50°，
∴∠FAD=∠ADC=50°．
∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，
∴∠EDC=12∠ADC=25°．
∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABE=12∠ABC=20°．
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠BEH=20°，∠CDE=∠DEH=25°，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°．
（3）过点E作EG∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，
∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠CDE=12∠ADC=12m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG=180°﹣∠ABE=180°﹣12n°，∠CDE=∠DEG=12m°，
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°﹣12n°+12m°．
故答案为：180°﹣12n°+12m°．
9．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）如图，已知MN//GH，点A在MN上，点B、C在GH上．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°．点D、E在直线AB上，在△DEF中，∠DFE＝90°，∠EDF＝30°．
（1）图中∠BAN的度数是______°；
（2）将△DEF沿直线AB平移，如图2所示，当点F在MN上时，求∠AFE的度数；
（3）将△DEF沿直线AB平移，当以A、D、F为顶点的三角形中，有两个角相等时，请直接写出∠FAN的度数．
【思路点拨】
（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC=45°，再由两直线平行，内错角相等，得出∠BAN=∠ABC=45°；
（2）先由三角形内角和定理求出∠AFD=180°−∠BAF−∠EDF=105°，则∠AFE=∠AFD−∠DFE；
（3）分∠FAD=∠FDA和∠AFD=∠FDA两种情况讨论．
【解题过程】
（1）解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=180°−90°−45°=45°，
∵MN//GH，
∴∠BAN=∠ABC=45°，
故答案为：45°；
（2）解：由（1）得∠BAN=45°，即∠BAF=45°，
又∵∠EDF＝30°，
∴∠AFD=180°−∠BAF−∠EDF=180°−45°−30°=105°，
∵∠DFE＝90°，
∴∠AFE=∠AFD−∠DFE=105°−90°=15°；
（3）解：当∠FAD=∠FDA时，如图所示，
∵∠EDF＝30°，即∠FDA=30°，
∴∠FAD=∠FDA=30°，
由（1）得∠BAN=45°，
∴∠FAN=∠BAN−∠FAD=45°−30°=15°；
当∠AFD=∠FDA时，如图所示，
∵∠EDF＝30°，即∠FDA=30°，
∴∠AFD=∠FDA=30°，
∴∠FAD=180°−∠FDA−∠AFD=180°−30°−30°=120°，
由（1）得∠BAN=45°，
∴∠FAN=∠FAD−∠BAN=120°−45°=75°；
综上，∠FAN的度数为15°或75°．
10．（2021春·湖北武汉·七年级校联考期中）已知直线a//b，点A，B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b下方，连接AE交直线b于点D．
（1）如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC；
（2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系 ．
【思路点拨】
（1）过点E作EF∥CD．利用平行线的性质解决问题即可．
（2）过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB．设∠BAE＝α，∠DCE＝β．利用平行线的性质以及角平分线定义解决问题即可．
（3）结论：∠AME＝12∠DCE．利用三角形的外角的性质证明即可．
【解题过程】
解：（1）过E作EF//DC，
∵BA//DC
∴EF//DC//AB
∴∠AEF=∠BAE=110°，∠CEF=∠DCE=45°，
∴∠DEC=∠AEF−∠CEF，
=110°−45°，
=65°；
（2）如图所示过M作MF//BA，
过点E作EG//CD，
设∠BAE=α，∠DCE=β，
∵BA//CD，
∴MF//AB//CD//EG，
∴∠BAE=∠AEG=α，
∠DCE=∠CEG=β，
∴∠DEC=α−β，
∵EM平分∠DEC，AM平分∠BAD的邻补角，
