安徽省合肥市2024届高三下学期适应性联考（三模）数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市2024届高三下学期适应性联考（三模）数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合，，则( )
A.B.C.D.
2．已知，则( )
A.B.C.D.
3．已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为8的半圆，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
4．为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从，据此估计测试成绩不小于94的学生所占的百分比为( )
参考数据：，，
A.B.C.D.
5．某银行大额存款的年利率为，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算8年后他能得到的本利和约为( )（单位：万元，结果保留一位小数）
A.12.6B.12.7C.12.8D.12.9
6．已知定义在R上的偶函数满足且，则( )
A.4049B.2025C.4048D.2024
7．已知双曲线的右焦点为F，圆与C的渐近线在第二象限的交点为P，若，则C的离心率为( )
A.2B.C.3D.
8．如图，正四面体ABCD的棱长为2，是以E为直角顶点的等腰直角三角形.现以AD为轴，点E绕AD旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线CE与平面BCD所成角为，则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知，是函数的两个零点，且的最小值是，则( )
A.在上单调递增
B.的图象关于直线对称
C.的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
D.在上仅有1个零点
10．已知实数a，b满足，则( )
A.B.C.D.
11．椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A.过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8
B.若C上存在点P，使得，则m的取值范围为
C.若直线与C恒有公共点，则m的取值范围为
D.若，P为C上一点，，则的最小值为
三、填空题
12．已知，，则______.
13．中，若，则______.
14．若对，恒成立，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
15．设数列的前n项和为，已知，是公差为2的等差数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，设数列的前n项和，求证：.
16．在平时的日常生活中游泳对锻炼身体有很多的好处，大致有以下几个方面：
一、游泳可以让身体更加苗条，达到减肥的效果；
二、游泳能够增加人体的肺活量，提高人体的呼吸系统能力，也可以预防心脑血管系统疾病，包括冠心病、不稳定型心绞痛以及脑血栓等疾病；
三、游泳可以保护关节，让关节避免受到损伤.
下面抽取了不同性别的高中生共100人，并统计了他们游泳的水平如下表：
（1）根据此表依据的独立性检验判断：是否可以认为高中生游泳水平与性别有关?
（2）游泳教练从成绩不合格的高中生中抽取了2名女生和1名男生进行游泳示范指导.已知经过一段时间指导后，女生成绩合格的概率为，男生合格的概率为，求这3人经过指导后成绩合格总人数X的分布列和数学期望.
参考公式：①相关性检验的临界值表：
②，其中.
17．如图，在矩形纸片ABCD中，，，沿AC将折起，使点D到达点P的位置，点P在平面ABC的射影H落在边AB上.
（1）求AH的长度；
（2）若M是棱PC上的一个动点，是否存在点M，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为?若存在，求出CM的长；若不存在，说明理由.
18．已知平面上一动点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，记动点P的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知直线与曲线交于M，N两点，T是线段MN的中点，点A在直线上，且AT垂直于x轴.设点B在抛物线上，BP，BQ是的两条切线，P，Q是切点.若，且A，B位于y轴两侧，求的值.
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，函数在区间内有唯一的极值点.
①求实数a的取值范围；
②求证：在区间内有唯一的零点，且.
参考答案
1．答案：B
解析：，，所以.故选B.
2．答案：D
解析：设，则，因为，所以，即，所以解得所以.故选D.
3．答案：D
解析：设圆锥的底面圆半径为r，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得，则圆锥的高，所以该圆锥的体积为.故选D.
4．答案：A
解析：依题意，，，所以测试成绩不小于94的学生所占的百分比为.故选A.
5．答案：B
解析：存入大额存款10万元，按照复利计算，可得每年末本利和是以10为首项，为公比的等比数列，所以本利和.故选B.
6．答案：A
解析：由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，4为的一个周期，.故选A.
7．答案：C
解析：如图，根据题意可得，所以，，又，且显然为锐角，所以，，，在中，由正弦定理可得，即，化简得，所以C的离心率为.故选C.
8．答案：D
解析：在正四面体ABCD中，取BC的中点F，连接DF，AF，则，取AD的中点M，连接FM，EM，则，是以E为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体ABCD的棱长为2，则，且.点E绕AD旋转一周，形成的图形为以M为圆心，以1为半径的圆，设该圆与MF的交点为，当三棱锥的体积最小时，即E点到底面BCD的距离最小，即此时E点即位于处.因为，则，，设点在底面BCD上的射影为H，则，又，BC的中点为F，故，故，由于点在底面BCD上的射影为H，故即为直线与平面BCD所成角，故.故选D.
