四川省宜宾市2024届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷(含答案)

这是一份四川省宜宾市2024届高三下学期第二次诊断性考试文科数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．盒中有3个大小质地完全相同的球,其中1个白球、2个红球,从中不放回地依次随机摸出2个球,则两次都摸出红球的概率为( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,向量满足,,则( )
A.B.C.D.
5．已知,,,则( )
A.B.C.D.
6．根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型,其中y(单位：万辆)为第x年底新能源汽车的保有量,p为年增长率,N为饱和度,为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为,饱和度为1300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为( )(结果四舍五入保留整数,参考数据：,)
A.65万辆B.64万辆C.63万辆D.62万辆
7．已知点P是直线上一动点,过点P作圆的一条切线,切点为A,则线段长度的最小值为( )
A.B.C.D.1
8．若,则( )
A.B.C.D.
9．已知三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥中最长棱的长度为( )
A.4B.C.D.
10．在数列中,已知,,且满足,则数列的前2024项的和为( )
A.3B.2C.1D.0
11．设,是双曲线,的左、右焦点,O是坐标原点,P是渐近线上位于第二象限的点,若,,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.2D.3
12．已知不等式有解,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知复数(i为虚数单位),则______.
14．数列中,是数列的前n项和,已知,,数列为等差数列,则______.
15．所有棱长均为6的三棱锥,其外接球和内切球球面上各有一个动点M,N,则线段长度的最大值为______.
16．已知F为抛物线的焦点,过直线上的动点M作抛物线的切线,切点分别是P,Q,则直线过定点______.
三、解答题
17．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
(1)求角A的大小；
(2)若,,求的值.
18．如图,在四棱锥中,平面,,,,E是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
19．某企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新产品进行合理定价,该企业将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示：
(1)若变量x,y具有线性相关关系,求产品销量y(百件)关于试销单价x(千元)的线性回归方程；
(2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“精准销售”.现从5个销售数据中任取2个,求“精准销售”至少有1个的概率.
参考数据：.
参考公式：线性回归方程中,的估计值分别为.
20．已知椭圆的上下顶点分别为,,左右顶点分别为,,四边形的面积为,若椭圆C上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与C交于P,Q(异于,)两点,设直线与直线交于点M,证明：点M在定直线上.
21．已知函数,.
(1)若是R上的单调递增函数,求a的取值范围；
(2)当时,对恒成立,求b的取值范围.
22．在平面直角坐标系中,点P是曲线(t为参数)上的动点,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点O为中心,将线段逆时针旋转得到,设点Q的轨迹为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程；
(2)在极坐标系中,点M的坐标为,射线与曲线,分别交于A,B两点,求的面积.
23．已知定义在R上的函数.
(1)若对任意,不等式恒成立,求实数m的取值范围；
(2)若的最小值为n,设,满足,求证：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为集合,,
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：根据全称量词命题的否定有：命题“,”的否定是：,.
故选：C.
3．答案：A
解析：记1个白球为A,2个红球分别为a、b,
现从中不放回地依次随机摸出2个球,则可能结果有、、、、、共6个,
其中两次都摸出红球的有、,
所以所求概率.
故选：A.
4．答案：C
解析：设,则,
由,得,
又,得,即,
联立,解得.
.
故选：C.
5．答案：A
解析：,,,
又,,且,
所以,即,
所以.
故选：A.
6．答案：B
解析：根据题中所给模型,代入有关数据,注意以2023年的为初始值,
则2033年底该省新能源汽车的保有量为,
因为,所以,
所以,
所以2033年底该市新能源汽车的保有量约为64万辆.
故选：B.
7．答案：D
解析：圆的圆心,半径,
由题意可得,
则,
则当取得最小值时,线段长度的最小,
,
所以.
故选：D.
8．答案：D
解析：因为,
所以
.
故选：D.
9．答案：C
解析：根据几何体的三视图,将几何体还原成直观图如图：
根据已知条件有,,平面；过C作的垂线垂足为D,
,,在中,有,,
,所以；在中,,
,,所以；因为平面,
平面,所以,同理；在中,,
,,所以；在中,,
,,所以；
综上所述,三棱锥中最长棱的长度为.
故选：C.