∴∠MEC=∠DEC2=α−β2，∠AMF=180°−α2=90°−α2，
∠MEG=β+α−β2=α+β2，
∴∠AME=∠AMF+∠FME，
=90°−α2+α+β2，
=90°+β2，
∴∠AME=90°+∠DCE2，
（3）结论：∠AME＝12∠DCE．
理由：延长EC交AB于T．
设∠BAM＝∠RAM＝y，∠CEM＝∠MED＝x，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠ATE，
∵2y＝2x＋∠ATE，y＝x＋∠AME，
∴∠AME＝12∠ATE＝12∠DCE．
故答案为：∠AME＝12∠DCE．
11．（2021春·河南三门峡·七年级校考期中）如图，AB//CD，C在D的右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE,DE所在直线交于点E，∠ADC=80°．
（1）若∠ABC=50°，求∠BED的度数；
（2）将线段BC沿DC方向平移，使得点B在点A的右侧，其他条件不变，若∠ABC=120°，求∠BED的度数．
【思路点拨】
（1）作EF//AB，如图1，利用角平分线的定义得到∠ABE=25°，∠EDC=40°，利用平行线的性质得到∠BEF=∠ABE=25°，∠FED=∠EDC=40°，从而得到∠BED的度数；
（2）作EF//AB，如图2，利用角平分线的定义得到∠ABE=60°，∠EDC=40°，利用平行线的性质得到∠BEF=120°，∠FED=∠EDC=40°，从而得到∠BED的度数；如图3，利用AB//CD得到∠2=40°，然后根据三角形外角性质可计算出∠BED．
【解题过程】
解：（1）作EF//AB，如图1，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC=25°，∠EDC=12∠ADC=40°，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∵∠BEF=∠ABE=25°，∠FED=∠EDC=40°，
∴∠BED=25°+40°=65°；
（2）作EF//AB，如图2，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC=60°，∠EDC=12∠ADC=40°，
∵AB//CD，
∴EF//CD，
∵∠BEF=180°−∠ABE=120°，∠FED=∠EDC=40°，
∴∠BED=120°+40°=160°．
如图3，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1=12∠ABC=60°，∠EDC=12∠ADC=40°，
∵AB//CD，
∴∠2=40°，
∵∠1=∠BED+∠2，
∴∠BED=60°−40°=20°．
如图4，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=12∠ABC=60°，∠2=12∠ADC=40°，
∵AB//CD，
∴∠1=∠ABE=60°，
∵∠3=∠2=40°，
而∠1=∠BED+∠2，
∴∠BED=60°−40°=20°．
综上所述，∠BED的度数为20°或160°．
12．（2022·全国·七年级专题练习）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE∥AB，连接AE，∠B＝∠E＝75°．
（1）请说明AE∥BC的理由．
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q＝2∠EDQ时，求∠Q的度数．
③在整个运动中，求∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【思路点拨】
（1）根据平行线的性质得到∠BAE+∠E＝180°，等量代换得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到结论；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论；
②过D作DF∥AE交AB于F，根据平行线的性质即可得到结论．
③结合①②即可得在整个运动中，∠E、∠Q、∠EDQ之间的的等量关系．
【解题过程】
（1）解：∵DE∥AB，
∴∠BAE+∠E＝180°，
∵∠B＝∠E，
∴∠BAE+∠B＝180°，
∴AE∥BC；
（2）①如图2，过D作DF∥AE交AB于F，
∵线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，
∴PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠DPQ＝∠FDP，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝180°－∠E＝105°，
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ＝90°，
∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，
