山东省智慧上进2024届高三下学期5月大联考数学试题

这是一份山东省智慧上进2024届高三下学期5月大联考数学试题，共5页。试卷主要包含了设等比数列的前n项和为，，，则，已知圆O，若，且，则，已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．固定资产投资是以货币形式表现的、企业在一定时期内完成的建造和购置固定资产的工作量以及与此有关的费用．我国2022年9月—2023年9月固定资产投资（不含农户）环比增速折线图如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的极差为2.75%
B．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的平均数为正数
C．这13个月中，我国固定资产投资（不含农户）环比增速的75%分位数为0.20%
D．2022年9月—12月我国固定资产投资（不含农户）环比增速的波动幅度比2023年4月—7月的波动幅度大
4．设等比数列的前n项和为，，，则（ ）
A．3 B．－3 C．2 D．－2
5．2023年中国新能源汽车备受消费者关注，已知甲、乙、丙3人准备每人购买一辆新能源汽车，若有A，B，C，D，E共5个新能源汽车品牌可选择，其中甲、乙都不选A品牌，乙、丙不选同一个品牌，则不同的选择方法种数有（ ）
A．20 B．48 C．64 D．80
6．已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆O：，点P在椭圆C：运动，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形ABCD，且，，现将沿AC折起，使得点D到达点P处，且二面角的大小为60°，连接BP，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题且要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，且，则（ ）
A．
B．
C．在上单调递减
D．当取得最大值时，
10．已知，，，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为8
C．的最小值为D．的最小值为
11．已知定义域为R的函数满足，，且为奇函数，则（ ）
A．B．函数的一个周期为4
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．陶瓷茶壶是中国人很喜爱的一种茶具，不少陶瓷茶壶兼具实用性与艺术性，如图所示的陶瓷茶壶的主体可近似看作一个圆台型容器，忽略茶壶的壁厚，该圆台型容器的轴截面下底为10cm，上底为6cm，面积为，则该茶壶的容积约为______L（结果精确到0.1，参考数据：；）．
13．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则______．
14．在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，M是C的右支上一点，直线l与C相切于点M．由点出发的入射光线碰到点M后反射光线为MQ，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交x轴于点N，此时直线l起到了反射镜的作用．若，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在正四棱锥中，，AC与BD交于点O，，P为CE的中点．
（1）证明：平面PBD；
（2）DP与平面ABP所成角的正弦值．
16．（15分）俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体或场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）．
（1）若至少有5%的把握认为是否及格与试卷难度无关，求a的最小值；
（2）在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
17．（15分）已知抛物线C：，直线经过点，且与C在第一象限内相切于点P．
（1）记C的焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，求的面积；
（2）已知斜率为的直线交C于A，B两点（异于点P），若在x轴上存在点，使得点M到直线PA，PB的距离都为，求出m的值及直线的方程
18．（17分）已知函数，其中．
（1）当时，判断的单调性；
（2）若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．
19．（17分）法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，将其推广到高次方程，并在其著作《论方程的识别与订正》中正式发表，后来人们把这个关系称为韦达定理，即如果是关于x的实系数一元n次方程在复数集C内的n个根，则
试运用韦达定理解决下列问题：
（1）已知，，，求的最小值；
（2）已知，关于x的方程有三个实数根，其中至少有一个实效根在区间内，求的最大值．
不及格
及格
A卷
a
B卷
20
20
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828