甘肃省庆阳市第二中学2023-2024学年高三上学期第四次月考数学试题

这是一份甘肃省庆阳市第二中学2023-2024学年高三上学期第四次月考数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数，平面向量与复数，三角函数，解三角形，数列。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
3．“”是“a，b，c成等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．已知，若是第二象限角，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
6．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则（ ）
A．B．的图象关于对称
C．D．的图象关于对称
8．已知函数在区间[－100，100]上的最大值为M，最小值为N，则（ ）
A．－2B．－4C．2D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，，，若，则实数m的值可以为（ ）
A．－1B．0C．2D．1
10．在等差数列，其前n项和是，若，，则（ ）
A．数列是递增数列
B．数列的通项公式是
C．当取最小值时，n的值只能是3
D．的最小值是－18
11．已知a，b为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是函数的极值点
B．函数在R上单调递增
C．过原点O仅有一条直线与曲线相切
D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设命题p：，，则命题p的否定为______．
14．函数的值域为______．
15．已知函数的定义域为R，满足，，当时，，则______．
16．已知函数，若对于任意的，恒成立，则实数k的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知等差数列的前n项和为，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若是等比数列，且，，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足．
（1）求角C的大小；
（2）求sinAsinB的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知函数的最小正周期为，其中．
（1）求的值；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的值域．
20．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
（2）若恒成立，求实数a的值．
21．（本小题满分12分）
已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记，的值域分别为集合A，B，设p：，q：，若p是q成立的必要条件，求实数n的取值范围；
（3）设，且在[0，2]上的最小值为－2，求实数k的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若m为函数的正零点，证明：．
庆阳市第二中学2024届高三年级第四次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A因为，，所以．
2．A由，可知复数z在复平面内所对应的点位于第四象限．故选A．
3．C若a，b，c成等比数列，则，若，令，满足，但此时a，b，c不构成等比数列，故选C．
4．B因为，所以，又是第二象限角，所以，所以．故选B．
5．C∵，∴是偶函数，，当时，，，，∴，∴在上单调递增，综上所述．故选C．
6．D由题可知，∵点F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故选D．
7．D平移后得到的函数的图象的解析式为，故选D．
8．B设，有，可得函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，函数的图象相当于函数的图象向下平移两个单位，可得函数的图象关于点（0，－2）对称，由对称性可知．故选B．
9．ABD因为，所以，解得或0或－1．
10．ABD由，可知等差数列为递增数列，A正确；由题设，，B正确；，故当或4时，取最小值且为－18，C错误，D正确．故选ABD．
11．ABC由可知，所以，，A选项正确；等价于，即，B选项正确；（当且仅当，时或，时取“＝”），C选项正确；，令，有，可知的减区间为（0，2），增区间为，有．故，D选项错误．故选ABC．
12．BCD由，可得函数单调递增，此时不是极值点，可得选项A错误，选项B正确；对于选项C，设切点P的坐标为，过P的切线方程为，代入原点的坐标有整理为，令，有，当时，；当时，，有，可得函数单调递增，又由，，可得函数在区间（0，2）内有且仅有一个零点，故过原点O仅有一条直线与曲线相切，选项C正确；对于D选项，若，有，由函数单调递增，有，，令，有．令，有（当且仅当时取等号）可得函数单调递增，又由，可得函数的减区间为，增区间为可得，故成立，选项D正确．故选BCD．
13．，因为命题p：，是特称量词命题，所以其否定是全程量词命题，即为，．
14．因为，所以函数的值域为．
15．－1∵，∴，，∵，∴，．
16．不等式可化为，有，令，有，可得函数的增区间为，减区间为（0，1），有，可得．
17．解：（1）∵，，∴
即解得首项，．
∴数列的通项公式，．
（2）∵，，∴公比，
．
∴数列的前n项和．
18．解：（1）由题意可知．所以．
因为，所以；
（2）由已知．
因为，所以，
所以当，即时，取最大值，所以的最大值是．
19．解：（1）由函数的最小正周期为，有，可得，
（2）由（1）可知，
当时，有，，
当时，可得，
故当时，函数的减区间为，增区间为．s分
（3）当时，有，，
可得，有，
故函数在区间上的值域为．
20．解：（1）依题意可知，，即在上恒成立．
设，，则在（0，1）上单调递增，在上单调递减，
故，因此；
（2）设，注意，即，因此为最大值．
由，．
下证明当时，恒有，
注意到，，
由（1）可知，
因此．
当时，，当时，，
因此，，故，故单调递减，而，
因此时，，单调递增，当时，，单调递减．
即，证毕．
21．解：（1）由幂函数的定义得或，
当时，在上单调递增，符合题意；
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去．
综上可知：；
（2）由（1）得，
当时，，即；
当时，，即，
由命题p是q成立的必要条件，则，显然，则即
所以实数n的取值范围为；
（3）根据题意得，的对称轴为，
当时，即，，得（舍），，
当时，即，，得，（舍），
当，即时，，得（舍）．
综上所述，或．
22．（1）解：函数的定义域为．
，
①当即时，，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
②当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为，；
③当时，由，，可得函数的减区间为，增区间为；
（2）证明：当时，由及函数的减区间为，增区间为，可知等价于．
又由，等价于证明，
又由，
令，有，
可得
，
令，有，
可得函数单调递减，有，可得当时，．
故有，可得得证．