2024年高中数学(必修第一册)5.2任意角的三角函数精品讲义(学生版+解析)

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这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.2任意角的三角函数精品讲义(学生版+解析)

任意角的三角函数1 任意角的三角函数的概念设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).① 把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα；② 把点P的纵坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα；③ 把点P的纵坐标yx叫做α的正切函数，记作tanα，即yx=tanα(x≠0).正弦函数fx=sinx, x∈R；余弦函数fx=cosx, x∈R；正切函数fx=tanx, x≠kπ，它们统称三角函数.2 三角函数在各个象限的符号根据三角函数定义可知它们在各个象限符号(设α的终边上一点Px,y，sinα符号看y，cosα符号看x，tanα符号看yx)3 特殊角的三角函数值表利用三角函数的定义求α=0、π2、π、2π时对应的三角函数值.Eg 如图所示，α=π的终边在x轴的负半轴，与x轴交点为P(−1,0)，则sinπ=0，cosπ=−1，tanπ=0.4 同角三角函数基本关系式sin2 α+cos2 α=1 tanα=sinαcosα拓展 sinα+cosα2=1+2 sinαcosα； sinα−cosα2=1−2 sinαcosα.【题型一】求三角函数值【典题1】已知角α的终边与单位圆的交点为P(−45,35)，则2sinα+tanα= . 【典题2】已知角θ的始边为x轴非负半轴，终边经过点P(1,2)，则sinθsinθ+cosθ= .【题型二】确认三角函数的符号【典题1】 sin2∙cos3∙tan4的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在【典题2】若cosθ<0且tanθ<0，则θ2终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【题型三】同角三角函数基本关系式【典题1】已知α∈(0,π)，tanα=－2，则cosα= .【典题2】已知sinθ、cosθ是关于x的方程x2−22ax+a=0的两个根．(1)求实数a的值；(2)若θ∈(−π2,0)，求sinθ−cosθ的值．【典题3】已知tanα是关于x的方程2x2−x−1=0的一个实根，且α是第三象限角．(1) 求2sinα−cosαsinα+cosα的值；(2) 求3sin2α−sinαcosα+2cos2α的值．【典题4】已知3sinα+4cosα=5，求tanα.巩固练习1(★) 已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(2,−1)在角α的终边上，则tanα=(　　)A．2 B．12 C．−12 D．－2 2(★) 若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　)A．sinθ2>0 B．cosθ2>0 C．tanθ2>0 D．sinθ2cosθ2<0 3(★) 已知cosα=−45，且α为第二象限角，那么tanα= . 4(★) 如果角θ满足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1tanθ= . 5(★★) 已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=15，则sinα－cosα= . 6(★★) 若α∈(π2,π)，且cos2α−sinα=14，则tanα= .7(★★) 已知tanα=2，则1sin2α−cos2α= .8(★★) 若cosθ－2sinθ=1，则tanθ= .挑战学霸若00，cos3<0，tan4>0，从而sin2∙cos3∙tan4<0，选A.【典题2】若cosθ<0且tanθ<0，则θ2终边在(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第一或第三象限 D．第三或第四象限【解析】 ∵cosθ<0 ,∴θ是第二或三象限，∵tanθ<0，∴θ是第二或四象限，∴θ是第二象限，即2kπ+π2<θ<2kπ+π，∴kπ+π4<θ20，可得sinθcosθ=a<0，由(1)可得a=−14，∴sinθcosθ=−14，∴sinθ−cosθ2=1−2sinθcosθ=1+12=32，又sinθ−cosθ<0 ∴ sinθ−cosθ=−62.(注意判断sinθ－cosθ的正负)【点拨】① sinα+cosα2=1+2 sinαcosα； sinα−cosα2=1−2 sinαcosα.② sinθ+cosθ、sinθ－cosθ、sinθcosθ也是“知一得二”.【典题3】已知tanα是关于x的方程2x2−x−1=0的一个实根，且α是第三象限角．(1) 求2sinα−cosαsinα+cosα的值；(2) 求3sin2α−sinαcosα+2cos2α的值．