四川省成都市石室中学2024届高三下学期5月高考适应性考试（一）理科数学试题Word版含解析

这是一份四川省成都市石室中学2024届高三下学期5月高考适应性考试（一）理科数学试题Word版含解析，共18页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的大致图象是等内容，欢迎下载使用。

（全卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题，共60分）
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A. B.
C. D.
4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（ ）
A.33 B.34 C.35 D.36
5.函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
6.在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
7.设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）
A. B. C. D.
8.变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（ ）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）
A.51车 B.52车 C.54车 D.56车
10.设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11.已知菱形中，，现将菱形沿对角线折起，当时，三棱锥的体积为，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数图象上的动点，对任意的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在的展开式中，常数项为__________.
14.若函数的图象关于直线对称，则__________.
15.已知双曲线的左､右焦点分别为为左支上一点，的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则__________.
16.已知数列满足，函数在处取得最大值，若，则__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，异面直线与所成角为，点分别是线段的中点.
（1）求线段的长度；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.
（1）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率；
（2）已知5个问题回答完后乙获胜，设在前三个问题中乙回答问题的个数为，求的分布列和期望.
19.（本题满分12分）已知数列满足，当时，
（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；
（2）求.
20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于两点，连接.
①设的斜率分别为，问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由；
②设，求的值.
21.（本小题满分12分）设.
（1）当时，求函数的零点个数；
（2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，直线过点，且倾斜角为.以点为极点，以从点出发与轴正方向同方向的射线为极轴，建立极坐标系，点在曲线上.
（1）写出曲线在第二象限的一个参数方程和直线的极坐标方程；
（2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积.
23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
设.
（1）解不等式：；
（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求的最小值.
答案及解析
1.【答案】D 【解析】当时，；当时，.故选D.
2.【答案】D 【解析】因为在复平面上对应的点位于虚轴上，所以即.故选D.
3.【答案】B 【解析】对于A，若，则不能推出；若，则必定有，所以既不是充分条件也不是必要条件，故A错误.对于B，若，则根据对数函数的单调性可知，但不能推出，但是，故B正确.对于C，因为等价于，所以是充分必要条件，故C错误.对于D，若，则必有，所以是充分不必要条件，故D错误.故选B.
4.【答案】B 【解析】据条件可得，符号为“”表示的二进制数为100010，则其表示的十进制数是.故选B.
5.【答案】B 【解析】因为，所以，故排除C，D；当时，恒成立，排除A.故选B.
6.【答案】A 【解析】设函数，则，所以为递增函数，且0，所以当时，；当时，，所以不等式的解集为.又因为，所以不等式的解集为.由长度比的几何概型的概率计算可得，使恒成立的概率是.故选A.
7.【答案】C 【解析】由题易知，的倾斜角为，从而.故选C.
8.【答案】B 【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标分别为，目标函数，即，当目标函数过点时取得最大值为5，过点时取得最小值为，所以目标函数的取值范围是.故选B.
9.【答案】B 【解析】由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积（平方米），中截面面积（平方米），下底面面积（平方米），所以这堆建筑材料的体积（立方米），所以这堆建筑材料约重（吨），需要的卡车次为，所以至少需要运52车.故选B.
10.【答案】C 【解析】在中，由及正弦定理，得.又为锐角三角形，所以，即，所以，则.故选C.
11.【答案】A 【解析】如图1，连接交于点，不妨设菱形的边长为，则.将菱形沿对角线折起，如图2所示，分别为正的中心，过点分别作平面和平面的垂线交于点，则.在等腰中，，且平面，则，所以，即（舍去），得.在中，由余弦定理，得，则在直角中，，所以.设三棱锥外接球的半径为，则，故外接球的表面积为.故选A.
