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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质学案,文件包含321《单调性与最大小值一》导学案教师版docx、321《单调性与最大小值一》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源,其中学案共8页, 欢迎下载使用。
一.学习目标
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性(重点)
2.理解单调性的作用和实际意义
3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值,理解它们的作用和意义(难点)
二.自主预习(基础部分和要点部分:预习内容和预习题)
学生阅读课本,预习单调性与最大(小)值
三.课堂导学
德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了有趣的数据.数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图:
问题 (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?
(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释?
知识点一 单调性的定义
提醒 (1)函数的单调递增(单调递减)是针对定义域D内的某个区间I而言的,显然I⊆D;(2)定义中x1,x2有三个特征:①x1,x2属于同一个区间;②任意性,x1与x2不能用I上的特殊值代替;③有序性,通常规定x1<x2.
在单调性的定义中,能否把“∀x1,x2∈I”改为“∃x1,x2∈I”?
提示:不能,如图所示,虽然f(-1)<f(2),但原函数在[-1,2]上不单调.
知识点二 函数的单调区间
如果函数y=f(x)在区间I上 单调递增 或 单调递减 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间I叫做y=f(x)的 单调区间 .
区间I一定是函数的定义域吗?
提示:不一定,可能是定义域的一部分.
1.下列函数中,在区间(0,1)上单调递增的是( )
A.y=|x| B.y=3-x C.y=1x D.y=-x2+4
解析:A 当x∈(0,1)时,y=|x|=x,所以y=|x|在(0,1)上单调递增;y=3-x,y=1x在(0,1)上均单调递减;y=-x2+4的图象是以直线x=0为对称轴开口向下的抛物线,所以y=-x2+4在(0,1)上单调递减.
2.若函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,则有( )
A.a≥12 B.a≤12 C.a>12 D.a<12
解析:D 因为函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,所以2a-1<0,即a<12.
3.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间为 .
解析:易知二次函数f(x)=-x2+2x+3的图象开口向下,其对称轴为直线x=1,所以其单调递减区间是[1,+∞).
答案:[1,+∞)
四.典例分析、举一反三
题型一 函数单调性的判定与证明
【例1】试用函数单调性的定义证明f(x)=2xx-1在区间(1,+∞)上单调递减.
证明 f(x)=2+2x-1,
∀x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2,
则f(x1)-f(x2)=2x1-1-2x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1),
因为x1>x2>1,
所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)<f(x2),
所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
练1-1. 证明函数f(x)=1x2-4在区间(2,+∞)上单调递减.
证明:∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,
f(x1)-f(x2)=1x12-4-1x22-4=x22-x12(x12-4)(x22-4)=(x2-x1)(x2+x1)(x12-4)(x22-4).
因为2<x1<x2,所以x2-x1>0,x12>4,x22>4,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=1x2-4在(2,+∞)上单调递减.
题型二 求函数的单调区间
【例2】 画出函数f(x)=-x2+2|x|的图象,根据图象写出函数f(x)的单调区间.
解 如图所示,由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(0,1),
函数的单调递减区间是(-1,0),(1,+∞).
练2-1. 画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间.
解:y=|x|(x-2)=x2-2x=(x-1)2-1,x≥0,-x2+2x=-(x-1)2+1,x0,2x-3
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