2024年高中数学(必修第一册)3.2函数的单调性精品讲义(学生版+解析)

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这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.2函数的单调性精品讲义(学生版+解析)，共22页。

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:
如果∀x1 , x2∈D，当x1如果∀x1 , x2∈D，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：y=1x在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是0,+∞,(−∞,0)，不是0,+∞∪(−∞,0).
2 单调性概念的拓展
① 若y=f(x)递增，x2>x1，则fx2>f(x1).
比如：y=f(x)递增，则f(a2 )≥f(0).
② 若y=f(x)递增，fx2≥f(x1)，则x2≥x1.
比如：y=f(x)递增 , f(1−m)≥f(n) , 则1−m≥n.
y=f(x)递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取x1 , x2∈D，且x1(2) 作差f(x1)－f(x2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果y=f(u)(u∈M) , u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；
比如：Fx=1x2+x (f(u)=1u和g(x)= x2+x的复合函数)；
Fx=1−2x (f(u)=u和g(x)= 1−2x的复合函数)；
Fx=21x (f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).
(2) 同增异减
设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ,
若y=fu, u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；
若y=f(u) , u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) ∀x∈I，都有fx≤M；(2) ∃x0∈I，使得fx0=M；
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【题型一】对函数单调性的理解
【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤ 0，则有 ( )
A. fa+fb≤−fa−fb B. fa+fb≥−fa−fb
C. fa+fb≤ f−a+f−b D. fa+fb>f(−a)+f(−b)
【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(fx−2x)=3，则f(3)的值等于 .
巩固练习
1(★★) 设a∈R，函数f(x)在区间(0 , +∞)上是增函数，则( )
A．f(a2+a+2)>f(74)B．f(a2+a+2)C．f(a2+a+2)≥f(74)D．f(a2+a+2)≤f(74)
2(★★) 已知f(x)是定义在[0 , +∞)上单调递增的函数，则满足f(2x−1)【题型二】判断函数单调性的方法
方法1 定义法
【典题1】判断f(x)=x+4x在(0 , 2) , (2 , +∞)的单调性.
方法2 数形结合
【典题2】函数fx=x1−x的单调增区间是 ( )
A.−∞ , 1 B .−∞ , 1∪1 , +∞ C .−∞ , 1 , 1 , +∞ D .(−∞ , −1) , (−1 , +∞)
方法3 复合函数的单调性
【典题3】函数fx=x2+4 x−12 的单调减区间为 .
巩固练习
1(★) 下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为( )
A．fx=x2+4B．fx=1−2x
C．fx=−x2−x+1D．f(x)=2−3x
2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
A．y=1f(x)在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=−1f(x)在R上为增函数 D．y=−f(x)在R上为减函数
3(★) 函数f(x)=x|x−2|的递减区间为．
4(★) 函数y=x2+3x的单调递减区间为．
5(★★) 函数f(x)=|12x−2|的单调递增区间为．
6(★★★) 已知函数fx=x−ax在定义域[1,20]上单调递增
(1)求a的取值范围；
(2)若方程fx=10存在整数解，求满足条件a的个数.
7(★★★) 函数fx , g(x)在区间[a , b]上都有意义，且在此区间上
①f(x)为增函数，fx>0；②g(x)为减函数，gx<0．
判断fxg(x)在[a , b]的单调性，并给出证明．

【题型三】函数单调性的应用
角度1 解不等式
【典题1】已知函数f(x)=(12)x−x3，若f(2a+1)>f(a−1)，则实数a的取值范围是 .
角度2 求参数取值范围或值
【典题2】若f(x)=ax2+1 , x≥0(a2−1)∙2ax , x<0(a≠1)，在定义域(−∞ , +∞)上是单调函数，则a的取值范围 .