12.【答案】B 【解析】令，整理得，即点在圆心为，半径为1的半圆上.，当且仅当时等号成立，所以曲线的一条切线为.通过数形结合可知，当分别为对应切点，且.与两切线垂直时，取得最小值，即的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心与垂直的直线方程为，与直线平行的函数的切线方程为.设，所以当且仅当即时，取到最小值.综上所述，.故选B.
13.【答案】-160 【解析】二项式展开式的通项为且.令，解得，故常数项为-160.
14.【答案】 【解析】因为的周期且直线为对称轴，所以点为的对称中心，所以，解得.
15.【答案】2 【解析】设，则，所以，又因为所以在中，由余弦定理，得，即，所以，即.又因为，所以.
16.【答案】-2 【解析】因为，所以令，则在上单调递减，且.由零点存在定理可知，存在唯一的，使得，即，即①，所以在上单调递增，在上单调递减.由，得.又，得②.由①②可知，，则，所以，即，所以，所以0，即.
17.解：（1）如图1，过点作，连接.
因为，异面直线与所成角为，
所以.
又因为，
所以为正三角形，
所以.
因为在中，，
所以，
所以.
因为在中，，
所以.
又因为平面，
所以平面.
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
所以平面，
所以，
所以，
所以.
（2）如图2，将三棱锥补形到长方体中，以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以.
连接，则平面即为平面.
设平面的法向量为，
则得取，则，
所以.
设直线与平面所成角为，易得为锐角，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.
记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件，
则，
即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.
（2）的所有可能取值为.
已知5个问题回答完后乙获胜，则由（1）可知，这5个问题回答的情况有六种：，
其中，
，
所以，
所以的分布列为：
则.
19.解：（1）由已知，得.
当且为偶数时，，
即.
又，
所以当为偶数时，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，当为偶数时，，即.
当为奇数时，设，
则
所以当为奇数时，，
所以
20.解：（1）设切点，
则以为切点的切线方程为.
因为切线过点，所以.
同理，，所以.
又因为，
所以，即.
又因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）①设直线的方程为.
联立直线和抛物线的方程，得
所以.
设，
则.
同理，，
所以
所以，
所以等于定值0.
②由①可得，
同理，，
所以，
所以点共圆，
所以，
所以.
21.解：（1）当时，.
①当时，，则，
所以在上无零点.
②当时，，则在上单调递增.
又因为，
所以，
所以在上有一个零点.
③当时，，
所以在上无零点.
综上所述，当时，函数在上只有一个零点.
（2）对任意，恒有，
即恒成立，
即恒成立，
即恒成立.
设，
则.
①当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以只需，
即
解得.
又因为，所以.
②当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以只需
由，
解得，这与矛盾，舍去.
③当时，在上单调递减，
所以只需，得，这与矛盾，舍去.
④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以只需
因为，且，
所以.
又，
所以，
所以，
所以满足条件.
综上所述，实数的取值范围是.
22.解：（1）设曲线的方程为.
点的直角坐标为.
将点的直角坐标代入曲线的方程，得，
所以，
所以曲线的普通方程为，
所以曲线在第二象限的一个参数方程为参数.（参数方程不唯一）
设在轴上方直线上任意一点的极坐标为，连接.
在中，，由正弦定理，得，即，
所以，
所以.
经验证，在轴上及轴下方直线上的点也满足上式，
所以直线的极坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数）.
联立直线的参数方程和曲线的普通方程，得.
设对应的参数为，则.，
所以.
在中，.
23.解：（1）因为是偶函数，所以只需针对时的情况展开讨论.
当时，，此时不等式化为，得，舍去；
当时，，此时不等式化为，，所以
当时，，此时不等式化为，得，所以.
综上所述，所求不等式的解集为.
（2）由（1）可知，当时，的值域为；
当的值域为；
当的值域为.
因此，当时，的值域为，
所以的最大值为2，则，
所以，即①，当且仅当时等号成立.
因为，所以，
所以，
即②，当且仅当时等号成立.
由①+②，得，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
0
1
2