2024年高中数学(必修第一册)2.1一元二次函数、方程和不等式精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)2.1一元二次函数、方程和不等式精品讲义(学生版+解析)，共20页。

1不等式关系与不等式
① 不等式的性质
(1) 传递性：a>b , b>c⇒ a>c；
(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b , c>d ⇒ a+c>b+d；
(3) 乘法法则：a>b , c>0 ⇒ ac>bc , a>b , c<0⇒ac(4) 倒数法则：a>b , ab>0 ⇒1a<1b ；
(5) 乘方法则：a>b>0⇒ an>bn (n∈ N∗ 且 n>1)；
② 比较a ,b大小
(1) 作差法( a−b与0的比较)
a−b>0→ a>b ; a−b=0→ a=b ; a−b<0→ a(2) 作商法(ab与1比较)
ab>1 , b>0→ a>b ; ab>1 , b<0→ a2 一元二次不等式及其解法
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以a>0为例)
② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.
3 一元二次不等式的应用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于ab>0与ab>0均意味a,b同号，故ab>0与ab>0等价的；
ab<0与ab<0均意味a,b异号，故ab<0与ab<0等价的；
可得① fxg(x)>0⇒fxgx>0，fxg(x)≥0⇒fxgx≥0且gx≠0.
比如x−1x−2>0⇒x−1x−2>0 ; x−1x−2≥0⇒x−1x−2≥0且x−2≠0.
② fxg(x)<0⇒fxgx<0，fxg(x)≤0⇒fxgx≤0且gx≠0.
比如x−1x−2<0⇒x−1x−2<0 ; x−1x−2≤0⇒x−1x−2≤0且x−2≠0.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为x−x1x−x2…x−xn>0(或<0)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中x的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
Eg 解x+1x−2x−3x−4≥0，如图所示，解集为x|x≥4或2≤x≤3或x≤−1.
解x+1x−22x−3x−43≤0，如图所示，解集为x|x≤−1或x=2或3≤x≤4.
【题型一】不等式性质的运用
【典题1】实数a、b、c满足a>b>c，则下列不等式正确的是 ( )
A．a+b>c B．1a−c<1b−c C．a|c|>b|c|D．ab2c2+1
【典题2】已知a>0，试比较a2+1a2−1与a+1a−1的值的大小．

【典题3】已知c>1，a=c+1−c，b=c−c−1，则正确的结论是 ( )
A．ab C．a=b D．a与b的大小不确定

巩固练习
1 (★) 已知－1A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a
2 (★★) 设1b<1a<0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a>b B．ab2 D．1|b|<1|a|
3(★★) 已知a , b∈R，且P=a+b2，Q=a2+b22，则P、Q的关系是( )
A．P≥QB．P>QC．P≤QD．P4(★★) 若P=a+3+a+5，Q=a+1+a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P=Q B．P>Q C．P5(★★★) 设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b , a , b , c , d∈R+，则下列判断中正确的是( )
A．0【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 如果关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−10的解集为 .
【典题2】解关于x的不等式：x−2x+3≥2
巩固练习
1(★) 若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 ( )
A．−32(★★) 若关于x的不等式x2−3ax+2>0的解集为(−∞ , 1)∪(m , +∞)，则a+m等于( )
A．−1B．1C．2D．3
3(★★) 若不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞ , −13)∪(12 , +∞)，则不等式cx2−2x+a≤0的解集是( )
A．[−12 , 13]B．[−13 , 12]C．[−2 , 3]D．[−3 , 2]
4(★★) 【多选题】关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是( )
A．6B．7C．8D．9
5(★★) 不等式3x+13−x>−1的解集是 .
6(★★) 已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α0，则不等式cx2+bx+a>0的解集是 .
7(★★) 不等式axx−1<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a值是 .
【题型三】求含参一元二次不等式
角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0 ,a=0 ,a<0;
解不等式ax2+(a+2) x+1>0.

角度2：按判别式的符号分类
解不等式x2+ax+4>0.
角度3：按方程的根大小分类
解不等式：x2−a+1ax+1<0 (a≠ 0).
