专题18 三平行相似模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【理论基础】如图，，若，则.
证明：∵，
∴△DEF∽△DAB，
∴，即①
同理△BEF∽△BCD，
∴，即②
①＋②，得，
.
【例1】如图，的对角线AC，BD相交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①EO⊥AC；②；③；④．
其中正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
【例2】如图，，若 AC  8 ， BD  12 ，则 EF ___________．
【例3】如图：，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG、FG的长．
一、单选题
1．如图，和表示两根直立于地面的柱子，和表示起固定作用的两根钢筋，与相交于点M，已知，则点M离地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，树在路灯O的照射下形成投影，已知树的高度，树影，树与路灯O的水平距离，则路灯高的长是（ ）
A．B．C．D．
3．如图1，小明在路灯下笔直的向远离路灯方向行走，将其抽象成如图2所示的几何图形．已知路灯灯泡距地面的距离AB等于4米，小明CD身高1.5米，小明距离路灯灯泡的正下方距离BC等于4米，当小明走到E点时，发现影子长度增加2米，则小明走过的距离CE等于（ ）
A．在3和4之间B．在4和5之间C．在5和6之间D．在6和7之间
4．如图，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC与BD相交于点O，作OM⊥BC于点M，点E是BD的中点，EF⊥BC于点G，交AC于点F，若AB=4，CD=6，则OM-EF值为（）
A．B．C．D．
5．如图，EF是一个杠杆，可绕支点O自由转动，若动力和阻力的施力方向都始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的大小变化情况是（ ）
A．越来越小B．不变C．越来越大D．无法确定
6．如图，和中，，斜边AC、BD交于点E，过点E作，垂足为F，若，，则EF的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．如图，已如矩形ABCD，将△BCD绕点B顺时针旋转90°至△BEF，连接AC，BF，若点A，C，F恰好在同一条直线上，则______．
8．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
三、解答题
9．如图，一教学楼AB的高为20m，教学楼后面水塔CD的高为30m，已知BC＝30m，小张的身高EF为1.6m．当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE．
10．如图，，E为与的交点，F在上，求证：．
11．如图，AB＝4，CD＝6，F在BD上，BC、AD相交于点E，且ABCDEF．
(1)若AE＝3，求ED的长．
(2)求EF的长．
12．如图，圆、圆为两个不相交的圆，记圆的半径为，圆的半径为，有，E是两圆连心线上的一点，满足关系式，点F、G为圆A上任意的动点，作直线EF、EG分别与圆C交于H、I、J、K四点，连接IK
(1)设圆、圆的两条外的公切线分别为，证明总是在点E处相交；
(2)若固定点，让点在圆上移动，证明：此时的值与的位置无关；
(3)当IK时，连接、，设与交于，证明在上，且满足
13．如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．
(1)求证：BE=FG；
(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．
14．某天晚上，小明看到人民广场的人行横道两侧都有路灯，想起老师数学课上学习身高与影长的相关知识，于是自己也想实际探究一下．为了探究自己在两路灯下的影长和在两路灯之间的位置关系，小明在网上从有关部门查得左侧路灯（AB）的高度为4.8米，右侧路灯（CD）的高度为6.4米，两路灯之间的距离（BD）为12米，已知小明的身高（EF）为1.6米，然后小明在两路灯之间的线段上行走（如图所示），测量相关数据．
(1)若小明站在人行横道的中央（点F是BD的中点）时，小明测得自己在两路灯下的影长FP＝ 米，FQ＝ 米；
(2)小明在移动过程中，发现在某一点时，两路灯产生的影长相等（FP＝FQ），请问时小明站在什么位置，为什么？
，
15．如图1，在四边形中，，，，点是边的中点，连接交对角线于点，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的面积；
(3)如图2，连接交于点，点为上一动点，连接、．将沿折叠得到，交于点，当为直角三角形时，求的长．