2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)3.3函数的奇偶性精品讲义(学生版+解析)，共16页。
1 函数奇偶性的概念
① 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.
② 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有−x∈I，且f(−x)=−f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域I是关于原点对称的.
2 性质
① 偶函数关于y轴对称；
② 奇函数关于原点对称；
③ 若奇函数f(x)定义域内含有0，则f(0)=0；
④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数．
3 判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称，再求f(−x) , 看下与f(x)的关系：若f−x=f(x)，则y=fx是偶函数；若f−x=−f(x)，则y=fx是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于y轴对称，则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法(选择题)
比如：若根据函数得到f(1)≠f(−1)，则排除f(x)是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为0)仍为奇函数；
奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数；
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数Fx=f(g(x))的奇偶性如下图

【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题1】 已知f(x)=ax2+bx是定义在[a−1 , 2a]上的偶函数，那么a+b的值是 .

【典题2】 f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是________：
1f−x+fx=0; 2f−x−fx=−2 fx;
3fx⋅f−x≤0; 4fxf−x=−1
角度2 判断函数的奇偶性
情况1 具体函数的奇偶性判断
【典题1】函数f(x)=4−x2|x+3|−3的图象关于 对称．
情况2 抽象函数的奇偶性判断
【典题1】设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )
A.f(x) f(−x)是奇函数 B.f(x) |f(−x)|是奇函数
C.f(x)− f(−x)是奇函数 D.f(x) +f(−x)是奇函数
巩固练习
1(★) 下列函数中，是偶函数的是( )
A．y=|x2+x|B．y=2xC．y=x3+xD．y=lgx
2(★) 函数f(x)=9x+13x的图象关于( )对称
A．原点B．y=xC．x轴D．y轴
3(★★) 若函数f(x)的定义域是R，且对任意x , y∈R，都有f(x＋y)=f(x)＋f(y)成立．试判断f(x)的奇偶性．
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性，求值问题
【典题1】设f(x)为定义上R上的奇函数，当x≥ 0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，求f(−1).
【典题2】 若函数F(x)=f(x)−2x4是奇函数，G(x)=f(x)+(12)x为偶函数，则f−1= .
角度2 判断函数的图像
【典题1】 函数f(x)=x32−x−2x的图象大致为( )
A． B．
C． D．
巩固练习
1(★) 若函数f(x)=2x−a2x+1的图象关于y轴对称，则常数a= .
2(★) 已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，f(−5)=17，则f(5)的值是 .
3(★★) 已知函数f(x)=g(x+1)−2x为定义在R上的奇函数，则g(0)+g(1)+g(2)= .
4(★★) 函数f(x)=(3x−1)lnx23x+1的部分图象大致为 ( )
A． B． C． D．
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题1】 已知奇函数y=f(x)在(−∞ , 0)为减函数，且f(2)=0，则不等式(x−1)f(x−1)>0的解集为 ( )
A．{x|−30时g(x)=f(x)单调递增，符合题意；
④g(−x)=ef−x+e−f−x=e−fx+efx=g(x)，
满足偶函数，且x>0时，f(x)>0，efx>1，
根据对勾函数的单调性可知g(x) =efx+e−fx单调递增，符合题意．g(x)
f(x)
Fx
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数