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    2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析)
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    2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析)

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    这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第一章1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件(学生版+解析),共15页。试卷主要包含了理解命题的概念等内容,欢迎下载使用。


    知识梳理
    1.命题
    用语言、符号或式子表达的,可以____________的陈述句叫做命题,其中________________的语句叫做真命题,________________的语句叫做假命题.
    2.四种命题及其相互关系
    (1)四种命题间的相互关系
    (2)四种命题的真假关系
    ①两个命题互为逆否命题,它们具有________的真假性.
    ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性________________.
    3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
    常用结论
    充分、必要条件与对应集合之间的关系
    设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
    ①若p是q的充分条件,则A⊆B;
    ②若p是q的充分不必要条件,则AB;
    ③若p是q的必要不充分条件,则BA;
    ④若p是q的充要条件,则A=B.
    思考辨析
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)“x2-2x-3>0”是命题.( )
    (2)已知集合A,B,A∩B=A∪B的充要条件是A=B.( )
    (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )
    (4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.( )
    教材改编题
    1.“x2-x<0”是“x<1”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    2.命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是____________________________.
    3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________.
    题型一 命题及其关系
    例1 (1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是( )
    ①命题“若x>1,则x2>1”的否命题;
    ②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题;
    ③命题“全等三角形面积相等”的否命题;
    ④命题“若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线”的逆命题.
    A.1 B.2 C.3 D.4
    听课记录:___________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________________
    (2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点,则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=________.
    听课记录:___________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________________
    思维升华 判断命题真假的策略
    (1)判断一个命题为真命题,需要推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.
    (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
    跟踪训练1 (1)(2022·拉萨模拟)命题“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的逆否命题是( )
    A.若x,y都是偶数,则x+y是奇数
    B.若x,y都不是奇数,则x+y不是偶数
    C.若x+y不是偶数,则x,y都不是奇数
    D.若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数
    (2)命题p:若m≤a-2,则m<-1.若p的逆否命题为真命题,则a的取值范围是________.
    题型二 充分、必要条件的判定
    例2 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的( )
    A.充要条件
    B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件
    D.既不充分也不必要条件
    听课记录:___________________________________________________________________
    _____________________________________________________________________________
    (2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则( )
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    听课记录:___________________________________________________________________
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    思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
    (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
    (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
    跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟) “a·b=|a||b|”是“a与b共线”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    (2)(2022·聊城模拟)使|x+1|>2成立的一个必要不充分条件是( )
    A.x<-3 B.x>0
    C.x<-3或x>1 D.x<-3或x>0
    题型三 充分、必要条件的应用
    例3 在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分条件;③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.
    问题:已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|(x+1)(x-3)<0}.
    (1)当a=2时,求A∩B;
    (2)若________,求实数a的取值范围.
    注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
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    思维升华 求参数问题的解题策略
    (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
    (2)要注意区间端点值的检验.
    跟踪训练3 (2023·宜昌模拟)已知集合A={x|-2(1)若m=2,求集合A∩B;
    (2)已知p:x∈A,q:x∈B,是否存在实数m,使p是q的必要不充分条件,若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
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    ________________________________________________________________________若p⇒q,则p是q的__________条件,q是p的__________条件
    p是q的____________条件
    p⇒q且q⇏p
    p是q的必要不充分条件
    p是q的充要条件
    p是q的________________条件
    p⇏q且q⇏p
    §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件
    考试要求 1.理解命题的概念.2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
    知识梳理
    1.命题
    用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.
    2.四种命题及其相互关系
    (1)四种命题间的相互关系
    (2)四种命题的真假关系
    ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.
    ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
    3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
    常用结论
    充分、必要条件与对应集合之间的关系
    设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
    ①若p是q的充分条件,则A⊆B;
    ②若p是q的充分不必要条件,则AB;
    ③若p是q的必要不充分条件,则BA;
    ④若p是q的充要条件,则A=B.
    思考辨析
    判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)“x2-2x-3>0”是命题.( × )
    (2)已知集合A,B,A∩B=A∪B的充要条件是A=B.( √ )
    (3)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( √ )
    (4)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.( √ )
    教材改编题
    1.“x2-x<0”是“x<1”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 A
    解析 由x2-x<0,可得0所以“x2-x<0”是“x<1”的充分不必要条件.
    2.命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是____________________________.
    答案 两直线不平行,同位角不相等
    3.若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,则m的取值范围是________.