10．答案：A
解析：由题意得,用替换式子中的n,得,
两式相加可得,即,所以数列是以6为周期的周期数列.
又,,,,,.
所以数列的前2024项和.
故选：A.
11．答案：D
解析：如图,根据题意可得,
,,
又,,
,
,
在中,由正弦定理可得,,
即,化简得,
.
故选：D.
12．答案：A
解析：不等式有解,即,,只需要,
令,
,,
令,,
,所以函数在上单调递增,
又,,所以存在,使得,即,
,,即；,,即,
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
,又由,可得,
.
.
故选：A.
13．答案：1
解析：因为,
所以.
故答案为：1.
14．答案：57
解析：令,,,,,
又数列为等差数列,所以公差,
,即,
,
.
故答案为：57.
15．答案：
解析：由正四面体的棱长为6,则其外接球和内切球的球心重合且在正四面体的内部,
设球心为O,如图,连接并延长交底面于H,
则平面,且H为底面的中心,
所以,
在中,可求得,
设外接球半径为R,内切球半径为r,
则,
解得,,
所以线段长度的最大值为.
故答案为：.
16．答案：
解析：设,,,
由,得,则,
则抛物线C在点P处得切线方程为,
即,
又,所以,
又因为点在切线上,所以,①
同理可得,②
由①②可得直线的方程为,
所以直线过定点.
故答案为：.
17．答案：(1)
(2)3
解析：(1)因为,
所以由正弦定理得,,
所以,
因为,所以,
因为,所以
(2)因为,,,
所以由余弦定理得,
所以,解得.
18．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)因为,E是的中点,所以,
又平面,平面,
,又,平面,
平面,平面,
,平面,
平面.
(2)根据题意,得,
又,平面,平面,
所以平面,
所以点C到平面的距离等于点D到平面的距离,
又,又平面,,
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意,,,,
结合参数数据得,,
所以线性回归方程为.
(2)当时,,,则,所以为一个精准销售,
当时,,,则,所以为一个精准销售,
当时,,,则,所以为一个精准销售,
当时,,,则,所以不是一个精准销售,
当时,,,则,所以不是一个精准销售.
记三个精准销售为A,B,C,两个非精准销售为m,n,
则从5个销售数据中任选2个,对应的基本事件有：
,,,,,,,,,,
其中满足要求的共有9个,
所以“精准销售”至少有1个的概率为.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)设右焦点坐标为,椭圆C上的一点,则,
故,即,
则到右焦点的距离
,
因为,所以,,
故,
即椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为,最小值为,
故,解得,
又四边形的面积为,
故,所以,
椭圆方程为；
(2)当过点且斜率不存在时,直线l方程为,
中,令得,,
不妨设,,
直线,即,
同理可得,
联立,得,,故点M在直线上,
当过点的直线斜率存在且不为0时,设直线l方程设为,
联立得,
设,,则,,
两式相除得,
直线,直线,
联立,得,,
故,
解得,
将代入上式中,得,
要想恒成立,则,
故点M在定直线上,
综上,点M在定直线上.
21．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,,所以,
若是R上的单调递增函数,则在R上有恒成立,
即,所以有,令,
根据指数函数的性质有：,则,
所以,所以,
综上,a的取值范围为.
(2)当时,令,
对恒成立,即对恒成立,
,
当时,对恒成立,即对恒成立；
当时,令,,
因为是关于k的单调递增函数,令,解得,
,,,
此时,不恒成立,即不恒成立；
综上,b的取值范围为.
22．答案：(1)曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为
(2)
解析：(1)将曲线(t为参数)转化为直角坐标方程,
得,
又,所以,
整理得,即曲线的极坐标方程为,
以极点O为中心,将线段逆时针旋转得到,
设Q点的极坐标为,则P点的极坐标为,
又点P在曲线上,所以
即曲线的极坐标方程为；
(2)由题意点M到射线的距离,
联立,解得,
联立,解得,
故,
所以的面积为.
23．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1),
当且仅当,即时取等号,
所以,
因为对任意,不等式恒成立,
所以,
则或或,
解得或或,
所以实数m的取值范围为；
(2)由(1)可得,所以,
则,
由柯西不等式可得,
即,
所以,
当且仅当时取等号.
单价x(千元)
4
5
6
7
8
销量y(百件)
67
64
61
58
50