巩固练习
1 (★★) 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(−1 , 0]∪[2 , 3)B．[−2 , −1)∪(3 , 4]
C．[−1 , 0)∪( 2 , 3]D．(−2 , −1)∪(3 , 4)
2 (★★) 解关于x的不等式 x2+2x+a>0．
3 (★★) 解关于x的不等式：2x2+ax+2>0(a∈R)．
4(★★★) 若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．
5 (★★★) 关于x的不等式ax−12 函数、方程、表达式
∆>0
∆=0
∆<0
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个相异实数根
x1 , 2=−b±b2−4ac2a
(x1有两个相等实数根
x1=x2=−b2a
没有实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c>0
的解集
{x|xx2}
{x|x≠−b2a}
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0
的解集
{x|x1∅
∅
一元二次函数、方程和不等式
1不等式关系与不等式
① 不等式的性质
(1) 传递性：a>b , b>c⇒ a>c；
(2) 加法法则：a>b ⇒ a+c>b+c , a>b , c>d ⇒ a+c>b+d；
(3) 乘法法则：a>b , c>0 ⇒ ac>bc , a>b , c<0⇒ac(4) 倒数法则：a>b , ab>0 ⇒1a<1b ；
(5) 乘方法则：a>b>0⇒ an>bn (n∈ N∗ 且 n>1)；
② 比较a ,b大小
(1) 作差法( a−b与0的比较)
a−b>0→ a>b ; a−b=0→ a=b ; a−b<0→ a(2) 作商法(ab与1比较)
ab>1 , b>0→ a>b ; ab>1 , b<0→ a2 一元二次不等式及其解法
① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
(以下均以a>0为例)
② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；
③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.
3 一元二次不等式的应用
(1) 分式不等式的解法
解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.
由于ab>0与ab>0均意味a,b同号，故ab>0与ab>0等价的；
ab<0与ab<0均意味a,b异号，故ab<0与ab<0等价的；
可得① fxg(x)>0⇒fxgx>0，fxg(x)≥0⇒fxgx≥0且gx≠0.
比如x−1x−2>0⇒x−1x−2>0 ; x−1x−2≥0⇒x−1x−2≥0且x−2≠0.
② fxg(x)<0⇒fxgx<0，fxg(x)≤0⇒fxgx≤0且gx≠0.
比如x−1x−2<0⇒x−1x−2<0 ; x−1x−2≤0⇒x−1x−2≤0且x−2≠0.
(2) 一元高次不等式的解法
① 一元高次不等式通常先进行因式分解，化为x−x1x−x2…x−xn>0(或<0)的形式，然后用穿针引线法求解.首先保证每个因式中x的系数为正，然后从右侧画起，右侧第一个区间为正，从右向左依次正负出现，特别要注意“奇穿偶切”，“奇”(“偶”)指的是某个因式的次数.
Eg 解x+1x−2x−3x−4≥0，如图所示，解集为x|x≥4或2≤x≤3或x≤−1.
解x+1x−22x−3x−43≤0，如图所示，解集为x|x≤−1或x=2或3≤x≤4.
【题型一】不等式性质的运用
【典题1】实数a、b、c满足a>b>c，则下列不等式正确的是 ( )
A．a+b>c B．1a−c<1b−c C．a|c|>b|c|D．ab2c2+1【解析】∵a>b>c，
∴A．a+b>c错误，比如−4>−5>−6，得出−4+−5<−6；
B．a−c>b−c>0，∴1a−c<1b−c，∴该选项正确；
C．a|c|>b|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；
D．∵ab2−a2b=ab(b−a) , ∴ab(b−a)=0时，ab2=a2b，
∴ab2c2+1=a2bc2+1，∴该选项错误．
故选：B．
【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.
【典题2】已知a>0，试比较a2+1a2−1与a+1a−1的值的大小．
【解析】a2+1a2−1−a+1a−1=a2+1−(a+1)2a2−1=−2aa2−1，(作差法)
(i)当a>1时，−2a<0，a2−1>0，则−2aa2−1<0，即a2+1a2−1(ii)当00，即a2+1a2−1>a+1a−1．
综上可得a>1时，a2+1a2−1a+1a−1．
【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比较aabb与aba+b2；多项式形式常用做差法，比如比较xy与x+y−1.
