专题29 三角形的内切圆模型-中考数学几何模型（重点专练）

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【模型】如图29-1，已知⊙O为的内切圆。
（1）OA、OB、OC分别平分；
（2）点O到AB，BC，AC的距离相等，均为⊙O的半径。
【例1】如图，在中，其周长为20，⊙I是的内切圆，其半径为，则的外接圆半径为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】D
【分析】过C作CD⊥AB于D，由结合面积求出BC的长，由内心可以求出，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，求出圆心角，最后由垂径定理求出半径OB
【解析】过C作CD⊥AB于D，的外接圆圆心为O,F是优弧BC上任意一点，过O作OE⊥BC于E，设，
∵，
∴，
∵在周长为20，内切圆半径为，
∴，
∴
∴
中，
∴
∵在周长为20，
∴
∴
解得
∵是的内心
∴BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB
∴
∵
∴
∴
∵°
∴
∴
∵OE⊥BC
∴,
∴
故选D
【例2】如图，中，，则的内切圆半径为_________．
【答案】4
【分析】先作AD⊥BC于点D，利用勾股定理求AD，再求三角形ABC的面积，利用内心与三顶点连线将三角形分成三个三角形，利用内切圆的半径求三个三角形面积，利用面积构造r的等式，求出即可．
【解析】过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，CD=14-x，
∴AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，
∴132-x2=152-(14-x)2，
解得：x=5，
AD=，
S△ABC==84，
设的内切圆半径为r，连结AI，BI，CI，
则，
S△ABC＝=，
∴，
∴21r=84，
∴r=4，
故答案为：4．
【例3】如图，AB=AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．
（1）求证：∠AOC=135°；
（2）若NC=3，BC=，求DM的长．
【答案】（1）见解析；（2）DM=1．
【分析】(1)只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题；
(2)由切线长定理可知：AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，在Rt△BDC中，根据，构建方程即可解决问题．
【解析】（1）证明：连接OM，ON，过O点做OE⊥AC，交AC于E，如图所示，
∵⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∵OA平分∠BAC，OE⊥AC，OM⊥AB，
∴OM=OE，
即：E为⊙O的切点；
∴OE=ON，
又∵OE⊥AC，ON⊥CD，
∴OC平分∠ACD，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠OAC+∠OCA=45°，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-45°=135°，
即：∠AOC=135°，
（2）由（1）得，AM=AE，DM=DN，CN=CE=3，设DM=DN=x，
∵AB=AC，
∴BD=AB-AD=AC-AE-DM=CE=DM=3-x，
∵CD=3+x，
在Rt∆BCD中，由勾股定理得：，
即：，
解得：x=1或x=-1（舍去），
即DM=1．
一、单选题
1．若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比．
【解析】解：如图，由题意得：
，
由切线长定理可得：

设
，
，

而



故选B．
2．如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（ ）
A．65°B．60°C．58°D．50°
【答案】B
【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解析】解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=∠EOF=60°，
故选：B．
3．如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，，，，，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.
【解析】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=
∵矩形的周长为，
∴x+y=8①
∵和分别为和的内切圆，
∴②
由矩形的对称性知，
∵，
∴，
∴，
即③
由①、②、③联立方程组，解得：
r=1，xy=14，，
作EH⊥FH于H，由勾股定理得：
=36-32+8
=12，
∴EF=，
故选：B.
4．如图，点是的内心，，则 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出，求出，求出的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解析】解：，
，
点是的内心，
，，
，
．
故选：D．
二、填空题
5．已知平面直角坐标系中，点A(5，0)、B(，)和点P(a，a)．若⊙M是△PAB的内切圆，则⊙M面积的最大值是________________．
【答案】π
【分析】先求出AB解析式，得到AB与l平行，求出S△ABP为定值，由S△ABP=，可得当△PAB的周长最小时符合题意，再根据对称性得到△PAB的周长值求出r，故可求解．
【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b
把A(5，0)、B(，)代入得
解得
∴
∵P(a，a)
∴P点在直线l：上
∴ABl
∴S△ABP为定值
如图，作AC⊥l，在Rt△AOC中，∵k==tan∠AOC
∴
设AC=3a，CO=4a，
∵AO=5，
∴AC2+CO2=AO2，即（3a）2+（4a）2=52，解得a=1，
∴AC=3，
∵AB=，
∴S△ABP=为定值，
设△PAB的内切圆⊙M半径为r，
∵S△ABP= ，
∴当最小时，
∵=AB+BP+AP，
当BP+AP最小时符合题意，
作点A关于直线l的对称点D，
∴PD=PA，
当PA+PB=BD时，BP+AP最小，
∵ABl，
∴∠DAB=90°，AD=2AC=6，
∴BD=，
∴最小值为18，
此时r=，
∴⊙M面积为=π，
故答案为：π．
6．如图，在中，，，，⊙为的内切圆，，与⊙分别交于点，．则劣弧的长是_______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到，接着三角形角平分线的性质得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长．
【解析】解：，，，
，
为的内切圆，
，平分，平分，
，
劣弧的长．
故答案为．
7．如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为______．
【答案】（2，3）
【分析】根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC的关系式为：y=kx+b，求出BC与x轴的交点G的坐标，证出点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，三角形的内心在BD上，设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到点M的坐标．
