专题07 三角形中的中位线与中垂线模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【模型1】三角形中位线
如图，已知D、E分别为AB、AC的中点，根据三角形中位线的性质，可得,
根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，可得。
【模型2】梯形中位线
如图，已知，E、F分别为梯形两腰AD、BC的中点，根据梯形中位线的性质，可得,
【模型拓展1】常见的中位线辅助线作法
如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知DE 为的中位线。
【模型拓展2】常见的中位线辅助线作法
如图，在中，已知点D为AB的中点，通常情况下，过点D作，可知BC为的中位线。
【模型3】中垂线模型
如图，已知直线是AB的垂直平分线，点A是直线上的一点，连接AB、AC,根据线段垂直平分线的性质可得AB=AC。
【例1】已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长．
【答案】
【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长．
【解析】解：延长CG交AB于点E．
AG平分，于，
，，
，
∵ ，为的中点，
．
故答案为.
【例2】如图，在菱形中，，点、分别为边、的中点，连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】连接、，交于点，根据三角形的中位线定理知，在菱形中，，易知，解直角三角形OBC知BO=BC∙sin60°=,从而得证．
【解析】证明：如图，连接、，交于点，
、分别是、的中点，
，
在菱形中，，
，，
，
，
．
【例3】已知：如图，在△ABC 中，D在边AB上．
（1）若∠ACD =∠ABC ，求证：AC2 = AD· AB；
（2）若E为CD 中点，∠ACD =∠ABE，AB = 3，AC=2，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】(1)利用两组角分别相等，可证相似，然后对应边成比例，变形即可求解；
(2)过C作CF∥EB交AB的延长线于F，转化成(1)中的相似关系，列比例式，代入AB和AC的值即可求解．
【解析】(1)在和中，
，∠A=∠A，
∴∽，
∴，
∴ ；
(2)过C作CF∥BE交AB的延长线于F，
由于为中点，
∴BF=BD，∠F=∠ABE，
∵，
∴，∠A=∠A，
∴∽，
∴，
∴，
∵，，则，，
∴，
解得：BD=．
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，与交于点O，点E是边的中点，，则的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质证明点O为AC的中点，而点E是BC边的中点，可证OE为△ABC的中位线，利用中位线定理解题即可．
【解析】解：由平行四边形的性质可知AO=OC，
而E为BC的中点，即BE=EC，
∴OE为△ABC的中位线， OE=AB，
由OE=1，得AB=2．
故选B．
2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=2cm，则AB的长为（ ）
A．4cmB．8cmC．2cmD．6 cm
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，得到OA=OC，结合EC=EB，得到OE是△ABC的中位线，根据中位线定理，得到AB=2OE计算选择即可．
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA=OC，
因为EC=EB，
所以OE是△ABC的中位线，
所以AB=2OE，
因为OE=2，
所以AB=4(cm)．
故选A．
3．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，若DE=4，则BC等于（ ）
A．2B．4C．8D．10
【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理计算即可．
【解析】解：∵D、E分别是AB、AC边上的中点，DE=4，
∴BC=2DE=2×4=8，
故选：C．
4．如图，在矩形中，，，平分交于点点，分别是，的中点，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，根据矩形ABCD可得△ABE是等腰直角三角形，所以BE=AB=6，从而可求EC=2，连接DE，由勾股定理得DE的长，再根据三角形中位线定理可求FG的长．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是矩形，
，，，AD∥BC，
，
平分，
，
，
，
，
，
点、分别为、的中点，
是的中位线，
；
故选：B．
二、填空题
5．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC延长线上的一点，AD＝24，点E是BC上一点，BE＝10，连接DE，M、N分别是AB、DE的中点，则MN＝____．
【答案】13
【分析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，由中位线定理可得NF、MF的长度，再根据勾股定理求出MN的长度即可．
【解析】连接BD，取BD的中点F，连接MF、NF，如图所示
∵M、N、F分别是AB、DE、BD的中点
∴NF、MF分别是△BDE、△ABD的中位线
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
在中，由勾股定理得
故答案为：13．
6．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，则∠ADC的度数为________．
【答案】135°
【分析】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝4，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可．
【解析】解：连接BD，
∵E、F分别是边AB、AD的中点，EF＝2，
∴EF∥BD，BD＝2EF＝4，
∴∠ADB＝∠AFE＝45°，
又∵BC＝5，CD＝3，
∴BD2+CD2＝25，BC2＝25，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，
故答案为：135°．