∴∠DPQ+∠QDP＝∠FDP＋∠QDP＝∠FDQ＝165°，
∴∠Q＝180°﹣165°＝15°；
②如图3，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠Q−12∠Q＝105°，
∴∠Q＝50°；
如图4，过D作DF∥AE交AB于F，
∵PQ∥AE，
∴DF∥PQ，
∴∠QDF＝180°﹣∠Q，
∵∠Q＝2∠EDQ，
∴∠EDQ=12∠Q，
∵∠E＝75°，
∴∠EDF＝105°，
∴180°﹣∠Q+12∠Q＝105°，
∴∠Q＝150°，
综上所述，∠Q＝50°或150°，
③如图3，∵DF∥AE，DF∥PQ，
∴∠EDG＝∠E，∠GDQ＝∠Q，
∴∠EDQ＝∠EDG－∠GDQ＝∠E－∠Q，
即∠EDQ＝∠E－∠Q；
如图4，∵DF∥AE，DF∥PQ，
∴∠FDE＝180°－∠E，∠FDQ＝180°－∠Q，
∴∠EDQ＝∠FDE－∠FDQ＝∠Q－∠E，
即∠EDQ＝∠Q－∠E；
综上所述，∠EDQ＝∠E﹣∠Q或∠EDQ＝∠Q﹣∠E．
13．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考阶段练习）如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点B，C在直线MN上，连接AB，AC，∠PAB=50°，∠ACB=30°，AD平分∠PAC，BD平分∠ABC，AD与BD相交于点D．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若将图1中的线段AC沿MN向右平移到A1C1，如图2，此时A1D平分∠AA1C1，BD平分∠ABC1，A1D与BD相交于点D，∠PAB=50°，∠A1C1B=30°，求∠A1DB的度数；
（3）若将图1中的线段AC沿MN向左平移到A1C1，如图3，其他条件与（2）相同，求此时∠A1DB的度数．
【思路点拨】
（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠DBA以及∠BAD的度数，进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠BAQ以及∠ABD的度数，进而得出答案；
（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠ABN和∠ABD的度数，进而得出答案．
【解题过程】
解：（1）如图1所示，
∵直线PQ∥MN，∠ACB=30°，
∴∠ACB=∠QAC=30°，
∴∠PAC=150°，
∵∠PAB=50°，AD平分∠PAC，
∴∠PAD=75°，
∴∠BAD=25°，
可得∠PAB=∠ABN=50°，.
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=25°，
∴∠ADB=180°−25°−25°=130°；
（2）如图2所示，
∵∠A1C1B=30°，线段AC沿MN向右平移到A1C1，PQ∥MN，
∴∠QA1C1=30°，
∴∠PA1C1=150°，
∵A1D平分∠AA1C1，
∴∠PA1D=∠DA1C1=75°，
∵∠PAB=50°，PQ∥MN，
∴∠BAQ=130°，∠ABN=50°，
∵BD平分∠ABC1，
∴∠ABD=25°，
∴∠BDA1=360°−25°−130°−75°=130°；
（3）如图3所示，过点D作ED∥PQ，
∵∠A1C1B=30°，线段AC沿MN向左平移到A1C1，PQ∥MN，
∴∠QA1C1=30°，
∵A1D平分∠AA1C1，
∴∠QA1D=∠A1DE=15°，
∵∠PAB=50°，PQ∥MN，
∴∠ABN=50°，
∵BD平分∠ABC1，ED∥MN，
∴∠ABD=∠DBN=∠EDB=25°，
∴∠BDA1=∠EDB+∠A1DE=25°+15°=40°。
14．（2022春·江苏南京·七年级统考期中）如图，已知直线AB//CD，直线EF分别与AB，CD交于O点，G点．P点是直线EF上的一个动点．
（1）如图1，当P运动至AB与CD之间时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N．若∠BMP=15°，则∠PNG=______度．
（2）如图2，当P运动至直线AB上方时，过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M、N．作∠EPM的角平分线并反向延长交AB于点T，交CD于点Q，作∠NPF的角平分线与CD交于点H，若∠PHC=72°，求∠BTQ的度数．
（3）过点P作PM⊥PN分别交AB，CD于M，N，设PN与AB交于点K，点O在M、K之间且MO：MO:KO=3:1，S△POK=8．沿直线EF方向平移直线CD，并保持CD始终在AB下方，使得S△MOG=4．连接MG、MN、KG．在备用图中画出相关图形，并直接写出△MGN的面积．
【思路点拨】
（1）如图1中，作PQ∥AB．根据平行线的判定和性质以及垂线的性质解决问题即可．
（2）如图2中，延长AP到J，设PH交AB于W．证明∠HPQ＝45°，∠PWM＝72°，再利用三角形外角的性质即可解决问题．
