2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.1　函数的概念及其表示(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.1　函数的概念及其表示(学生版+解析)，共16页。

考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
设A，B是________________，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的______一个数x，在集合B中都有________________的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：__________、__________和________．
(2)如果两个函数的________________相同，并且________________完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有__________、图象法和________．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数相等．( )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.( )
教材改编题
1．下列所给图象是函数图象的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
2．下列各组函数相等的是( )
A．y＝x－1与y＝eq \f(x2－1,x＋1)
B．y＝x－1与y＝－eq \f(1,x)
C．y＝2eq \r(x2)与y＝2x
D．y＝eq \f(2,x－1)与v＝eq \f(2,t－1)
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x>0，,ex，x≤0，))则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))等于( )
A．3 B．－3
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq \r(x＋2)的定义域为________．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝eq \f(1,lnx－1)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<2))))
C．{x|x>2} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)))))
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，
求f(x)的解析式．
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思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________.
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＝3x，则f(2)等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
题型三 分段函数
例3 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－1，x>0，,－lnx＋e＋2，x≤0，))则f(2 024)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
听课记录：___________________________________________________________________
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(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
听课记录：___________________________________________________________________
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思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，则a等于( )
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)§2.1 函数的概念及其表示
考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数相等．( × )
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．( × )
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．( × )
(4)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.( √ )
教材改编题
1．下列所给图象是函数图象的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 C
解析 ①中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．下列各组函数相等的是( )
A．y＝x－1与y＝eq \f(x2－1,x＋1)
B．y＝x－1与y＝－eq \f(1,x)
C．y＝2eq \r(x2)与y＝2x
D．y＝eq \f(2,x－1)与v＝eq \f(2,t－1)
答案 D
解析 y＝x－1的定义域为R，y＝eq \f(x2－1,x＋1)的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，所以这两个函数不相等，故选项A不正确；
y＝x－1＝eq \f(1,x)与y＝－eq \f(1,x)的对应关系不同，所以这两个函数不相等，故选项B不正确；
y＝2eq \r(x2)＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，所以这两个函数不相等，故选项C不正确；
y＝eq \f(2,x－1)与v＝eq \f(2,t－1)的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以这两个函数相等，故选项D正确．
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x，x>0，,ex，x≤0，))则函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 C
解析 由题意可知，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝ln eq \f(1,3)＝－ln 3，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))))＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝eq \f(1,3).
题型一 函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(lnx＋1,\r(－x2－3x＋4))的定义域为( )
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案 C
解析 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,－x2－3x＋4>0，))解得－1(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq \r(x＋2)的定义域为________．
答案 [－2，－1)
解析 ∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
要使g(x)＝f(x－1)＋eq \r(x＋2)有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．
思维升华 (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝eq \f(1,lnx－1)＋eq \r(3－x)的定义域为( )
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案 B
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,3－x≥0，))
所以1所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq \r(2x－1)的定义域是( )
A．{x|x>2或x<0} B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<2))))
C．{x|x>2} D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥\f(1,2)))))
答案 B
解析 要使f(x)＝lg eq \f(1－x,1＋x)有意义，
则eq \f(1－x,1＋x)>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
要使g(x)＝f(x－1)＋eq \r(2x－1)有意义，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1解得eq \f(1,2)≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x<2)))).
题型二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cs2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，
求f(x)的解析式．
解 (1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cs2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,5a＋b＝17，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝7.))
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2 (1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案 A
解析 f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(2)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________.
答案 eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1)
解析 f(x)＝eq \f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1)．
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＝3x，则f(2)等于( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案 A
解析 f(x)＋2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＝3x，①
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))＋2f(x)＝－eq \f(3,x)，②
联立①②解得f(x)＝－eq \f(2,x)－x，则f(2)＝－eq \f(2,2)－2＝－3.
题型三 分段函数
例3 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－1，x>0，,－lnx＋e＋2，x≤0，))则f(2 024)的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案 C
解析 因为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx－1，x>0，,－lnx＋e＋2，x≤0，))
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
(2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x－3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
答案 －2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞)
解析 若f(a)＝4，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1，,－a2－3a＋2＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,2a－3＝4，))
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1，,－a2－3a＋2≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,2a－3≥2，))
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．
思维升华 分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0，))若f(f(a))＝2，则a等于( )
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
答案 D
解析 令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0⇒a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1⇒a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析 当x≤0时，x＋1≤1，
f(x)解得－eq \f(1,2)当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝lg2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，x＋1>2，
f(x)综上，不等式f(x)课时精练
1．函数f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)的定义域是( )
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 ∵f(x)＝lg(x－2)＋eq \f(1,x－3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2>0，,x－3≠0，))解得x>2，且x≠3，
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2022·鸡西模拟)设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图象中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为( )

图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 对图(1)，由图知0≤x≤1，图象不符合函数的定义域，故图(1)错误；
对图(2)，由图知0≤x≤2,0≤y≤2，图象符合函数的定义，故图(2)正确；
对图(3)，由图知0≤y≤3，图象不符合函数的值域，故图(3)错误；
对图(4)，不符合函数定义，不是函数图象，故图(4)错误．
3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为( )
A．1 B.eq \r(3,10) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,\r(3,10))
答案 C
解析 令x3＝10，则x＝，
∴f(10)＝＝eq \f(1,3).