9．答案：ABD
解析：由题意可知，函数的最小正周期，，.对于A，当时，，在上单调递增，故A正确；对于B，，的图象关于直线对称，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，当时，，仅当，即时，，故D正确.故选ABD.
10．答案：BCD
解析：对于A，，故A错误；
对于B，，则，故B正确；
对于C，令，，当时，，单调递增，因为，则，得，即，，所以，故C正确；
对于D，函数在R上单调递增，因为，则，即，所以，故D正确.故选BCD.
11．答案：BD
解析：对于A，由椭圆定义可得的周长为，但焦点不一定在x轴上，故A错误；
对于B，若，则，当P位于短轴顶点时，最大，此时，即.当时，由，解得；当时，由，解得，故B正确；
对于C，直线过定点，所以，即，又，所以m的取值范围为，故C错误；
对于D，设，所以，当时，，故D正确.故选BD.
12．答案：
解析：由，得，整理得，解得（舍）或，所以.
13．答案：
解析：由得，即，，所以.由得，即.设D为线段上靠近A的四等分点，则.设，则，，所以，，所以
14．答案：
解析：可变形为，即，所以，即，由，得，即.构造函数，则，且原不等式等价于，当时，原不等式显然成立；当时，因为在上单调递增，所以，解得.令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，从而是的极小值，也是的最小值，且，于是，故a的取值范围为.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为，所以，所以，即，当时，，又适合上式，所以.
（2）证明：，故而关于n单调递增，所以，又，所以，所以.
16．答案：（1）高中生游泳水平与性别有关
（2）分布列见解析，
解析：（1）完成表格如下：
零假设：高中生游泳水平与性别无关，
，依据的独立性检验，我们有充分的理由认为不成立，即高中生游泳水平与性别有关.
（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
数学期望.
17．答案：（1）1
（2）
解析：（1）作，垂足为E，连接EH，如图所示：
由点P在平面ABC的射影H落在边AB上可得平面ABC，
又平面ABC，所以，因为，且，平面PHE，
所以平面PHE，又平面PHE，所以，
又因为ABCD为矩形，，可得.
由，，可得，，，
所以，.
由可得，则，
即AH的长度为1.
（2）根据题意，以点H为坐标原点，以过点H且平行于BC的直线为y轴，分别以HB，HP所在直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，设，，
所以，所以.
易知，，，，
设平面AMB的一个法向量为，则
由取，则.
设平面PBC的一个法向量为，则
由取，则.
由，整理可得，
解得（舍）或，因此，即.
所以存在点M，使得平面AMB与平面PBC夹角的余弦值为，此时CM的长度为.
18．答案：（1）
（2）1
解析：（1）因为点P到定点的距离比到定直线的距离小2023，
所以点P到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义可知，点P的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的抛物线，
所以的方程为.
（2）设，，联立消去y得，，
则，，
所以，，
所以，则.
因为，所以直线AB的方程为，即，
联立消去y得，解得或，
又A，B位于y轴两侧，故.
设点在抛物线上，又由，得，
则在点处的切线方程为，
整理得，设，，则在与处的切线方程分别为与，
又两条切线都过点B，则，，
则直线PQ的方程为，
即，又，点T的坐标适合方程，所以点T在直线PQ上.
由T是线段MN的中点，得，
而，
则.
联立消去y得，，
则，，
.
所以.
19．答案：（1）
（2）①；②证明见解析
解析：（1）当时，，则，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为.
（2）①函数，，
（ⅰ）当，时，，，所以，
则在上单调递增，没有极值点，不合题意；
（ⅱ）当时，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增，
又，，所以在上有唯一零点，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以函数在区间内有唯一极值.点，符合题意.
综上，a的取值范围是.
②证明：由①知，当时，，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以时，，则，又因为，
所以在上有唯一零点，即在上有唯一零点.
由①知，所以，
则
，.
设，，则，
因为，，所以，
在上单调递增，又，所以，又时，，所以，所以.
由前面讨论知，，在单调递增，所以.
合格
不合格
合计
男性
10
50
女性
20
合计
70
100
0.10
0.05
0.10
2.706
3.841
6.635
合格
不合格
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
X
0
1
2
3
P