角度3 求函数最值
【典题3】已知函数fx=ax2−|x−a|．
(1)当a=1时，求f(x)的值域；
(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0, +∞)上的最小值．
巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8 , −4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值53，无最小值 B．f(x)有最大值53，最小值75
C．f(x)有最大值75，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值75
2(★★) 若f(x)=ax , x≥1−x+3a , x<1是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为．
3(★★) 若函数fx=x2−2ax+1−a在[0 , 2]上的最小值为−1．则a= ．
4(★★) 已知函数f(x)=x−2，若f(2a2−5a+4)5(★★) 已知函数fx=|x−1|+|2x+a|的最小值为2，则实数a的值为．
6(★★★) 已知函数fx=2x−ax的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域；
(2)求函数y=f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
【题型四】抽象函数的单调性
定义在(0 , +∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、y都成立，
f2=−1且当x>1，f(x)<0．
(1)求f(1)的值
(2)判断并证明函数f(x)在(0 , +∞)上的单调性
(3)若关于x的不等式fkx−f(x2−kx+1)≥1在(0 , +∞)上恒成立，求实数k的取值范围.
巩固练习
1 (★★★) 定义在(0 , +∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：
① 对任意正数a , b，都有f(a)+f(b)=f(ab)；② 当x>1时，f(x)<0；③ f2=−1
(1)求f(1)和f(14)的值；
(2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0 , +∞)上是减函数；
(3)求满足f(4x3−12x2)+2>f(18x)的x的取值集合．
函数的单调性
1 函数单调性的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，区间D∈I:
如果∀x1 , x2∈D，当x1如果∀x1 , x2∈D，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上单调递减(图②).特别地，当函数f(x)在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
Eg：y=1x在(0,+∞)上单调递减，但它不是减函数，
特别注意它的减区间是0,+∞,(−∞,0)，不是0,+∞∪(−∞,0).
2 单调性概念的拓展
① 若y=f(x)递增，x2>x1，则fx2>f(x1).
比如：y=f(x)递增，则f(a2 )≥f(0).
② 若y=f(x)递增，fx2≥f(x1)，则x2≥x1.
比如：y=f(x)递增 , f(1−m)≥f(n) , 则1−m≥n.
y=f(x)递减，有类似结论！
3 判断函数单调性的方法
① 定义法
解题步骤
(1) 任取x1 , x2∈D，且x1(2) 作差f(x1)－f(x2)；
(3) 变形(通常是因式分解和配方)；
(4) 定号(即判断差f(x1)－f(x2)的正负)；
(5) 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
② 数形结合
③ 性质法
增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
但增函数×增函数不一定是增函数，比如y=x，y=x−2均是增函数，而y=x(x−2)不是.
④ 复合函数的单调性
(1)如果y=f(u)(u∈M) , u=g(x)(x∈A) , 则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)称为f、g的复合函数；
比如：Fx=1x2+x (f(u)=1u和g(x)= x2+x的复合函数)；
Fx=1−2x (f(u)=u和g(x)= 1−2x的复合函数)；
Fx=21x (f(u)=2u和g(x)=1x的复合函数).
(2) 同增异减
设函数u=g(x)(x∈A)的值域是M，函数y=f(u)(u∈M) ,
若y=fu, u=g(x)在各自区间单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递增；
若y=f(u) , u=g(x)在各自区间单调性不同，则复合函数y=f[g(x)]在区间A上递减.
4 函数的最值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1) ∀x∈I，都有fx≤M；(2) ∃x0∈I，使得fx0=M；
那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)
简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【题型一】对函数单调性的理解
【典题1】函数y=f(x)在R是增函数，若a+b≤ 0，则有 ( )
A. fa+fb≤−fa−fb B. fa+fb≥−fa−fb
C. fa+fb≤ f−a+f−b D. fa+fb>f(−a)+f(−b)
【解析】∵a＋b≤0 , ∴a≤−b , b≤−a
又∵函数fx在R上是增函数，∴fa≤f−b , fb≤f−a．
∴f(a)＋f(b)≤f(−a)＋f(－b)．故选C.
【典题2】已知函数f(x)在R上是单调函数，且对任意x∈R，都有f(fx−2x)=3，
则f(3)的值等于 .
【解析】∵ 函数f(x)在R上是单调函数
∴可设fx−2x=t (t是个常数)，则f(x)=2x+t；
∴ft=2t+t=3；
∵f(t)在R上单调递增，∴只有t=1时对应的函数值是3，即f(1)=3；
∴f(x)=2x+1；∴f(3)=9．
【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个x对应一个y，所以题目中“f(x)－2x”只能是个常数.