7．梯形ABCD中，，点E，F，G分别是BD，AC，DC的中点，已知：两底差是3，两腰的和是6，则△EFG的周长是______________．
【答案】
【分析】连接AE，并延长交CD于K，利用“AAS”证得△AEB≌△KED，得到DK=AB，可知EF，EG、FG分别为△AKC、△BDC和△ACD的中位线，由三角形中位线定理结合条件可求得EF+FG+EG，可求得答案．
【解析】连接AE，并延长交CD于K，
∵AB∥CD，
∴∠BAE=∠DKE，∠ABD=∠EDK，
∵点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点．
∴BE=DE，
在△AEB和△KED中，
，
∴△AEB≌△KED（AAS），
∴DK=AB，AE=EK，EF为△ACK的中位线，
∴EF=CK=(DC-DK) =(DC-AB)，
∵EG为△BCD的中位线，
∴EG=BC，
又FG为△ACD的中位线，
∴FG=AD，
∴EG+GF=(AD+BC)，
∵两腰和是6，即AD+BC=6，两底差是3，即DC-AB=3，
∴EG+GF=3，FE=，
∴△EFG的周长是3+=．
故答案为：．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE＝CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于_____．
【答案】
【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，当H、P、N'、Q四点共线时，MN+NP＝PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ．
【解析】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N'，连接PH，HQ，则MN'＝QN'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠AEB＝∠BFC，
∵AB∥CD，
∴∠ABP＝∠BFC＝∠AEB，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴PH＝，
∵M点是BC的中点，
∴BM＝MC＝CQ＝，
∵PH+PQ≥HQ，
∴当H、P、Q三点共线时，PH+PQ＝HQ＝ 的值最小，
∴PQ的最小值为，
此时，若N与N'重合时，MN+PN＝MN'+PN'＝QN'+PN'＝PQ＝的值最小，
故答案为．
9．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，E为AC上一点，BE平分∠ABO，EF⊥BC于点F，∠CAD=45°，EF交BD于点P，BP=，则BC的长为_______．
【答案】4
【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=AD=BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．
【解析】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，
∵AB=OB，BE平分∠ABO，
∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，
∴EM是△AOD的中位线，
又∵ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x，
∵EF⊥BC， ∠CAD=45°，AD∥BC，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=FC，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=BC=x，
∵EM∥BF，
∴∠EMP=∠FBP，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF，
则△BFP≌△MEP（ASA），
∴EP=FP=EF=FC=x，
∴在Rt△BFP中，，
即：，
解得：，
∴BC=2=4，
故答案为：4．
10．如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______．
【答案】8
【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线．
【解析】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图，
∵，，
∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵，
∴，
∵，
∴DE=2，
∵BM⊥CE，
∴∠BMD=90°，
∴四边形ABMD是矩形，
∴DM=AB=4，
∴EM=2+4=6，
∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处，
∴BE=BC，
∵BM⊥CE，
∴EC=2EM=12，
∴CD=12-2=10，
∴梯形ABCD的中位线为：，
故答案为：8．
11．如图，平行四边形中，对角线，交于点，，，，分别是，，的中点．下列结论正确的是__________．（填序号）
①；②；③平分；④平分；⑤四边形是菱形．
【答案】①②③
【分析】由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得②结论成立，由得出，即而得出，由中线的性质可知，且，，通过证得出得出①成立，再证得出④成立，此题得解．
【解析】解：令和的交点为点，如图
、分别是、的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
，且，
（两直线平行，内错角相等），
点为的中点，
，
在和中，，
，即②成立，
，，
（内错角相等，两直线平行），
，点为平行四边形对角线交点，
，
为中点，
，
∴∠BEA=，
∵，
∴∠APG=∠BEA=，
，
∵为中点，
∴，即①正确；
∵GE=EF，，
∴平分即③正确；
另外，无法判断平分和四边形是菱形成立，故④⑤错误；
综上所述，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
12．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF=2，CF=6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DEBC，BF=DF，则△ADE的面积为 _____．
【答案】
