北京市通州区潞河中学2023-2024学年高三下学期第三次模拟数学试卷

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二．填空：11、 ； 12、； 13、18； 14、 ； 15、①④
9.【解】函数的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以.故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位，得到，
是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误.
故选：C.
10.【详解】设，则
，
即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，
又，
即.
故选：B.
14. 【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为．作出与在上的图象如图所示：
当，时，，此时，此时，因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知
15. 【解析】①：，，恒成立，正确
②、④：，，故④正确
③：，，当时，
存在且无故C为假命题，选C
16.【解】（1）在中，由正弦定理得：， 1分
因为，所以， 2分
可得， 3分
即，， 4分
又，可得； 5分
（2）在中，由余弦定理得：， 6分
由，以及，可得， 7分
因为，所以A是锐角，所以， 8分
因此， 9分
， 10分
所以，， 12分
综上，，. 13分
17. 【解】（1）在中，由余弦定理得
， …………… 2 分
所以，所以， ………… 3 分
又，，面，面，
所以平面， ……………… 4 分
又平面，所以平面平面. ………… 5 分
（2）以为原点，，所在直线为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，设，其中，
由，得，
所以，，即， ………… 7分
所以，.
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，所以. …………… 9分
又平面的法向量为，
设二面角的大小为， …………… 10分
因为为锐角，所以， …………12分
所以，二面角的平面角的余弦值为 ………………13分
18.【解】(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
,,
,，
X的分布列为：
故X的数学期望； 8分
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为：,或,或. 9分
经计算,,， 10分
所以P(a≤X≤b)的最大值为. 11分
(Ⅲ)至少增加2人. 14分
19.解：（Ⅰ）
因为,
所以，…………………………….1分
当时，.…………………………….2分
令，得，…………………………….3分
所以随的变化情况如下表：
…………………………….6分
所以在处取得极大值，
在处取得极小值.…………………………….7分
函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.…………………………….8分
（Ⅱ）证明：
不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，
即函数在区间上的最大值小于等于1.
因为，
令，得.…………………………….9分
因为时，所以.
当时，对成立，函数在区间上单调递减，……………………….10分
所以函数在区间上的最大值为,
所以不等式在区间上无解；…………………………….11分
当时，随的变化情况如下表：
所以函数在区间上的最大值为或.……………………………….13分
此时,，
所以
14分.
综上，当时，关于的不等式在区间上无解.…………………………….15分
20. 【详解】（1）由题意，，则为、的中点，
所以，， 1分
，，即， 2分
， 3分
所以椭圆的标准方程为. 4分
（2）法一：设直线的方程为，
与椭圆的方程联立，，整理得， 6分
，
， 7分
直线与相交于点，令， 8分
所以直线的斜率为， 9分
直线的方程为， 10分
令，， 11分
因为 12分
==
==， 13分
所以，
所以，
所以，解得或，
所以的值为或. 15分
（2）法二：设直线的方程为，
与椭圆的方程联立，，整理得， 6分
，
所以， 7分
直线与相交于点，令， 8分
所以直线的斜率为， 9分
直线的方程为， 10分
令，， 11分
由， 12分
又，
，
， 13分
即，
所以，
所以， 14分
所以，解得或，
所以的值为或 15分
21.解：
(1)存在，比如1，2，4，8，16为16的所有约数. …………………….3分
(2)易知 …………………….4分
，依题意可知 …………………….5分
，化简可得 …………………….7分
因此可知是完全平方数，
由于是整数a的最小非1因子，所以 …………………….8分
所以a2-a1，a3-a2，…ak-ak-1为，，，
因此 .…………………….9分
(3)假设a1，a1+a2，a2+a3，…，ak-1+ak是否是另一个正整数b的所有正约数的一个排列.
， …………………….10分
易知，而，故
又知，所以b是奇数.
所以为奇数，又，故是偶数 . …………………….11分
其中A中最大的两个元素为，显然B中每个元素都不超过，
特别地， …………………….13分
设，其中(因为a有k(k≥3)个正约数，)
于是B中存在两个元素，它们都大于，进而都大于
且都是b的约数.
这表明b可以被2整除，与b为奇数矛盾. …………………….15分
因此假设不成立.
X
9
12
15
18
24
P
极大值
极小值
↘
极小值
↗