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是( )
答案 A
解析 水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合．
5．下列四个函数，定义域和值域不相同的是( )
A．y＝－x＋1 B．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(，x≤0，,\f(1,x3)，x>0))
C．y＝ln|x| D．y＝eq \f(2,x)
答案 C
解析 对于A，函数的定义域和值域都是R；
对于B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对于C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
对于D，因为函数y＝eq \f(2,x)，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
6．函数y＝1＋x－eq \r(1－2x)的值域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
答案 B
解析 设eq \r(1－2x)＝t，则t≥0，x＝eq \f(1－t2,2)，所以y＝1＋eq \f(1－t2,2)－t＝eq \f(1,2)(－t2－2t＋3)＝－eq \f(1,2)(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤eq \f(3,2).所以函数y＝1＋x－eq \r(1－2x)的值域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x＋3，x≤2，,6＋lgax，x>2))(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C．(1，eq \r(2)] D．(1，eq \r(2))
答案 B
解析 当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4，
当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，
所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋lgax的值域为(－∞，4]的子集，
当a>1时，f(x)＝6＋lgax在(2，＋∞)上单调递增，
此时f(x)>f(2)＝6＋lga2>6，不符合题意，
当0此时f(x)所以a2≥eq \f(1,2)，可得eq \f(\r(2),2)≤a<1，
所以实数a的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)).
8．函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有( )
①f(x2)＝|x|；②f(x2)＝x；③f(cs x)＝x；④f(ex)＝x.
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 B
解析 令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±eq \r(t)|＝eq \r(t)，故①符合函数定义；
令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±eq \r(t)，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故②不符合函数定义；
设t＝cs x，当t＝eq \f(1,2)时，x可以取±eq \f(π,3)等无数多个值，故③不符合函数定义；
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故④符合函数定义．
9．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，x<0，,fx－π，x>0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,3)))＝________.
答案 eq \f(1,2)
解析 由已知得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝eq \f(1,2).
10．已知f(eq \r(x))＝x－1，则f(x)＝________.
答案 x2－1(x≥0)
解析 令t＝eq \r(x)，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
11．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋eq \r(1－2x)的定义域为__________．
答案 [－1,0]
解析 由条件可知，函数的定义域需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤2x≤2，,1－2x≥0，))
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
12．已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3，x>0，,x2－4，x≤0，))若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案 1或－3 [－eq \r(5)，－1]
解析 ①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－eq \r(5)≤a≤－1.
13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于( )
A．－1 B．1 C．－eq \f(1,3) D.eq \f(1,3)
答案 B
解析 ∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于( )
A．2 B.eq \r(2) C．1 D．0
答案 B
解析 作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3≤0，,a＋2>0，))即－2此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝eq \r(a＋2)，
所以a＝eq \r(a＋2)，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝eq \r(a＋2)，舍去)，
则f(a)＝eq \r(2).
15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－eq \r(2)，eq \r(2))
答案 B
解析 当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
所以M(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|－1，x≥1或x≤－1，,1－x2，－1若M(n)<1，则当－1即－n2<0，解得n≠0，即－1当n≥1或n≤－1时，有|n|－1<1，
解得－2综上，－216．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，))称为狄利克雷函数，则关于狄利克雷函数f(x)的4个命题：①对于任意的x∈R，f(f(x))＝1；②函数f(x)是偶函数；③任意一个非零有理数T都是f(x)的周期；④存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 D
解析 ①当x为有理数时，f(x)＝1；当x为无理数时，f(x)＝0，
所以当x为有理数时，f(f(x))＝f(1)＝1；当x为无理数时，f(f(x))＝f(0)＝1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f(f(x))＝1，故①正确；
②有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故②正确；
③若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数，
根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f(x＋T)＝f(x)对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1＝－eq \f(\r(3),3)，x2＝0，x3＝eq \f(\r(3),3)，得f(x1)＝0，f(x2)＝1，f(x3)＝0，
所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))，B(0,1)，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))，此时△ABC为等边三角形，故④正确．即真命题的个数是4.