【分析】根据折叠的性质、平行线的性质、三角形中位线的性质、等边三角形的判定和性质和30°直角三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，
∴DE垂直平分AF．
∴AD=DF，AE=EF．
∵DEBC，
∴DE为ABC的中位线．
∴DE=BC=(BF+CF)=×(2+6)=4．
∵BF=DF，
∴BDF为等边三角形．
∴B=60°．
在RtAFB中，BAF=30°，BF=2，
∴AF=BF=2，
∴四边形ADFE的面积=×DE×AF=×4×2=4．
∴ADE的面积=×4×=2．
故答案为：2．
三、解答题
13．如图，在四边形中，，、分别是边、的中点，的延长线分别、的延长线交于点、，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，根据三角形中位线定理即可得到PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，进而得出∠AHF=∠BGF．
【解析】解：如图所示，连接BD，取BD的中点，连接EP，FP，
∵E、F分别是DC、AB边的中点，
∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，
∴PF=AD，PF∥AD，EP=BC，EP∥BC，
∴∠H=∠PFE，∠BGF=∠FEP，
又∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PEF=∠PFE，
∴∠AHF=∠BGF．
14．如图所示，中，，延长到，使，点是的中点，求证：.
【答案】见解析
【分析】可知EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，可得EF∥AB，EF=AB，又由AD=AB，即可得AD=EF，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEFD是平行四边形．DE=AF，由在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得AF=BC．所以DE=2BC.
【解析】证明：取的中点F，连EF，AF，
∵点E、F分别为边BC，AC的中点，即EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，EF=AB，
即EF∥AD，
∵AD=AB，
∴EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴AF=DE.
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E边BC的中点，
∴AF=BC，
∵四边形AFED是平行四边形，
∴BC=2DE.
15．如图，已知菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，DE = 4cm，∠A =45°，求菱形ABCD的面积和梯形DEBC的中位线长（精确到0.1cm）
【答案】菱形ABCD的面积是22.7cm²，梯形DEBC的中位线长是3.7cm．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=AB，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∵∠A=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=4，
由勾股定理得，，
∴AB=，
∴菱形ABCD的面积为DE×AB=4×=≈22.7cm²，
∵BE=-4，CD=AD=，
∴梯形DEBC的中位线长（-4+）÷2=-2≈3.7cm．
答：菱形ABCD的面积是22.7cm²，梯形DEBC的中位线长是3.7cm．
16．如图，已知在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，OE是△ABC的中位线，连接AE并延长，与DC的延长线相交于点F，且AF=AD，连接BF.证明四边形ABFC为矩形
【答案】证明见解析
【分析】先通过平行四边形及中位线的性质证明△ABE≌△FCE，从而得到四边形ABFC为平行四边形，再结合等腰三角形的三线合一证明∠ACF=90°即可得到答案．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴，AB=CD
∴∠ABE＝∠FCE．
∵OE是△ABC的中位线
∴BE=CE
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE(ASA)
∴AB=CF
∴四边形ABFC为平行四边形
∴CF=CD
又∵AF=AD
∴∠ACF=90°
∴四边形ABFC为矩形
17．已知：如图，在等边中，，且交外角平分线于点.
（1）当点为中点时，试说明与的数量关系；
（2）当点不是中点时，试说明与的数量关系.
【答案】（1），见解析.（2），见解析.
【分析】（1）AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
（2）AD=DE．由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等边三角形，再证明△AFD≌△DCE即可得到结论；
【解析】（1）结论：AD=DE，理由如下：
如图: 过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴DF=BD，∠BFD=60°，
∵BD=CD，
∴DF=CD
∴∠AFD=120°．
∵EC是外角的平分线，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠ADF=∠EDC=30°，
在△AFD与△EDC中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE；
（2）结论：AD=DE；理由如下：
如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，
又∵DF∥AC，
∴∠BDF=∠ACB=60°，
∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∠BFD=60°，
∴AF=CD，∠AFD=120°，
∵EC是外角的平分线，∴∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，
∴∠FAD=∠EDC，
在△AFD和△DCE中，
，
∴△AFD≌△DCE（ASA），
∴AD=DE.