巩固练习
1(★★) 设a∈R，函数f(x)在区间(0 , +∞)上是增函数，则( )
A．f(a2+a+2)>f(74)B．f(a2+a+2)C．f(a2+a+2)≥f(74)D．f(a2+a+2)≤f(74)
【答案】 C
【解析】根据题意，a2+a+2=a+122+74≥74，
又由函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数，则有f(a2+a+2)≥f(74)；
故选：C．
2(★★) 已知f(x)是定义在[0 , +∞)上单调递增的函数，则满足f(2x−1)【答案】[12 , 23)
【解析】∵f(x)是定义在[0，+∞)上单调递增的函数，
∴不等式f(2x−1)即不等式的解集为[12，23)，
【题型二】判断函数单调性的方法
方法1 定义法
【典题1】判断f(x)=x+4x在(0 , 2) , (2 , +∞)的单调性.
【解析】设0则y1−y2=(x1+4x1)−(x2+4x2)=(x1−x2)+(4x1−4x2)
=(x1−x2)+4x2−x1x1x2=(x1−x2)(1−4x1x2) (因式分解方便判断差y1−y2的正负)
(1) 假如01⇒1−4x1x2<0 ,
又 x1−x2<0 , 所以y1−y2>0 ⇒ y1>y2 , 故函数单调递减；
(2) 假如24⇒ 4x1x2<1 ⇒1−4x1x2>0 ,
又x1−x2<0 , 所以y1−y2<0⇒ y1所以函数在(0 , 2)内单调递减，在(2 , ＋∞)内单调递增．
【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.
方法2 数形结合
【典题2】函数fx=x1−x的单调增区间是 ( )
A.−∞ , 1 B .−∞ , 1∪1 , +∞
C .−∞ , 1 , 1 , +∞ D .(−∞ , −1) , (−1 , +∞)
【解析】fx=−1−x+11−x=−1+11−x=−1x−1−1; (分离常数法)
∴f(x)的图象是由y=−1x的图象沿x轴向右平移1个单位，然后沿y轴向下平移1个单位得到, 如下图

∴f(x)的单调增区间是(－∞ , 1) , (1 , ＋∞)．故选C．(切勿选B)
【点拨】
① 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.
② 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等.
方法3 复合函数的单调性
【典题3】函数fx=x2+4 x−12 的单调减区间为 .
【解析】函数fx=x2+4 x−12是由函数fu=u和ux=x2+4 x−12组成的复合函数，
∵x2+4 x−12≥0 , ∴函数y=fx的定义域是x≤−6或x≥2
(优先考虑定义域，否则容易选B)
由二次函数图像易得ux=x2+4 x−12在(−∞ , −6]单调递减，在[2 , ＋∞)单调递增，
而fu=u在u≥0是单调递增，
由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减区间(−∞,−6]．
【点拨】
① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；
② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.
巩固练习
1(★) 下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为( )
A．fx=x2+4B．fx=1−2x
C．fx=−x2−x+1D．f(x)=2−3x
【答案】D
【解析】对于A：fx＝x2+4，二次函数，开口向上，对称轴为y轴，在(－∞，0)是减函数，故A不对．
对于B：f(x)＝1－2x，一次函数，k<0，在(－∞，0)是减函数，故B不对．
对于C：f(x)＝－x2－x+1，二次函数，开口向下，对称轴为x=12，在(－∞，12)是增函数，故C不对．
对于D：f(x)＝2−3x，反比例类型，k<0，在(－∞，0)是增函数，故D对．
故选：D．
2(★)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是( )
A．y=1f(x)在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数
C．y=−1f(x)在R上为增函数 D．y=−f(x)在R上为减函数
【答案】D