【解析】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB=，AC=，BC=，
∵，
∴∠BAC=90°，
设BC的关系式为：y=kx+b，
代入B，C，
可得，
解得：，
∴BC：，
当y=0时，x=3，即G（3,0），
∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线，
设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF为正方形，
S△ABC=，
解得：，
即AE=EM=，
∴BE=，
∴BM=，
∵B（-3，3），
∴M（2，3），
故答案为：（2，3）．
8．已知的三边a、b、c满足，则的内切圆半径=____．
【答案】1
【分析】先将变形成，然后根据非负性的性质求得a、b、c的值，再运用勾股定理逆定理说明△ABC是直角三角形，最后根据直角三角形的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半解答即可．
【解析】解：
则=0，c-3=0，a-4=0，即a=4，b=5，c=3，
∵42+32=52
∴△ABC是直角三角形
∴的内切圆半径==1．
故答案为1．
9．如图，的内切圆与分别相切于点，且，，则阴影部分的面积为_______ (结果保留)．
【答案】
【分析】先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再设的半径为r，根据三角形的面积公式得出r的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得．
【解析】
是直角三角形，且
设的半径为r，则
内切圆与分别相切于点
即
解得
又
四边形AEOF是矩形，
矩形AEOF是正方形
则
故答案为：．
10．如图，是四边形的内切圆，连接、、、．若，则的度数是____________．
【答案】
【分析】如图，设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到，，，，根据这8个角和为360°，∠1+∠8=，即可求出=∠5+∠4=72°．
【解析】解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，
则，，，且，
在与中
∴，
∴，
同理可得：，，，
．
故答案为：
三、解答题
11．已知：．
问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）
问题二：若的周长是24，的面积是24，，求的内切圆半径．
【答案】（1）见解析；（2）r=2
【分析】（1）先作∠B和∠C的平分线交于点O，再过点O作OH⊥AB于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆即可；
（2）连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC得到rAB+rBC+rAC=24，变形得到 r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值．
【解析】解：（1）如图，为所求作的的内切圆；
（2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，
设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r，
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
∴rAB+rBC+rAC=24，
∴ r（AB+BC+AC）=24，
∴ r24=24，
∴r=2．
即的内切圆的半径为2．
12．如图，⊙O是△ABC的内切圆，且⊙O与△ABC的三边分别切于点D、E、F，已知AB长为10cm，BC长为6cm，AC长为8cm．
（1）求AE、CD、BF的长；
（2）连接OD，OE，判断四边形ODCE的形状，并说明理由；
（3）求⊙O的面积．
【答案】（1）AE=6cm；CD=2cm；BF=4cm；（2）四边形ODCE是正方形，理由见解析；（3）4π．
【分析】（1）根据切线长定理列出方程组可以得到解答；
（2）连接OD、OE，则由切线性质和勾股定理可得∠C=∠OEC=∠ODC=90°，所以四边形ODCE是矩形，再由OE=OD可知四边形ODCE是正方形；
（3）由（2）可得⊙O的半径OD=CD=2cm，所以由面积公式即可求得⊙O的面积．
【解析】解：（1）设AE=xcm，CD=ycm，BF=zcm，
则由切线长定理可得：AF=AE=x，CE=CD=ycm，BD=BF=zcm，
∴由题意可得：，解之可得： ，
∴AE=6cm，CD=2cm，BF=4cm；
（2）四边形ODCE是正方形，理由如下：
如图，连接OD、OE，
∵，
∴∠C=90°，
又CA、CB与⊙O相切，∴∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，∴四边形ODCE是正方形；
（3）由（2）知，⊙O的半径OD=CD=2cm，
∴．
13．如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12．
（1）求BF的长；
（2）求⊙O的半径r．
【答案】（1）BF＝10；（2）r=2．
【分析】（1）设BF＝BD＝x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
（2）证明四边形OECF是矩形，推出OE＝CF即可解决问题．
【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，
∴AC＝＝＝5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE，
设BF＝BD＝x，则AD＝AE＝13﹣x，CFCE＝12﹣x，
∵AE+EC＝5，
∴13﹣x+12﹣x＝5，
∴x＝10，
∴BF＝10．
（2）连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE＝CF＝BC﹣BF＝12﹣10＝2．
即r＝2．
14．已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．
(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；
(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．
【答案】（1）r=3cm. (2) r=（a+b-c）．
【分析】首先设AC、AB、BC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得： CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长．
【解析】（1）如图,连接OD，OF；
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12cm，BC=9cm；
根据勾股定理AB==15cm；
四边形OFCD中，OD=OF，∠ODC=∠OFC=∠C=90°；
则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；
则CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（12+9-15）=3cm．
（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得： CD=CF=（AC+BC-AB）；
即：r=（a+b-c）．则⊙O的半径r为：（a+b-c）．