    答案 (3,+∞)
    解析 因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件,
    所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集,
    由图可知m>3.
    题型一 命题及其关系
    例1 (1)(2022·赤峰模拟)下列四个命题为真命题的个数是( )
    ①命题“若x>1,则x2>1”的否命题;
    ②命题“梯形不是平行四边形”的逆否命题;
    ③命题“全等三角形面积相等”的否命题;
    ④命题“若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线”的逆命题.
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 B
    解析 ①命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,是假命题,例如取x=-2;
    ②命题“梯形不是平行四边形”是真命题,因此其逆否命题也是真命题;
    ③命题“全等三角形面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”,是假命题;
    ④命题“若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线”的逆命题为“若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点”,是真命题.
    综上可得,真命题的个数为2.
    (2)(2022·西安模拟)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点,则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=____________.
    答案 (x-1)2(答案不唯一)
    解析 函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断,且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点,则f(0)·f(2)<0”为假命题,可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点,且f(0)·f(2)≥0,所以满足题意的函数解析式可以为f(x)=(x-1)2.
    思维升华 判断命题真假的策略
    (1)判断一个命题为真命题,需要推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可.
    (2)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
    跟踪训练1 (1)(2022·拉萨模拟)命题“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的逆否命题是( )
    A.若x,y都是偶数,则x+y是奇数
    B.若x,y都不是奇数,则x+y不是偶数
    C.若x+y不是偶数,则x,y都不是奇数
    D.若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数
    答案 D
    解析 命题“若x,y都是奇数,则x+y是偶数”的逆否命题是“若x+y不是偶数,则x,y不都是奇数”.
    (2)命题p:若m≤a-2,则m<-1.若p的逆否命题为真命题,则a的取值范围是________.
    答案 (-∞,1)
    解析 依题意,命题p的逆否命题为真命题,则命题p为真命题,即“若m≤a-2,则m<-1”为真命题,则a-2<-1,解得a<1.
    题型二 充分、必要条件的判定
    例2 (1)(2023·淮北模拟) “a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的( )
    A.充要条件
    B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 B
    解析 由a>b>0,得eq \f(a,b)>1,反之不成立,
    如a=-2,b=-1,满足eq \f(a,b)>1,
    但是不满足a>b>0,
    故“a>b>0”是“eq \f(a,b)>1”的充分不必要条件.
    (2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.设甲:q>0,乙:{Sn}是递增数列,则( )
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    答案 B
    解析 当a1<0,q>1时,an=a1qn-1<0,此时数列{Sn}单调递减,所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}单调递增时,有Sn+1-Sn=an+1=a1qn>0,若a1>0,则qn>0(n∈N*),即q>0;若a1<0,则qn<0(n∈N*),不存在,所以甲是乙的必要条件.
    思维升华 充分条件、必要条件的两种判定方法
    (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.
    (2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
    跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟) “a·b=|a||b|”是“a与b共线”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 A
    解析 因为a·b=|a||b|cs〈a,b〉=|a||b|,
    所以cs〈a,b〉=1,
    因为〈a,b〉∈[0,π],
    所以〈a,b〉=0,
    所以a与b共线,充分性成立;
    当a与b共线时,〈a,b〉=0或〈a,b〉=π,
    所以a·b=|a||b|cs〈a,b〉=|a||b|
    或a·b=|a||b|cs〈a,b〉=-|a||b|,必要性不成立,所以“a·b=|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件.
    (2)(2022·聊城模拟)使|x+1|>2成立的一个必要不充分条件是( )
    A.x<-3 B.x>0
    C.x<-3或x>1 D.x<-3或x>0
    答案 D
    解析 由|x+1|>2,可得x>1或x<-3,
    所以x<-3是|x+1|>2的充分不必要条件,
    x>0是|x+1|>2的既不充分也不必要条件,
    x<-3或x>1是|x+1|>2的充要条件,
    x<-3或x>0是|x+1|>2的必要不充分条件.
    题型三 充分、必要条件的应用
    例3 在①A∪B=B;②“x∈A”是“x∈B”的充分条件;③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个,补充到本题第(2)问的横线处,求解下列问题.
    问题:已知集合A={x|a≤x≤a+2},B={x|(x+1)(x-3)<0}.
    (1)当a=2时,求A∩B;
    (2)若________,求实数a的取值范围.
