2024年高中数学(必修第一册)5.5三角函数和差角公式精品讲义(学生版+解析)

这是一份2024年高中数学(必修第一册)5.5三角函数和差角公式精品讲义(学生版+解析)，共21页。
1 两角和差的正弦，余弦与正切公式
(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)
① 余弦两角和差公式
cs α±β=cs α cs β∓ sin α sin β
推导如下
如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1 ,0)，以x轴为非负半轴为始边作角α，β，α−β，它们的终边分别与单位圆相较于点P1csα ,sinα，A1csβ ,sinβ，Pcsα−β ,sinα−β，连接A1P1，AP，若把扇形OAP绕点O旋转β角，则点A，P分别与A1 ,P1重合.根据圆的旋转对称性可知，AP与A1P1重合，从而AP=A1P1，所以AP=A1P1.
根据两点间的距离公式，得
csα−β−12+sin2α−β=csα−csβ2+sinα−sinβ2
化简得
csα−β=cs α cs β+ sin α sin β
而
cs α+β=cs α−−β=cs α cs β− sin α sin β
②正弦两角和差公式
sin α±β=sin αcs β± cs αsin β
推导如下
sinα+β=csπ2−α−β
=csπ2−αcsβ+sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ+ cs αsin β
sinα−β=csπ2−α+β
=csπ2−αcsβ−sinπ2−αsinβ
=sinαcsβ− cs αsin β
③正切两角和差公式
tan α±β=tan α± tan β1 ∓ tan α tan β
(由S(α±β)、C(α±β)可推导正切的和差角公式)
对公式中α、β的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子
Eg：① sin75°=sin45°+30°=sin45°cs30°+cs45°sin30°=6+24
对应公式sin α±β=sin α cs β± cs α sin β，把α看成数字45° , β看成数字30°；
② csx+π3=csx∙csπ3−sinx∙sinπ3
对应公式cs α+β=cs α cs β−sin α sin β，把α看成字母x， β看成数字π3；
③tanπ4=tanx+π8+π8−x=tanx+π8+tanπ8−x1−tanx+π8tanπ8−x，
对应公式tan α+β=tan α+ tan β1− tan α tan β，把α、β分别看成式子x+π8、x−π8.
对应公式的运用，注意整体变换的思想.
2 辅助角公式
asinx+bcsx=a2+b2 sinx+φ
其中tan φ=ba.
熟记两个特殊角的化简过程
a:b=1:1型，配π4
sinx±csx=2sin⁡(x±π4)
a:b=3:1型，配π6或π3
sinx±3csx=2sinx±π3
3sinx±csx=2sinx±π6

【题型一】和差角公式的基本运用
【典题1】 计算sin25°sin70°−cs155°sin20°= .

【典题2】 tan27°+tan33°+3tan27°tan33°= .

【典题3】 若α ,β∈(−π2 ,π2)，且tanα ,tanβ是方程x2+43x+5=0的两个根，则α+β= .
【典题4】已知sinα−sinβ=−13 ,csα+csβ=12，则cs(α+β)= ．

【典题5】 设0