【解析】(1)∵tanα是关于x的方程2x2−x−1=0的一个实根，且α是第三象限角，∴tanα=1或tanα=−12(舍去)，∴2sinα−cosαsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=12．(2)3sin2α－sinαcosα+2cos2α=3sin2α−sinαcosα+2cos2αsin2α+cos2α=3tan2α−tanα+2tan2α+1=3−1+22=2．【点拨】① 弦化切技巧若已知tanα，可求a∙sinα+b∙cosαc∙sinα+d∙cosα或a∙sin2α+b∙sinαcosα+c∙cos2αd∙sin2α+e∙sinαcosα+f∙cos2α分子分母齐次的形式，可分子分母同除以cosα或cos2α，化为关于tanα的式子.② 本题巧妙利用了sin2α+cos2α=1，当遇到类似3sin2α－sinαcosα+2cos2α化为分子分母齐次的形式.对sin2α+cos2α=1的巧用要注意.③ 本题若是选择填空题当然也可以通过tanα=1，求出sinα、cosα的值，容易想到且计算量也不大，值得考虑.【典题4】已知3sinα+4cosα=5，求tanα.【解析】方法1 解方程组法由3sinα+4cosα=5sin2α+cos2α =1得25sin2α−30sinα+9=0，解得sinα=35，∴cosα=45 ∴tanα=34.方法2 “对偶式”法设4sinα−3cosα=x，等式两边平方得16sin2α−24sinαcosα+9cos2α=x2 ① 将3sinα+4cosα=5两边平方，得9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25 ②由①+②得，25=x2+25，解得x=0，∴4sinα−3cosα=0 ∴4sinα=3cosα ∴tanα=34 方法3 “弦化切”法将3sinα+4cosα=5两边平方，得9sin2α+24sinαcosα+16cos2α=25即9sin2α+24sinαcosα+16cos2αsin2α+cos2α=25，即9tan2α+24tanα+16tan2α+1=25，解得tanα=34.巩固练习1(★) 已知角α的项点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，若点P(2,−1)在角α的终边上，则tanα=(　　)A．2 B．12 C．−12 D．－2 【答案】C 【解析】∵点P(2,－1)在角α的终边上，∴tanα=−12=−12，故选：C．2(★) 若θ为第二象限角，则下列结论一定成立的是(　　)A．sinθ2>0 B．cosθ2>0 C．tanθ2>0 D．sinθ2cosθ2<0 【答案】 C 【解析】∵θ为第二象限角，∴π2+2kπ<θ<π+2kπ，k∈Z．则π4+kπ<θ2<π2+kπ，k∈Z，∴θ为一或三象限角，得tanθ2>0．故选：C．3(★) 已知cosα=−45，且α为第二象限角，那么tanα= . 【答案】 −34 【解析】∵cosα=−45，且α为第二象限角，∴sinα=1−cos2α=35，则tanα=sinαcosα=−34，4(★) 如果角θ满足sinθ+cosθ=2，那tanθ+1tanθ= . 【答案】 2 【解析】∵sinθ+cosθ=2，∴1+2sinθcosθ=2，即sinθcosθ=12，那么tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=1sinθcosθ=2，5(★★) 已知α∈(π2,π)，且sinα+cosα=15，则sinα－cosα= . 【答案】75 【解析】∵sinα+cosα=15，∴两边平方，可得1+2sinαcosα=125，可得2sinαcosα=−2425，∵α∈(π2,π)，∴可得sinα>0，cosα<0，可得sinα－cosα>0，∴sinα－cosα=(sinα−cosα)2=1−2sinαcosα=1−(−2425)=75．6(★★) 若α∈(π2,π)，且cos2α−sinα=14，则tanα= .【答案】 −33 【解析】∵cos2α−sinα=14，∴4(1－sin2α)－4sinα－1=0，即4sin2α+4sinα－3=0，∴解得sinα=12或sinα=−32(舍)．∵α∈(π2,π)，∴α=5π6，∴tanα=tan5π6=−33．7(★★) 已知tanα=2，则1sin2α−cos2α= .【答案】 53 【解析】∵tanα=2，∴1sin2α−cos2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=tan2α+1tan2α−1=4+14−1=53．8(★★) 若cosθ－2sinθ=1，则tanθ= .【答案】0或43【解析】∵cosθ－2sinθ=1，且sin2θ+cos2θ=1，∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0或−45，∴cosθ=1或−35，则tanθ=0或43.挑战学霸若0

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