2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.12　函数模型的应用(学生版+解析)

这是一份2024年高考数学第一轮复习讲义第二章2.12　函数模型的应用(学生版+解析)，共20页。

知识梳理
1．三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝lg5x
C．y＝x5 D．y＝5x
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
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(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝lg2x；⑤y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
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思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(eq \r(10,10)≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
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(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常数．如果2 h后还剩下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下______%的污染物．
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思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(V,N)称为接种率))，那么1个感染者传染人数为eq \f(R0,N)(N－V)．已知某种传染病在某地的基本传染数R0＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率最小为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t为时间，单位：分钟，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ1＝100 ℃，环境温度θ0＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．10 B．9 C．8 D．7
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t0与人的反应时间t1，系统反应时间t2，制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，如图所示．当车速为v(米/秒)，且01)
y＝lgax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与____平行
随x的增大逐渐表现为与____平行
随n值的变化而各有不同
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
－0.01
0.98
2.00
阶段
准备
人的反应
系统反应
制动
时间
t0
t1＝0.8秒
t2＝0.2秒
t3
距离
d0＝10米
d1
d2
d3＝eq \f(v2,20k)米
§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
2.常见的函数模型
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( × )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则每件还能获利．( × )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝lgax(a>1)的增长速度．( √ )
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝lg5x
C．y＝x5 D．y＝5x
答案 D
解析 结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝lg2x
答案 D
解析 根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝lg2x，可知满足题意，故选D.
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
答案 150
解析 因为y＝－eq \f(x2,25)＋12x－210＝－eq \f(1,25)(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值，即该商品的利润最大时，当日售价为150元.
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
答案 D
解析 从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝lg2x；⑤y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．(填序号)
答案 ④
解析 由图可知上述点大体分布在函数y＝lg2x的图象上，
故选择y＝lg2x可以近似地反映这些数据的规律．
思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是下图中的( )
答案 A
解析 当点P在AB上时，y＝eq \f(1,2)×x×1＝eq \f(1,2)x,0≤x≤1；
当点P在BC上时，y＝S正方形ABCD－S△ADM－S△ABP－S△PCM＝－eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)，1