专题28 圆中的定弦定角和最大张角模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【模型1】定弦定角模型
如图28-1，在中，BC的长为定值，为定角度，
（1）确定点A的运动轨迹，有3种情况：
①如图28-2，当时，点A的运动轨迹为优弧BAC（不与B、C点重合）；
②如图28-3，当时，点A的运动轨迹为⊙O（不与点B、C重合）；
③如图28-4，当时，点A的运动轨迹为劣弧BAC（不与B、C点重合）。
（2）构成等腰三角形（AB=AC）时：点A到BC的距离最大，且此时的面积最大。
【模型变式1】
如图28-5，已知点A、B是的边PF上的两个定点，点Q是边PE上一动点，则当点Q在何处时，最大。
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
【证明】如图28-6，作的外接圆⊙O，设点为PE上不同与Q点的任意一点，连接、，与⊙O交于点D，连接BD，
当的外接圆与边PE相切于点Q时，最大。
【例1】如图，在中，，，，过点作的平行线，为直线上一动点，为的外接圆，直线交于点，则的最小值为__________．
【例2】数学概念
若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.
理解概念
（1）若点是的等角点，且，则的度数是 .
（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）
①如图①，
②如图②，
深入思考
（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）
（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：
①直角三角形的内心是它的等角点；
②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；
③正三角形的中心是它的强等角点；
④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；
⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）
一、单选题
1．如图，C，D是上直径AB两侧的两点，若，则的度数是（ ）
A．50°B．60°C．80°D．70°
2．如图，四边形内接于，连接，，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，为的直径，是的弦，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
6．如图，已知、在以为直径的上，若，则的度数是_________．
7．如图，直线l与⊙O相交于点B、D，点A、C是直线l两侧的圆弧上的动点，若⊙O的半径为1，∠A＝30°，那么四边形ABCD的面积的最大值是_______．
8．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC＝50°，∠AED＝75°，则的度数是_________°．
9．如图，∠MAN＝45°，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，当 sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为_________
三、解答题
10．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”．如图所示，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
（1）求“蛋圆”抛物线部分的解析式及“蛋圆”的弦的长；
（2）已知点是“蛋圆”上的一点（不与点，点重合），点关于轴的对称点是点，若点也在“蛋圆”上，求点坐标；
（3）点是“蛋圆”外一点，满足，当最大时，直接写出点的坐标．
11．如图，抛物线交x轴于点，，D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为，交直线l：于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设的面积为，的面积为，当时，求点P的坐标；
（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．
12．一个角的顶点在圆外，两边都与该圆相交，则称这个角是它所夹的较大的弧所对的圆外角．
（1）证明：一条弧所对的圆周角大于它所对的圆外角；
（2）应用（1）的结论，解决下面的问题：某市博物馆近日展出当地出土的珍贵文物，该市小学生合唱队计划组织120名队员前去参观，队员身高的频数分布直方图如图1所示．该文物高度为，放置文物的展台高度为，如图2所示．为了让参观的队员站在最理想的观看位置，需要使其观看该文物的视角最大（视角：文物最高点P、文物最低点Q、参观者的眼睛A所形成的），则分隔参观者与展台的围栏应放在距离展台多远的地方？请说明理由．（说明：①参观者眼睛A与地面的距离近似于身高；②通常围栏的摆放位置需考虑参观者的平均身高）
13．如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．