15．如图，在中，，，是的外接圆，连接并延长交于点，连接，点是的内心．
（1）请用直尺和圆规作出点，证明；
（2）求线段长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）三角形内心的作法确定点E，点是的内心可得到，是的外接圆，用外接圆的性质可以求出，再用三角形角之间的关系可以证明．
（2）得到 为的直径，是的外接圆可知垂直平分，是内心可推出，再用三角函数的性质可求出．
【解析】（1）如图，点即为所求．
∵，，
∴．
连接BE，
∵点是的内心，
∴．
∵是的外接圆，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴为的直径，
∴
∵是的外接圆
∴垂直平分
∴平分
∵是内心
∴平分
∴点在线段上，即
∵
∴，
∴
∵
∴．
16．如图，的半径是3，点是上一点，弦垂直平分线段，点是上的任意一点（不与，重合），于点，以为圆心，为半径作，分别过，两点作的切线，切点分别为，，两切线交于点．
（1）求弦的长；
（2）求的大小；
（3）设的面积为，若，求的半径．
【答案】（1）；（2）60°；（3）1
【分析】（1）连结，记与的交点为，则有．由弦垂直平分线段，可得，．在中求得，即可得；
（2）连结，，，由（1）得，，即可得，所以，．由题意，得点为的内心，可得，．再由，即可得．
（3）连结，，，设的周长为，的半径为，则有，，，所以．又因，是的切线，可得，在直角中，，求得．已知，可得，解之即可得的半径．
【解析】（1）如图，连结，记与的交点为，则有．
∵弦垂直平分线段，
∴，．
在中，
∵，
∴．
（2）如图，连结，，，
由（1）得，，∴，
∴，∴．
∵由题意，得点为的内心，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（3）如图，连结，，ME，设的周长为，的半径为，
则有，，，
∴．
∵，是的切线，
∴，
∴在直角中，，
∴．
∵，
∴，
∴，或（舍去），
∴的半径是1．
17．【特例感知】
（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离．
【类比迁移】（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，BD平分，，，求的内心与外心之间的距离．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）如图①中，作于，于．理由面积法求出，再利用角平分线的性质定理可得解决问题；
（2）如图②中，结论：．只要证明，推出，，推出即可解决问题；
（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【解析】解：（1）如图①中，作于，于．
图①
平分，，，
，
是直径，
，
，
，
，
．
故答案为
（2）如图②中，结论：．
图②
理由：作于，连接，．
平分，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）如图③，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线．
图③
，
正方形的边长为7，
由（2）可知：，
，
由切线长定理可知：，
，
设内切圆的半径为，
则
解得，
即，
在中，．
故答案为．
18．如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（）
（1）当点落到轴正半轴上时，求边在旋转过程中所扫过的面积；
（2）若线段与轴的交点为（如图2），线段与直线的交点为，当时，求此时内切圆的半径；
（3）设的周长为，试判断在正方形旋转的过程中值是否发生变化，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不发生变化，理由见详解.
【分析】（1）由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积由此计算即可．
（2）如图2中，在取一点，使得，首先证明是等腰直角三角形，推出，设，则，可得，解得，推出，同理可得，推出，设的内切圆的半径为，则有，由此求出即可解决问题．
（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．如图3中，延长到使得．只要证明，推出，，再证明，推出，推出的周长．
【解析】解：（1）如图1中，
由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积
．
（2）如图2中，在取一点，使得，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，设，则，
，
，
，同理可得，
，
设的内切圆的半径为，
则有，
．
（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化．
理由：如图3中，延长到使得．
，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
的周长
，
的周长为定值．
19．阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．
∴．
（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；
（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=13，⊙O1与⊙O2分别为△ABD与△BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.
【答案】（1）（2）.
【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则△AOB、△BOC、△COD和△DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边形的内切圆半径r.
（2）过点D作DE⊥AB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，，两式相除，即可得到的值.
【解析】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD.
∵
∴
（2）如图（3），过点D作DE⊥AB于点E，
∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴
∴
在Rt△AED中，
∵AD=13，AE=5，∴DE=12，
∴
∵AB∥DC，∴.
又∵，
∴.即.
20．如图1，设是一个锐角三角形，且，为其外接圆，分别为其外心和垂心，为圆直径，为线段上一动点且满足．
（1）证明：为中点；
（2）过作的平行线交于点，若为的中点，证明： ；
（3）直线与圆的另一交点为（如图2），以为直径的圆与圆的另一交点为．证明：若三线共点，则；反之也成立．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）连接AD，BD，得，结合H为垂心，，得出四边形为平行四边形，得到，结合平行，O为CD中点，可得M为BC中点；
（2）过作，由， 为平行四边形，证明H为的垂心，从而得到；
（3）设与交点为，得到，证明H是的垂心，证明三线共点得三点共线，得到．
【解析】解：（1）连接，则，
又为垂心
∴，
∴
∴四边形为平行四边形
∴，又为中点
∴为中点
（2）过作
连接，由（1）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形
∵
∴
∴为垂心
∴
∴
（3）设与交点为
由（1）可知四边形为平行四边形
∴为直径中点
而圆与圆相交弦为
∴
∴
设
则为垂心
∴
三线共点三点共线