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若f(x)＝x，则y=1f(x)=1x，在R上不是减函数，A错误；
对于B，若f(x)＝x，则y＝|f(x)|＝|x|，在R上不是增函数，B错误；
对于C，若f(x)＝x，则y=−1f(x)=−1x，在R上不是增函数，C错误；
对于D，函数f(x)在R上为增函数，
则对于任意的x1、x2∈R，设x1对于y＝－f(x)，则有y1－y2＝[－f(x1)]－[－f(x2)]＝f(x2)－f(x1)>0，
则y＝－f(x)在R上为减函数，D正确；
故选：D．
3(★) 函数f(x)=x|x−2|的递减区间为．
【答案】(1 , 2)
【解析】当x≥2时，f(x)＝x(x－2)＝x2－2x，对称轴为x＝1，此时f(x)为增函数，
当x<2时，f(x)＝－x(x－2)＝－x2+2x，对称轴为x＝1，抛物线开口向下，当1即函数f(x)的单调递减区间为(1，2)，
故选：C．
4(★) 函数y=x2+3x的单调递减区间为．
【答案】 (−∞ , −3]
【解析】由题意，x2+3x≥0，可得x≥0或x≤－3，
函数的定义域为(－∞，－3]∪[0，+∞)，
令t＝x2+3x，则y=t在[0，+∞)上单调递增，
∵t＝x2+3x，在(－∞，－3]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增，
∴函数y=x2+3x的单调递减区间为(－∞，－3]，
5(★★) 函数f(x)=|12x−2|的单调递增区间为．
【答案】 [−1,+∞)
【解析】作出函数f(x)＝|12x－2|的图象如图，
由图可知，函数f(x)的增区间为[－1，+∞)．
6(★★★) 已知函数fx=x−ax在定义域[1,20]上单调递增
(1)求a的取值范围；
(2)若方程fx=10存在整数解，求满足条件a的个数.
【答案】 (1)a≥−1 (2)11个
【解析】(1)任取，且
则
，则，因为函数在定义域上单调递增
所以，在上恒成立，
所以，在上恒成立，，，所以。
(2)因为，所以，即，
解得：(舍去)，或，
因为大于，不大于20的整数有11个，
所以方程fx=10存在整数解，满足条件的11个．
7(★★★) 函数fx , g(x)在区间[a , b]上都有意义，且在此区间上
①f(x)为增函数，fx>0；②g(x)为减函数，gx<0．
判断fxg(x)在[a , b]的单调性，并给出证明．
【解析】减函数，令，则有，即可得；
同理有，即可得；
从而有
*
显然，从而*式，
故函数为减函数．

【题型三】函数单调性的应用
角度1 解不等式
【典题1】已知函数f(x)=(12)x−x3，若f(2a+1)>f(a−1)，则实数a的取值范围是 .
【解析】∵y=(12)x和y=−x3在R上都单调递减，
∴f(x)=(12)x−x3在R上都单调递减，
∴由f(2a+1)>f(a－1)得，2a+1【点拨】
我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.
② 处理类似“f(2a+1)>f(a－1)”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉"f"求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别fx是复杂的函数或者抽象函数的时候.
角度2 求参数取值范围或值
【典题2】若f(x)=ax2+1 , x≥0(a2−1)∙2ax , x<0(a≠1)，在定义域(−∞ , +∞)上是单调函数，则a的取值范围 .
【解析】f(x)在定义域(−∞ , +∞)上是单调函数，
①函数的单调性是增函数时，可得当x=0时，a2−1∙2ax≤ax2+1=1 ,
即a2−1≤1，解之得−2≤a≤2，
∵x≥0时，y=ax2+1是增函数，∴a>0
∵x<0时，a2−1∙2ax是增函数，∴a2−1>0，得a<−1或a>1，
综上实数a的取值范围是1②函数的单调性是减函数时，可得当x=0时，a2−1∙2ax≥ax2+1=1，
即a2−1≥1，解之得a≤−2或a≥2，
∵x≥0时，y=ax2+1是减函数，∴a<0
又∵x<0时，a2−1∙2ax是减函数，
∴a2−1>0，得a<−1或a>1
综上实数a的取值范围是a≤−2；
综上所述，得a∈(−∞ , −2]∪(1 , 2].
【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.
