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上海市进才中学曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份上海市进才中学曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题（原卷版+解析版），文件包含上海市进才中学曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题原卷版docx、上海市进才中学曹杨二中2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
考生注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 已知x为正整数，若，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用组合数的运算性质建立方程，再合理取舍即可.
详解】若，则或，解得或，
而x为正整数，故符合题意.
故答案为：3
2. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___.
【答案】
【解析】
【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积.
【详解】圆锥底面积为，则底面半径为3，又圆锥的高为4，
则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为
故答案为：
3. 设.若直线和直线平行，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件建立方程，求解参数即可.
【详解】若直线和直线平行，
可得，解得，
则直线为，直线为，
显然两直线平行，故符合题意
故答案为：4.
4. 已知事件A与事件B相互独立，若，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件和对立事件概率公式求解即可.
【详解】已知事件A与事件B相互独立，可推出事件A与事件相互独立，
故，解得，
故.
故答案为：
5. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第百分位数为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可.
【详解】由题知，
样本数据有，
共个，则，
则这组数据的第百分位数为.
故答案为：
6. 设n为正整数，已知的二项展开式中第4项为常数项.若从展开式中任取一项，则该项的系数为偶数的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，令，得到求出项的系数是偶数的个数，再结合古典概型求解即可.
【详解】设展开式中的通项为，则，
当时，，解得，∴展开式中共有7项，
其中只有3项的系数为偶数.该项的系数为偶数的概率是.
故答案为：
7. 已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
若回归方程为，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】先求样本中心点，利用回归方程一定经过样本中心点可求答案.
【详解】，，
因为回归方程为，所以，解得.
故答案为:2
8. 设，P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.
【详解】
由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为，
因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行，
则两直线之间的距离即为的最大值，此时.
故答案为：
9. 设，已知随机变量，随机变量.若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可.
【详解】由，得，
由，且设，
故有，解得，则.
故答案为：
10. 已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为________米.（取，结果精确到个位）
【答案】22
【解析】
【分析】利用展开前后卷纸的体积相等可得答案.
【详解】设圆柱的高为，则卷纸的体积为，
每层纸的厚度为厘米，展开后的体积为，
所以，解得厘米，
所以这个卷纸的长度为22米.
故答案为：22.
11. 某景点的票价为5元，售票窗口只有2张5元并有足够多的门票.现有4人持一张5元，5人持一张10元来买票，则没有顾客需要等待找钱的概率为________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用计数中折线法求出总情况数，再利用对称求出符合的情况数，最后利用古典概型求解即可.
【详解】设售票窗口每次售票后累计有张10元,张5元(不考虑找零),记为数组，
则顾客一种买票的情况即为到的变化途径,
变化途径为:顾客买元票，则横坐标加1，否则纵坐标加1.
故不同的买票情况共有种情况.
每种不同的买票情况对于图中从坐标到坐标的最短途径.
若没有顾客需要等待找钱，则需即最短途径与直线没有交点,
考虑关于直线的对称点，该对称点为，
考虑到的最短途径，数目为，
故没有顾客需要等待找钱的情况共有种，
设所求概率为，则，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用对称求出符合的情况数，再利用古典概型得到所要求的概率即可．
12. 已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最大，根据位置关系建立方程，解得圆心坐标及圆的半径.
【详解】如图:
由圆的性质知：圆心M在AB的垂直平分线上，设AB与直线交于点，
记圆半径为R，当最大时，最大，即最大，
则，由正弦函数的单调性知，最大时，最小，此时两圆内切.
设，，又的圆心，半径为，
所以，即，
平方化简得，
进一步平方化简得，解得或（舍去），
所以，即圆的半径为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把角的最大问题转化为两圆内切时的半径问题，根据两圆位置关系列式计算即可.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
13. 抛物线的焦点是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.
【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.
14. 已知一组样本数据，，，…，满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数的概念判断A，根据中位数的概念判断B，根据极差的概念判断C，根据方差的概念判断D.
【详解】由，知原始中位数为，新数据的中位数为与没法比较，
即中位数不一定变化，故B不符合题意；
原平均数为，新平均数为，
平均数受极端值影响较大，所以平均数不一定变化，故选项A不符合题意；
去掉后，原始数据和新数据的极差都是，故极差一定不变化，故C不符合题意；
因为，去掉后剩余的8个数的波动变大了，故新数据的方差比原方差要大，故D符合题意.
故选：D
15. 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可.
【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，
使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，
则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，
所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是，
则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：；
甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中，
此时不同的分组方法数为：；
所以不同的分组方法数为：.
故选：B.
16. 如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（ ）
A. ①、②都正确B. ①、②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出，即说明直线与不恒为异面直线.
【详解】①如图，当点是线段交点时，满足题意.
此时无论点在线段何处，线段都在平面上，
由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确；
②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点，
由于正方体中，由平行传递公理得，
在中，作，且交于点，
在左侧面上，延长，且；
在后侧面上，延长，且，
连接，由公理及推论可得在截面上，
由于，
所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上.
如图，当在截面上，则与重合，
则由∽得，
由∽得，
不妨设，正方体棱长为，又，设，，
则，解得，
此时直线与为共面直线，故②错误.