18．中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将绕点A顺时针旋转n°得到，E与B是对应点，如图1．
（1）延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；
（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；
（3）如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用三角形的外角性质可得，从而得到；
（2）连，作于，根据条件得到是等边三角形，则，从而根据计算即可；
（3）取CE中点G，连接PG，QG，构造△GPQ为等腰三角形，并结合中位线定理以及旋转的性质求解∠PGQ=30°，再作CN⊥FA于N点，结合旋转的性质求解出，最后在△GPQ中运用“三线合一”的性质求解出PQ的长度得出结论．
【解析】（1）设、交于点，
是旋转所得，
，
，
，
，
；
（2）连，作于，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
；
（3）如图，取CE中点G，连接PG，QG，
则PG，QG为△BCE和△FCE的中位线，
∴，，△GPQ为等腰三角形，
根据中位线定理可得：∠BCE=∠PGE，∠CEF=∠CGQ，
∴∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=∠BCE+∠CEF-180°，
又∵∠BCE+∠CEF=∠BCE+∠CEA+∠AEF=∠BCE+∠CEA+∠ABC，
∴在四边形ABCE中，∠BCE+∠CEA+∠ABC=360°-∠BAE=360°-150°=210°，
∴∠BCE+∠CEF=210°，∠PGQ=∠PGE+∠CGQ-180°=210°-180°=30°，
作CN⊥FA于N点，根据旋转可知，∠CAF=150°，AC=AF=6，∠AFC=15°，
∴∠CAN=30°，
在Rt△CAN中，AC=6，∠CAN=30°，
∴CN=3，，
∴NF=AN+AF=
由勾股定理得：，
∴，
即：，
此时，作GM⊥PQ，则根据“三线合一”知GM平分∠PGQ，∠MGQ=15°，PM=QM，
∴，
∴，
∴．
19．如图，正方形ABCD的边长为4，E是线段AB延长线上一动点，连结CE．
（1）如图1，过点C作CF⊥CE交线段DA于点F．
①求证：CF=CE；
②若BE=m（0＜m＜4），用含m的代数式表示线段EF的长；
（2）在（1）的条件下，设线段EF的中点为M，探索线段BM与AF的数量关系，并用等式表示．
（3）如图2，在线段CE上取点P使CP=2，连结AP，取线段AP的中点Q，连结BQ，求线段BQ的最小值．
【答案】（1）①详见解析；②；（2）BM= AF；（3）
【分析】（1）①根据正方形的性质以及余角的性质即可证明△DCF≌△BCE，再根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
②根据全等三角形的性质可得DF=BE=m．在Rt△ECF中，由勾股定理即可得出结论；
（2）在直线AB上取一点G，使BG=BE，由三角形中位线定理可得FG=2BM，可以证明AF=AG．在Rt△AFG中由勾股定理即可得出结论．
（3）在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR，由三角形中位线定理可得BQ=PR．在Rt△CBR中，由勾股定理即可得出CR的长，再由三角形三边关系定理即可得出结论．
【解析】（1）解：①证明：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DCB=∠CBE=90°．
∵CF⊥CE，∠FCE=90°，∴∠DCF=∠BCE，∴△DCF≌△BCE（ASA），∴CE=CF．
②∵△DCF≌△BCE，∴DF=BE=m，∴AF=4-m，AE=4+m，由四边形ABCD是正方形得∠A=90°，∴EF==；
（2）解：在直线AB上取一点G，使BG=BE．
∵M为EF的中点，∴FG=2BM，由（1）知，DF=BE，又AD=AB，∴AF=AG．
∵∠A=90°，∴FG=AF，∴2BM=AF，∴BM=AF．
（3）解：在AB的延长线上取点R，使BR=AB=4，连结PR和CR．
∵Q为AP的中点，∴BQ=PR．
∵CP=2，CR==，∴PR≥CR-CP=，∴BQ的最小值为．