【典题3】已知c>1，a=c+1−c，b=c−c−1，则正确的结论是( )
A．ab C．a=b D．a与b的大小不确定
【解析】方法一 特殊值法
取特殊值，令c=2，则a=3−2，b=2−1，
易知a方法二 做差法，分析法
a−b=c+1−c－c−c−1=c+1+c−1−2c
要比较a , b大小，只需要比较c+1+c−1与2c的大小
⟺比较c+1+c−12与4c的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号)
⟺比较2c+2c2−1与4c的大小
⇔比较c2−1与c的大小
而显然c2−1方法三 共轭根式法
c+1−c=(c+1−c)(c+1+c)c+1+c=1c+1+c，
c−c−1=(c−c−1)(c+c−1)c+c−1=1c+c−1，
∵c>1，
∴c+1>c－1>0⇒c+1>c−1⇒c+1+c>c+c−1>0，
∴1c+1+c<1c+c−1，即a【点拨】
① 比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法；
② 方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨；
③ 方法三中注意到(c−c−1)(c+c−1)=1.
若A=x+y ,B=x−y，A,B互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.
AB=x−y ，A2+B2=2x+y ，A2−B2=4xy .
巩固练习
1 (★) 已知－1A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a
【答案】D
【解析】∵－10，b<0<1，b2<1．
∴ab－ab2=ab(1－b)>0，ab2－a=a(b2－1)>0．
∴ab>ab2>a．
故选：D．
2 (★★) 设1b<1a<0，则下列不等式恒成立的是( )
A．a>b B．ab2 D．1|b|<1|a|
【答案】 C
【解析】设1b<1a<0，可得a由a0，a－b<0，可得ab>a−b，故B错误；
由a1，则b3a3+a3b3>2b3a3⋅a3b3=2，故C正确；
由1b<1a<0，可得1|b|>1|a|，故D错误．
故选：C．
3(★★) 已知a , b∈R，且P=a+b2，Q=a2+b22，则P、Q的关系是( )
A．P≥QB．P>QC．P≤QD．P【答案】 C
【解析】因为a，b∈R，且P=a+b2，Q=a2+b22，
所以P2=a2+b2+2ab4，Q2=a2+b22，
则P2－Q2=a2+b2+2ab4−a2+b22=2ab−a2−b24=−(a−b)24≤0，
当且仅当a=b时取等成立，
所以P2－Q2≤0，即P2≤Q2，所以P≤Q，
故选：C．
4(★★) 若P=a+3+a+5，Q=a+1+a+7(a≥0)，则P，Q的大小关系是( )
A．P=Q B．P>Q C．P【答案】 B
【解析】∵a≥0，P2=2a+8+2a2+8a+15，Q2=2a+8+2a2+8a+7，
∴a2+8a+15>a2+8a+7，
∴2a2+8a+15>2a2+8a+7，
∴P2>Q2，且P>0，Q>0，
∴P>Q．
故选B．
5(★★★) 设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b , a , b , c , d∈R+，则下列判断中正确的是( )
A．0【答案】 B
【解析】∵S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b
>aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1
S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b即1【题型二】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
【典题1】 如果关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−10的解集为 .
【解析】关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为−1∴−1、2是方程ax2+bx+c=0的两实数根，且a<0，
由韦达定理得−1+2=−ba−1×2=ca，
∴b=−a>0 , c=−2a>0，
∴不等式bx2−ax−c>0化为−ax2−ax+2a>0⇒x2+x−2>0 ，
即(x−1)(x+2)>0，解得x<−2或x>1；
则该不等式的解集为(−∞ , −2)∪(1 , +∞)．
【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关系.
【典题2】解关于x的不等式：x−2x+3≥2
【解析】x−2x+3−2≥0⇒x−2−2x+3x+3≥0⇒−x−8x+3≥0⇒x+8x+3≤0；
等价变形为：x+8x+3≤0且x+3≠0； (注意分母x+3≠0)
解得−8≤x<−3.