（3）想办法求出△NGK的面积，可得结论．
【解题过程】
解：（1）如图1中，作PQ∥AB．
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴PQ∥AB，AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠MPQ＝∠PMB＝15°，∠QPN＝∠PNG，
∵∠QPN＝90°﹣15°＝75°，
∴∠PNG＝75°．
故答案为：75．
（2）如图2中，延长AP到J，设PH交AB于W．
∵AB∥CD，
∴∠BWH＝∠PHC＝72°，
∵PM⊥PN，
∴∠JPN＝90°，
∵RQ平分∠PEM，
∴∠RPE＝∠RPM，
∵∠EPR＝∠FPQ，∠RPM＝∠JPT，
∴∠JPT＝∠QPF，
∵PH平分∠NPH，
∴∠NPH＝∠HPF，
∴∠HPQ＝12∠JPN＝45°，
∵∠PWM＝∠PTW+∠HPQ，
∴∠PTW＝72°﹣45°＝27°，
∴∠BTQ＝∠PTM＝27°．
（3）如图3中，连接KG，ON．
∵MO：KO＝3：1，S△POK＝8，
∴S△POM＝3S△POK＝24，
∵S△MOG＝4，
∴OP：OG＝24：4＝6：1，
∴S△OKG＝16S△POK＝43，
∵OK∥GN，
∴S△OKG＝S△OKN＝43，
∴PK：KN＝S△POK：S△OKN＝6：1，
∴S△KGN＝16S△GKP＝149
∵AB∥CD，
∴S△MNG＝S△GNK＝149．
15．（2022春·广西贵港·七年级统考期末）如图已知∠MON=α0°<α<90°，有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，现将该三角板如图所示放置，使顶点B始终落在ON上，过点A作DA//ON交OM于点E．
（1）如图1，若BC//OM，∠CAD＝40°，请求出α的大小；
（2）若∠BAE的平分线AP交ON于点P：
①如图2，当AP//OM，且α=60°时，请说明：BC//OM；
②如图3，将三角板ABC沿直线ON从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持BC//OM不变，请探究∠OPA与α之间的数量关系，并直接写出你的结论．
【思路点拨】
（1）过C点作CF∥ON，根据平行线的性质可得∠CBN＝∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝50°，即可求解．
（2）①根据平行线的性质可得∠APB＝α＝60°，∠EAP＝∠APB＝60°，由AP平分∠BAE，∠BAE＝2∠EAP＝120°，可得∠ABO＝60°，由直角三角板可得∠ABC＝60°，可得∠CBN＝∠MON，即可得证；②分情况讨论，当A在E点左侧时，当A在E点右侧时，根据始终保持BC//OM不变，结合平行线的性质以及角平分线的定义即可求解．
【解题过程】
解：（1）如图1，过C点作CF∥ON，
∵DA∥ON，∴DA∥CF
∴∠ACF＝∠CAD＝40°
∴∠CBN＝∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝50°
∵BC∥OM，
∴∠MON＝∠CBN＝50°
即α的大小为50°．
（2）①∵AP∥OM，
∴∠APB＝α＝60°
∵DA∥ON，
∴∠EAP＝∠APB＝60°
∵AP平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠EAP＝120°
∴∠ABO＝180°－∠BAE＝60°
∵在三角板ABC中，∠ABC＝60°
∴∠CBN＝180°－∠APB－∠ABC＝60°
∴∠CBN＝∠MON
∴BC∥OM．
②分两种情况：i当A在E点左侧时，∠OPA＝150°－12α；
ii当A在E点右侧时，∠OPA＝60°－12α．
理由如下，
i当A在E点左侧时，如图3所示
∵BC∥OM，DA∥ON
∴∠CBN＝∠MON＝α
∴∠BAE＝∠ABN＝∠CBN＋∠ABC＝α＋60°
∵AP平分∠BAE，∴∠EAP＝12∠BAE＝12(α＋60°)＝12α＋30°
∴∠OPA＝180°－∠EAP＝180°－(12α＋30°)＝150°－12α；
ii当A在E点右侧时，如图4所示
∵BC∥OM，DA∥ON
∴∠CBN＝∠MON＝α
∴∠ABN＝∠CBN＋∠ABC＝α＋60°
∴∠BAE＝180°－∠ABN＝180°－(α＋60°)＝120°－α
∵AP平分∠BAE，
∴∠EAP＝12∠BAE＝12(120°－α)＝60°－12α
∴∠OPA＝∠EAP＝60°－12α．
16．（2021春·江苏·七年级统考期末）如图，直线PQ//MN，一副直角三角板ΔABC,ΔDEF中，∠ACB=∠EDF=90°,∠ABC=∠BAC=45°,∠DFE=30°,∠DEF=60°．
（1）若ΔDEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，证明：FD平分∠EFM．
（2）若ΔABC,ΔDEF如图2摆放时，则∠PDE=
（3）若图2中ΔABC固定，将ΔDEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