角度3 求函数最值
【典题3】已知函数fx=ax2−|x−a|．
(1)当a=1时，求f(x)的值域；
(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0, +∞)上的最小值．
【解析】(1)a=1时，fx=x2−x−1=x2−x+1 , x≥1x2+x−1 , x<1，
(遇到绝对值可变成分段函数处理)
∵f(x)在(−∞ , −12)上递减，在(−12 , +∞)上递增，
∴f(x)≥f(−12)=−54，
∴f(x)值域为[−54 , +∞)．
(2)f(x)=ax2−|x−a|=ax2−x+a , x≥aax2+x−a , x①当x∴f(x)在[0 , a]单调递增，∴fx≥f0=−a．
②当x≥a时，fx=ax2−x+a，对称轴x=12a>0，
(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴x=12a与a的大小)
(i)当12a≤a即a≥22时，f(x)在[a , +∞)单调递增，
∴fx≥fa=a3>f0=−a，
∴fxmin=f0=−a．
(ii)当12a>a，即0f(x)在[a , 12a)单调递减，在[12a , +∞)单调递增，
∴f(x)≥f(12a)=4a2−14a，
若4a2−14a≥−a，即24≤a<22时，fxmin=f0=−a，
若4a2−14a<−a，即0综上f(x)min=4a2−14a , 0【点拨】
① 遇到绝对值，可利用x=−x , &x<0x , &x≥0去掉绝对值符号，本题函数变成了分段函数；
② 函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；
③ 在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.
巩固练习
1(★★) 已知函数f(x)=2x+1x−1，其定义域是[−8 , −4)，则下列说法正确的是( )
A．f(x)有最大值53，无最小值 B．f(x)有最大值53，最小值75
C．f(x)有最大值75，无最小值 D．f(x)有最大值2，最小值75
【答案】 A
【解析】函数f(x)=2x+1x−1=2+3x−1
即有f(x)在[－8，－4)递减，则x＝－8处取得最大值，且为53，
由x＝－4取不到，即最小值取不到．
故选：A．
2(★★) 若f(x)=ax , x≥1−x+3a , x<1是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为．
【答案】 [12 , +∞)
【解析】若f(x)=ax，x≥1−x+3a，x<1是R上的单调减函数，
则a>0a1≤−1+3a，解得a≥12，
故答案为：[12，+∞)．
3(★★) 若函数fx=x2−2ax+1−a在[0 , 2]上的最小值为−1．则a= ．
【答案】1
【解析】函数fx＝x2－2ax+1－a图象的对称轴为x＝a，图象开口向上，
(1)当a≤0时，函数f(x)在[0，2]上单调递增．则fxmin＝f(0)＝1－a，
由1－a＝－1，得a＝2，不符合a≤0；
(2)当0由－a2－a+1＝－1，得a＝－2或a＝1，∵0(3)当a≥2时，函数f(x)＝x2－2ax+1－a在[0，2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝4－4a+1－a＝5－5a，由5－5a＝－1，得a=65，
∵a≥2，∴a=65不符合，
综上可得a＝1．
4(★★) 已知函数f(x)=x−2，若f(2a2−5a+4)【答案】0 , 12∪2 , 6
【解析】由题意可知，函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，
f(2a2－5a+4)即a2－6a<0且2a2 －5a+2≥0，
解可得2≤a<6或05(★★) 已知函数fx=|x−1|+|2x+a|的最小值为2，则实数a的值为．
【答案】−6或2
【解析】当−a2≥1，即a≤－2时，f(x)＝|x－1|+|2x+a|=3x+a−1，(x>−a2)−x−a−1，(1≤x≤−a2)−3x−a+1，(x<1)，
则fxmin＝f(−a2)＝|−a2−1|＝2，所以a＝－6或a＝2(舍)．
当−a2<1，即a>－2时，f(x)＝|x－1|+|2x+a|=3x+a−1，(x>1)x+a+1，(−a2≤x≤1)−3x−a+1，(x<−a2)，
则fxmin＝f(−a2)＝|−a2−1|＝2，所以a＝2或a＝－6(舍)．
综上得a=−6或2.