    注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
    解 (1)由(x+1)(x-3)<0,
    解得-1所以B={x|(x+1)(x-3)<0}={x|-1当a=2时,A={x|2≤x≤4},
    所以A∩B={x|2≤x<3}.
    (2)若选①A∪B=B,则A⊆B,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>-1,,a+2<3,))解得-1若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>-1,,a+2<3,))解得-1若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件,
    则A⊆B,所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>-1,,a+2<3,))
    解得-1思维升华 求参数问题的解题策略
    (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
    (2)要注意区间端点值的检验.
    跟踪训练3 (2023·宜昌模拟)已知集合A={x|-2(1)若m=2,求集合A∩B;
    (2)已知p:x∈A,q:x∈B,是否存在实数m,使p是q的必要不充分条件,若存在实数m,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
    解 (1)由m=2及x2-2mx+m2-1<0,
    得x2-4x+3<0,解得1所以B={x|1又A={x|-2所以A∩B={x|1(2)由x2-2mx+m2-1<0,
    得[x-(m-1)][x-(m+1)]<0,
    所以m-1所以B={x|m-1由p是q的必要不充分条件,
    得集合B是集合A的真子集,
    所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m-1≥-2,,m+1≤3,))解得-1≤m≤2,
    所以m的取值范围为[-1,2].
    课时精练
    1.(2023·西宁模拟)“x2>2 022”是“x2>2 023”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 B
    解析 若x2>2 023,因为2 023>2 022,
    故x2>2 022,
    故“x2>2 023”可以推出“x2>2 022”,
    取x2=2 022.5,满足x2>2 022,但x2>2 023不成立,
    所以“x2>2 022”不能推出“x2>2 023”,
    所以“x2>2 022”是“x2>2 023”的必要不充分条件.
    2.(2022·渭南模拟)已知a<0,命题“若a2>1,则a<-1”的否命题是( )
    A.若a2>1,则-1≤a<0
    B.若a2≤1,则-1≤a<0
    C.若-1≤a<0,则a2>1
    D.若a<-1,则a2>1
    答案 B
    3.(2023·银川模拟)下列命题中是假命题的是( )
    A.任意向量与它的相反向量不相等
    B.任意两个向量都不能比较大小
    C.如果|a|=0,则a=0
    D.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
    答案 A
    解析 对于A,0的相反向量是它本身,A是假命题;
    对于B,向量是有向线段,不能比较大小,B是真命题;
    对于C,如果|a|=0,则a=0,C是真命题;
    对于D,两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同,D是真命题.
    4.(2022·海东模拟)在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数可以是( )
    A.1或2或3或4 B.0或2或4
    C.1或3 D.0
    答案 B
    解析 ∵原命题和逆否命题具有相同的真假性,逆命题和否命题具有相同的真假性,
    ∴四种命题中,真命题的个数可以是0或2或4.
    5.在△ABC中,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 A
    解析 在△ABC中,若AB2+BC2=AC2,
    则∠B=90°,
    即△ABC为直角三角形;
    若△ABC为直角三角形,不一定推出∠B=90°,
    所以AB2+BC2=AC2不一定成立,
    综上,“AB2+BC2=AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件.
    6.(2021·浙江)已知非零向量a,b,c,则“a·c=b·c”是“a=b”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 B
    解析 由a·c=b·c,得(a-b)·c=0,所以(a-b)⊥c或a=b,所以“a·c=b·c”是“a=b”的必要不充分条件.
    7.(2023·成都模拟)下列命题为假命题的是( )
    A.命题“若a<1,则|a|<1”的逆命题
    B.命题“若x=y,则sin x=sin y”的逆否命题
    C.空间中垂直于同一直线的两直线平行
    D.命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题
    答案 C
    解析 对于A,命题“若a<1,则|a|<1”的逆命题为“若|a|<1,则a<1”,因为|a|<1即-1对于B,命题“若x=y,则sin x=sin y”为真命题,则其逆否命题为真命题;
    对于C,空间中垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面,故C为假命题;
    对于D,命题“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”的否命题为“到线段两端点距离不相等的点不在线段的垂直平分线上”,故原命题的否命题为真命题.
    8.(2022·长沙模拟)已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-a-1)<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则a的取值范围是( )
    A.(2,3)
    B.[2,3]
    C.(-∞,2)∪(3,+∞)
    D.(-∞,2]∪[3,+∞)
    答案 B
    解析 A={x|x2-6x+8<0}
    ={x|2∵a+1>a,∴B={x|a若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,
    则必有B是A的子集,
    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a+1≤4,,a≥2,))∴2≤a≤3.