（4）若图2中ΔDEF的周长35cm,AF=5cm，现将ΔABC固定，将ΔDEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到ΔD'E'A，点D、E的对应点分别是D'、E'，请直接写出四边形DEAD'的周长．
（5）若图2中ΔDEF固定，（如图4）将ΔABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与ΔDEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．
【思路点拨】
（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，利用平行线性质即可求得答案；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案；
（4）根据平移性质可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再结合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，分三种情况：①当BC∥DE时，②当BC∥EF时，③当BC∥DF时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）如图1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，
∵ED平分∠PEF，
∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，
∵PQ∥MN，
∴∠MFE＝180°−∠PEF＝180°−120°＝60°，
∴∠MFD＝∠MFE−∠DFE＝60°−30°＝30°，
∴∠MFD＝∠DFE，
∴FD平分∠EFM；
（2）如图2，过点E作EK∥MN，
∵∠BAC＝45°，
∴∠KEA＝∠BAC＝45°，
∵PQ∥MN，EK∥MN，
∴PQ∥EK，
∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF−∠KEA，
又∵∠DEF＝60°．
∴∠PDE＝60°−45°＝15°，
故答案为：15°；
（3）如图3，分别过点F、H作FL∥MN，HR∥PQ，
∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，
∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，
∴FL∥PQ∥HR，
∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA，
∵∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H，
∴∠QGH＝12∠FGQ，∠HFA＝12∠GFA，
∵∠DFE＝30°，
∴∠GFA＝180°−∠DFE＝150°，
∴∠HFA＝12∠GFA＝75°，
∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA−∠LFA＝75°−45°＝30°，
∴∠GFL＝∠GFA−∠LFA＝150°−45°＝105°，
∴∠RHG＝∠QGH＝12∠FGQ＝12（180°−105°）＝37.5°，
∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；
（4）如图4，∵将△DEF沿着CA方向平移至点F与A重合，平移后的得到△D′E′A，
∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，
∵DE＋EF＋DF＝35cm，
∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），
即四边形DEAD′的周长为45cm；
（5）设旋转时间为t秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转3°，
分三种情况：BC∥DE时，如图5，此时AC∥DF，
∴∠CAE＝∠DFE＝30°，
∴3t＝30，
解得：t＝10；
BC∥EF时，如图6，
∵BC∥EF，
∴∠BAE＝∠B＝45°，
∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
BC∥DF时，如图7，延长BC交MN于K，延长DF交MN于R，
∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，
∴∠BKA＝∠DRM＝75°，
∵∠ACK＝180°−∠ACB＝90°，
∴∠CAK＝90°−∠BKA＝15°，
∴∠CAE＝180°−∠EAM−∠CAK＝180°−45°−15°＝120°，
∴3t＝120，
解得：t＝40，
综上所述，△ABC绕点A顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段BC与△DEF的一条边平行．