6(★★★) 已知函数fx=2x−ax的定义域为(0，1](a为实数)．
(1)当a=1时，求函数y=f(x)的值域；
(2)求函数y=f(x)在区间(0，1]上的最大值及最小值，并求出当函数f(x)取得最值时x的值．
【答案】 (1) (−∞，1]
(2) 当a≥0时，无最小值，当x=1时取得最大值2−a;
当a≤−2时，无最大值，当x=1时取得最小值2−a;
当−2【解析】 (1)当a＝1时，f(x)＝2x−1x，任取1≥x1>x2>0，
则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)－(ax1−ax2)＝(x1－x2)(ax1x2+2)．
∵1≥x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，
当x＝1时取得最大值1，所以f(x)的值域为(－∞，1]．
(2)当a≥0时，y＝f(x)在(0，1]上单调递增，无最小值，
当x＝1时取得最大值2－a；
当a<0时，f(x)＝2x+−ax，
当−a2≥1，即a∈(－∞，－2]时，y＝f(x)在(0，1]上单调递减，无最大值，
当x＝1时取得最小值2－a；
当−a2<1，即a∈(－2，0)时，y＝f(x)在(0，−a2)上单调递减，
在[−a2，1)上单调递增，无最大值，当x=−a2时取得最小值2−2a．
【题型四】抽象函数的单调性
定义在(0 , +∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)对所有的正数x、y都成立，
f2=−1且当x>1，f(x)<0．
(1)求f(1)的值
(2)判断并证明函数f(x)在(0 , +∞)上的单调性
(3)若关于x的不等式fkx−f(x2−kx+1)≥1在(0 , +∞)上恒成立，求实数k的取值范围.
【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，
取x=1，y=1得：f(1)=f(1)+f(1)；∴f(1)=0；
(2)设x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)=f(x2∙x1x2)－f(x2)=f(x1x2)，(定义法证明)
∵x1>x2>0；∴x1x2>1；
又x>1时，f(x)<0；∴f(x1x2)<0；
∴fx1−f(x2)<0，∴f(x1)3∵f2=−1，f(xy)=f(x)+f(y)；
由fkx−fx2−kx+1≥1⇒fkx−1≥fx2−kx+1
⇒fkx+f(2)≥fx2−kx+1⇒f(2kx)≥f(x2−kx+1)
又f(x)在(0 , +∞)上单调递减，
∴2kx>0x2−kx+1>02kx≤x2−kx+1⇒k>0k0k<2k≤23⇒0【点拨】
① 求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如x=1、x=0等，可取特殊关系，如x=y.
② 抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有
(1) 作差法令x1>x2再根据题意“凑出”fx1−f(x2)，证明其大于0或者小于0;
(2) 作商法令x1>x2再根据题意“凑出”fx1fx2，证明其大于1或者小于1，此时还要注意fx>0是否成立；
③ 涉及抽象函数，解类似“fkx－fx2－kx+1≥1”这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉“f”;
④ 恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如x2−kx+1>0(x>0)恒成立等价于k0)，即求fx=x+1x在(0 , +∞)上的最小值.
巩固练习
1 (★★★) 定义在(0 , +∞)上的函数f(x)满足下面三个条件：
① 对任意正数a , b，都有f(a)+f(b)=f(ab)；② 当x>1时，f(x)<0；③ f2=−1
(1)求f(1)和f(14)的值；
(2)试用单调性定义证明：函数f(x)在(0 , +∞)上是减函数；
(3)求满足f(4x3−12x2)+2>f(18x)的x的取值集合．
【答案】(1) f(1)=0 f(14)=2 (2)略，提示：定义法 (3)x∈(3 , 6)
【解析】 (1)令x＝y＝1得f(1)＝f(1)+f(1)，则f(1)＝0，
而f(4)＝f(2)+f(2)＝－1－1＝－2，
且f(4)+f(14)＝f(1)＝0，则f(14)＝2；
(2)取定义域中的任意的x1，x2，且01，
当x>1时，f(x)<0，∴f(x2x1)<0，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x1•x2x1)－f(x1)＝f(x1)+f(x2x1)－f(x1)＝f(x2x1)<0，
∴f(x)在(0，+∞)上为减函数．
(3)由条件①及(Ⅰ)的结果得，
∵f(4x3－12x2)+2>f(18x)，∴f(4x3－12x2)+f(14)>f(18x)，
∴f(x3－3x2)>f(18x)，
∴x3−3x2>018x>0x3−3x2<18x，解得3故x的取值集合为(3，6).

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