内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试理科数学试题（二）

这是一份内蒙古自治区包头市2024届高三下学期适应性考试理科数学试题（二），共15页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回，已知全集，集合，则，若实数满足约束条件则的最大值是等内容，欢迎下载使用。
理科数学
注意事项：
1考生答卷前，务必将自己的姓名､座位号写在答题卡上，将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上的答案无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上的答案无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
4.如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.若实数满足约束条件则的最大值是（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
6.德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷•布拉赫等人的观测资料和星表，通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长与公转周期有如下关系：，其中为太阳质量，为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的（ ）
A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍
7.某单位共有两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设两部门的服务满意度得分的中位数分别为，方差分别为，则（ ）
A. B.
C. D.
8.筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声”如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为.在筒车转动的一圈内，盛水筒距离水面的高度不低于的时间为（ ）
A.9秒 B.12秒 C.15秒 D.20秒
9.已知某圆锥的母线长为，底面积为，记该圆锥的体积为，若用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，且截去一个体积为的小圆锥，则剩余几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10.已知点是是所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
11.已知抛物线的焦点为为坐标原点，倾斜角为的直线过点且与交于，两点，若的面积为，则（ ）
A.
B.
C.以为直径的圆与轴仅有1个交点
D.或
12.函数且的零点个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.将指定的6名学生随机分配到3个不同的校办公室打扫卫生，要求每个办公室分配2人，则恰好甲､乙两人打扫同一个办公室的概率为__________.
14.已知数列的前项和，当取最小值时，__________.
15.已知双曲线的左､右焦点分别为，记以为直径的圆与的渐近线在第一象限交于点，点为线段与的交点，为坐标原点，且，则的离心率为__________.
16.已知函数.有下列结论：
①若函数有零点，则的取值范围是；
②函数的零点个数可能为；
③若函数有四个零点，则，且；
④若函数有四个零点，且成等差数列，则为定值，且.
其中所有正确结论的编号为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（12分）
记的内角的对边分别为的面积为.已知.
（1）求；
（2）若点在边上，且，求的周长.
18.（12分）
如图，在平行六面体中，在线段上，且分别为线段，的中点，且底面为正方形.
（1）求证：平面平面；
（2）若与底面不垂直，直线与平面所成角为，且，求点到平面的距离.
19.（12分）
红旗淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据：
（1）用模拟生产食品淀粉年收益与年投入资金的关系，求出回归方程；
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出一种药用淀粉，预计其收益为投入的
年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉，求年收益的最大值.（精确到0.1万元）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
②
③
20.（12分）
已知函数.
（1）判断的零点个数并说明理由；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
21.（12分）
已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且，
（1）求的方程；
（2）为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点，
①证明：直线的斜率成等差数列；
②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.若为曲线上任意一点，将逆时针旋转得到，求线段中点的轨迹的极坐标方程.
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，不等式的解集为.
（1）求实数的值；
（2）函数的最小值为，若正实数满足，求的最小值.
高三理科数学预测卷（2）
参考答案
一､选择题：
1.B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.B 11.C 12.B
二､填空题：
13. 14.3 15. 16.②③④
三､解答题：
17.解：（1）由，则，
又，故.
（2）由（1）可知，，又，则；
由题可知，，
故，
所以，
因为，所以，
在中，，
故的周长为.
18.解：（1）因为为中点，
所以，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，
又，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍），，
所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为，
19解：（1）
回归方程为：
（2）2024年设该企业投入食品淀粉生产万元，预计收益（万元）
，得
其在上递增，上递减
20.解：（1）.
当时，.
函数在上单调递增；
当时，；
当时，.
在上有且仅有一个零点；
（2）
.
设.
①当时，由，不合题意，
当时，不合题意.
②当时，由①在上单调递增.
又在上恒成立.
.
设.
.
在上恒成立，在上单调递减.
又在上恒成立.
.满足题意.
综上，的取值范围为
21.解：（1）由右焦点为，得，
因为，所以，
若，则，得，无解，
若，则，得，所以，因此的方程.
（2）设，易知过且与相切的直线斜率存在，
设为，
联立，消去得，
由，得，
设两条切线的斜率分别为，则
①设的斜率为，则，因为，所以的斜率成等差数列，
②法1：在中，令，得，所以，
同理，得，所以的中垂线为，
易得中点为，所以的中垂线为，
联立，解得，
所以，
要使，即，整理得，
而，
所以，解得，因此，
故存在符合题意的点，使得，此时.
法2：在中，令，得，因此，
同理可得，所以的中垂线为，
因为中点为，所以的中垂线为，
联立，解得，
要使，则，所以，即，
而，
所以，解得，因此，
故存在符合题意的点，使得，此时
法3：要使，即或，
从而，又，所以，
因为，
所以，解得，所以，
故存在符合题意的点，使得，此时.
法4：要使，即或，
从而，
在中，令，得，故，
同理可得，
因此，
所以，
故，即，
整理得，
所以，整理得，解得或-9（舍去），
因此，
故存在符合题意的点，使得，此时.
法5：要使，即或，
在中，令，得，故，
同理可得，
由等面积法得
即，整理得，
所以，整理得，解得或-9（舍去），
因此，
故存在符合题意的点，使得，此时.
22.解：（1）解：曲线的参数方程为（为参数）可得，
平方相加，可得，
所以曲线的普通方程为.
（2）解：曲线的极坐标方程为.
设，
因为，可得，
所以，
所以点的轨迹的极坐标方程为.
23.解：（1），易知，
.
的解集为，
，解得
（2）由（1）得，
的最小值为1，即
，
当且仅当时，等号成立.
的最小值为4.10
20
30
40
50
60
70
80
12.8
16.5
19
20.9
21.5
21.9
23
25.4
161
29
20400
109
603