巩固练习
1(★) 若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 ( )
A．−3【答案】D
【解析】2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，
①k=0时，−38<0恒成立，
②k≠0时，k<0△=k2+3k<0，解可得−3综上可得，−3故选：D．
2(★★) 若关于x的不等式x2−3ax+2>0的解集为(−∞ , 1)∪(m , +∞)，则a+m等于( )
A．−1B．1C．2D．3
【答案】 D
【解析】由题意知，1和m是方程x2−3ax+2=0的两个根，
则由根与系数的关系，得1+m=3a1×m=2，解得a=1m=2，
所以a+m=3．
故选：D．
3(★★) 若不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞ , −13)∪(12 , +∞)，则不等式cx2−2x+a≤0的解集是( )
A．[−12 , 13]B．[−13 , 12]C．[−2 , 3]D．[−3 , 2]
【答案】 C
【解析】不等式ax2+2x+c<0的解集是(−∞，−13)∪(12，+∞)，
∴−13和12是方程ax2+2x+c=0的两个实数根，
由−13+12=−2a−13×12=ca，解得：a=−12，c=2，
故不等式cx2−2x+a≤0即2x2−2x−12≤0，
即x2−x−6≤0，解得：−2≤x≤3，
所以所求不等式的解集是：[−2，3]，
故选：C．
4(★★) 【多选题】关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是( )
A．6B．7C．8D．9
【答案】 ABC
【解析】设f(x)=x2−6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示；
若关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则
f(2)≤0f(1)>0，即4−12+a≤01−6+a>0，
解得5所以a=6，7，8．
故选：ABC．
5(★★) 不等式3x+13−x>−1的解集是 .
【答案】 −2，3
6(★★) 已知不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α0，则不等式cx2+bx+a>0的解集是 .
【答案】 (1β , 1α)
【解析】不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|α0)，
则α，β是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a<0；
∴α+β=−ba，α•β=ca；
∴不等式cx2+bx+a>0化为 cax2+bax+1<0，
∴αβx2−(α+β)x+1<0；
化为(αx−1)(βx−1)<0；
又0<α<β，∴1α>1β>0；
∴不等式cx2+bx+a<0的解集为：{x|1β故选：A．
7(★★) 不等式axx−1<1的解集为{x|x<1或x>2}，则a值是 .
【答案】 a=12
【解析】不等式axx−1<1等价于a−1x+1x−1<0即a−1x2+2−ax−1<0，
所以1×2=11−a，解得a=12，
检验成立.
【题型三】求含参一元二次不等式
角度1：按二次项的系数a的符号分类，即a>0 ,a=0 ,a<0;
解不等式ax2+(a+2) x+1>0.
【解析】
(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2) x+1是否是二次函数，分a=0与a≠0讨论)
(1) 当a=0时，不等式为2x+1>0，解集为{x | x>−12} ；
(2) 当a≠0时，∵Δ=a+22−4a=a2+4>0
(二次函数y=ax2+(a+2) x+1与x轴必有两个交点)
解得方程ax2+(a+2) x+1=0两根x1=−a−2−a2+42a , x2=−a−2+a2+42a ；
(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a>0与a<0讨论)
(i)当a>0时，解集为{x | x>−a−2+a2+42a或x<−a−2−a2+42a}；
(ii)当a<0时, 解集为{x | −a−2+a2+42a综上，当a=0时，解集为{x | x>−12}；
当a>0时，解集为{x | x>−a−2+a2+42a或x<−a−2−a2+42a}；
当a<0时, 解集为{x | −a−2+a2+42a角度2：按判别式的符号分类
解不等式x2+ax+4>0.
【解析】∵Δ=a2−16
(此时不确定二次函数y=x2+ax+4是否与x轴有两个交点，对判别式进行讨论)
∴①当−4②当a=±4，即Δ=0时，解集为x x≠−a2}；
③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+a2−162 , x2=−a−a2−162 ，显然x1>x2，
∴不等式的解集为{x | x>−a+a2−162 或x<−a−a2−162}.
综上，当−4当a=±4时，解集为x x≠−a2}；
当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+a2−162 或x<−a−a2−162}.
角度3：按方程的根大小分类
解不等式：x2−a+1ax+1<0 (a≠ 0).