    9.(2022·固原模拟)命题“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”的逆否命题是______________________.
    答案 若b2=ac,则a,b,c成等比数列
    10.使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________.
    答案 x<-1(答案不唯一)
    解析 由于4x=22x,故2x>22x等价于x>2x,
    解得x<0,所以使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需使x的取值范围为集合{x|x<0}的子集即可.
    11.已知直线l和平面α,β满足l⊄α,l⊄β.在l∥β,l⊥α,α⊥β这三个关系中,以其中两个作为条件,余下一个作为结论所构成的命题中,真命题的个数为_______.
    答案 2
    解析 当l∥β且l⊥α时,α⊥β成立;
    当l∥β且α⊥β时,l⊥α不一定成立;
    当l⊥α且α⊥β时,结合l⊄β,得l∥β成立.
    故有2个真命题.
    12.给出下列四个命题:
    ①在△ABC中,“sin B>sin C”是“B>C”的充要条件;
    ②命题“若数列{an}是等比数列,则aeq \\al(2,2)=a1a3”的否命题;
    ③已知a,b是非零向量,命题“若a·b>0,则a与b的夹角为锐角”的逆命题;
    ④“直线l与平面α垂直”的充要条件是“直线l与平面α内的两条直线垂直”.
    其中真命题是________.(填序号)
    答案 ①③
    解析 对于①,在△ABC中,由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C,故①是真命题;
    对于②,命题“若数列{an}是等比数列,则aeq \\al(2,2)=a1a3”的否命题是“若数列{an}不是等比数列,则aeq \\al(2,2)≠a1a3”,取an=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1,n≤3,,2,n>3,))故其否命题是假命题;
    对于③,已知a,b是非零向量,命题“若a·b>0,则a与b的夹角为锐角”的逆命题为“若a与b的夹角为锐角,则a·b>0”,故其逆命题是真命题;
    对于④,“直线l与平面α内的两条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要不充分条件,故④是假命题.
    13.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1,S2,则“S1,S2不总相等”是“V1,V2不相等”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 B
    解析 命题:“若S1,S2不总相等,则V1,V2不相等”.
    根据祖暅原理,当两个截面的面积S1,S2总相等时,这两个几何体的体积V1,V2相等,所以原命题的否命题为真,故是必要条件;
    当两个三棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积相等,但截得截面面积未必相等,故不是充分条件,所以“S1,S2不总相等”是“V1,V2不相等”的必要不充分条件.
    14.已知p:x<2m-1或x>-m,q:x<2或x≥4,若p是q的必要条件,则实数m的取值范围是________.
    答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3),+∞))
    解析 设A={x|x<2m-1或x>-m},B={x|x<2或x≥4},
    若p是q的必要条件,则B⊆A,
    当2m-1>-m,即m>eq \f(1,3)时,
    此时A=R,B⊆A成立;
    当2m-1≤-m,即m≤eq \f(1,3)时,
    若B⊆A,此时eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m-1≥2,,-m<4,))无解.
    综上,m>eq \f(1,3).
    15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“A+cs A>B+cs B”的( )
    A.充分不必要条件
    B.必要不充分条件
    C.充要条件
    D.既不充分也不必要条件
    答案 C
    解析 在△ABC中,若a>b,则根据大边对大角可得A>B.
    设f(x)=x+cs x,x∈(0,π),
    则f′(x)=1-sin x,x∈(0,π),
    ∵sin x∈(0,1],
    ∴f′(x)≥0,
    ∴f(x)在(0,π)上单调递增,
    ∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A+cs A>B+cs B.
    故“a>b”是“A+cs A>B+cs B”的充要条件.
    16.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下:甲说:“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说:“甲、乙两人中有一人是小偷”;丁说:“乙说的是事实”,经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是________.
    答案 乙
    解析 四人供词中,乙、丁意见一致,或同真或同假.若同真,即丙偷的,而四人有两人说的是真话,则甲、丙说的是假话,甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话,即乙、丙、丁没偷,相互矛盾;若同假,即不是丙偷的,则甲、丙说的是真话,甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”,丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话,可知罪犯是乙.若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
    p是q的充分不必要条件
    p⇒q且q⇏p
    p是q的必要不充分条件
    p⇏q且q⇒p
    p是q的充要条件
    p⇔q
    p是q的既不充分也不必要条件
    p⇏q且q⇏p
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