【解析】原不等式可化为：x−ax−1a<0 ,
令x−ax−1a=0，得x1=a ,x2=1a；
(因式分解很关键，此时确定y=x−ax−1a与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)
∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；
(ii)当x1(iii)当x1>x2时，即a>1a⇒−11时，解集为x 1a 综上，当a=±1时，解集为ϕ；
(ii)当a<−1 或0(iii)当−11时， 解集为x 1a 【点拨】
① 当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.
常见的形式有x2−a+1x+a=x−1x−a , x2−a+1ax+1=(x−a)(x−1a)，
ax2+a+1x+1=ax+1x+1等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；
② 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.
巩固练习
1 (★★) 关于x的不等式x2−(a+1)x+a<0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是 ( )
A．(−1 , 0]∪[2 , 3)B．[−2 , −1)∪(3 , 4]
C．[−1 , 0)∪( 2 , 3]D．(−2 , −1)∪(3 , 4)
【答案】 C
【解析】由x2−(a+1)x+a<0，得(x−1)(x−a)<0，
若a=1，则不等式无解．
若a>1，则不等式的解为1若a<1，则不等式的解为a综上，满足条件的a的取值范围是[−1，0)∪(2，3]．
故选：C．
2 (★★) 解关于x的不等式 x2+2x+a>0．
【答案】a>1时，不等式的解集是R，
a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，
a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a或x<−1−1−a}．
【解析】方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，
①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，
②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，
③当1−a>0即a<1时，
由x2+2x+a=0解得：x1=−1−1−a，x2=−1+1−a，
∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a或x<−1−1−a}，
综上，a>1时，不等式的解集是R，
a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，
a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+1−a或x<−1−1−a}．
3 (★★) 解关于x的不等式：2x2+ax+2>0(a∈R)．
【答案】 a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<−a−a2−164或x>−a+a2−164}；
a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；
−4【解析】关于x的不等式：2x2+ax+2>0(a∈R)中，
△=a2−4×2×2=a2−16，
当a>4或a<−4时，△>0，
对应的一元二次方程有两个实数根x=−a−a2−164和x=−a+a2−164，
且−a−a2−164<−a+a2−164，
∴不等式的解集为{x|x<−a−a2−164或x>−a+a2−164}；
当a=±4时，△=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=−a4，
∴不等式的解集为{x|x≠−a4}；
当−4综上，a>4或a<−4时，不等式的解集为{x|x<−a−a2−164或x>−a+a2−164}；
a=±4时，不等式的解集为{x|x≠−a4}；−44(★★★) 若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．
【答案】当a<0时，解集是(−1 , −1a)； 当a=0时，解集是(−1 , +∞)；
当01时，解集是(−∞ , −1)∪(−1a , +∞)．
【解析】当a=0时，x>−1．
当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．
当a<0时，(x+1a)(x+1)<0，解得−1当a>0时，(x+1a)(x+1)>0．
当a=1时，x≠−1．
当0−1．
当a>1时，x<−1，或x>−1a．
∴当a<0时，解集是(−1，−1a)；
当a=0时，解集是(−1，+∞)；
当0当a>1时，解集是(−∞，−1)∪(−1a，+∞)．
5 (★★★) 关于x的不等式ax−12答案】 (−32 , −43]∪[43 , 32)
【解析】不等式ax−12即ax−12−x2<0⇔((a+1)x−1)((a−1)x−1)<0恰有两个解，
∴(a+1)(a−1)>0，即a>1，或a<−1．
当a>1时，不等式解为1a+1∵1a+1∈(0,12 )，恰有两个整数解，即：1，2，
∴2<1a−1≤3，2a−2<1≤3a−3，解得：43≤a<32；
当a<−1时，不等式解为1a+1∵1a−1∈(−12，0)，恰有两个整数解即：−1，−2，
∴−3≤1a+1<−2，−2(a+1)<1≤−3(a+1)，解得：−32综上所述：43≤a<32，或−32 函数、方程、表达式
∆>0
∆=0
∆<0
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程
ax2+bx+c=0
的根
有两个相异实数根
x1 , 2=−b±b2−4ac2a
(x1有两个相等实数根
x1=x2=−b2a
没有实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c>0
的解集
{x|xx2}
{x|x≠−b2a}
R
一元二次不等式
ax2+bx+c<0
的解集
{x|x1∅
∅