故选：C.
【点睛】结论点睛：判断是否是异面直线，可以作其中一条直线的平行线与另一条直线构成的平面，再判断第一条直线是否在该平面上.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，，
（1）证明：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于O，连接，证明可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离，再由线面角公式求解即可.
【小问1详解】
连接交于O，连接，如图，
四边形是菱形，所以，
又，，是的中点，
所以且，
由，可知为正三角形，
所以，，
在中，，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设到平面的距离为，
因为中，，，
所以，
又，，
所以由，可得,
即,
设直线和平面所成角为，
则.
18. 某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗，在200名志愿者中进行试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.经检测发现，志愿者中体内产生抗体的共有150人，其中该项指标值不小于30的有110人.
（1）求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下列列联表；
（3）根据列联表判断，在显著性水平的前提下，能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关？
参考公式：，其中；参考数据：.
【答案】（1）35.5
（2）表格见解析 （3）不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关
【解析】
【分析】（1）利用区间中点值和频率的积可求答案；
（2）根据频率分布直方图可以得出数据，进而完成表格；
（3）计算卡方，根据临界值可以判断是否有关.
【小问1详解】
由题意平均值为.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知指标值不小于30的有人，
【小问3详解】零假设：注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关，
，
没有充分的理由说明注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关，
即不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关.
19. 某企业准备把一种新型零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格率为90％，乙工厂试生产的另一批零件的合格率为96％；若将这两批零件混合放在一起，则合格率为94％.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求随机变量X的分布和期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知，求证：.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知服从二项分布，写出分布列和期望即可；
（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即，化简变形即可证得.
【小问1详解】
设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则，，
，
即，
解得：，所以，
的可能取值为，且由题意知：，
所以，，
，，
所以的分布列为：
.
【小问2详解】
证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
即，因为，
所以，
由，
所以，
即得：，
所以，
即，
由因为，
所以，
因为，所以，
所以.
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
（3）设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入得到，由得到，联立即可得解；
（2）由在直线上，且为中点，解出值即可；
（3）设出直线的方程，联立直线与曲线的方程得到，结合题意解出即可.
【小问1详解】
因为是双曲线C上一点，所以，
由，所以，
因为，所以，
即，联立解得：，
所以双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1，
不妨设，，由的方程为：，
将代入得：，
同理，由中点，则，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
【小问3详解】
设，点与点关于原点对称，所以，
设直线的方程为，
由，得，
由可知或，
则，
所以
，
由题意知：，
所以，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点.
（1）若是直线l一个法向量，求直线l的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程；
（3）在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由条件得到直线l的斜率为，从而写出方程.
(2)设直线l的方程为，与椭圆方程联立写出韦达定理，由，求解出答案.
(3) 设由,则,即,即，从而可得从而可证.
【详解】（1）直线l的一个法向量为，则直线l的斜率为
又直线l过点，所以直线l的方程为：，即
（2）根据题意直线l的斜率不为0，则其方程为：
设
所以,可得
所以，即
，
，即
设，则
所以，即，解得 或
即或
经检验，或都满足
所以直线l的方程为：或
即直线l的方程为：或
（3）设
根据题意，Q点在之间，不妨设点在点的左侧.
当直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点轴上方时，
由
则,即
所以，则
同理当A，B两点轴下方时，也有成立.
所以当直线l的斜率不为0时，有，
由（2）有
当直线l的斜率为0时，即A，B两点为椭圆的左右顶点，即
所以满足的点为
综上所述: 满足条件的点Q在直线上.即点Q在一条定直线上.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由三角形的面积，以及根据条件，得到，进一步有.
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
指标值
指标值
合计
产生抗体
未产生抗体
合计
指标值
指标值
合计
产生抗体
40
110
150
未产生抗体
10
40
50
合计
50
150
200
考生注意：
1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.
2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1. 已知x为正整数，若，则________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用组合数的运算性质建立方程，再合理取舍即可.
详解】若，则或，解得或，
而x为正整数，故符合题意.
故答案为：3
2. 已知某圆锥的高为4，底面积为，则该圆锥的侧面积为___.
【答案】
【解析】
【分析】先求得圆锥的底面半径和母线长，进而求得该圆锥的侧面积.
【详解】圆锥底面积为，则底面半径为3，又圆锥的高为4，
则圆锥的母线长为5，则该圆锥的侧面积为
故答案为：
3. 设.若直线和直线平行，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】利用两直线平行的条件建立方程，求解参数即可.
【详解】若直线和直线平行，
可得，解得，
则直线为，直线为，
显然两直线平行，故符合题意
故答案为：4.
4. 已知事件A与事件B相互独立，若，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用独立事件和对立事件概率公式求解即可.
【详解】已知事件A与事件B相互独立，可推出事件A与事件相互独立，
故，解得，
故.
故答案为：
5. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：）的样本数据的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的第百分位数为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据茎叶图得出从小到大的数据，利用百分位数定义直接求解即可.
【详解】由题知，
样本数据有，
共个，则，
则这组数据的第百分位数为.
故答案为：
6. 设n为正整数，已知的二项展开式中第4项为常数项.若从展开式中任取一项，则该项的系数为偶数的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项式定理得到展开式的通项，令，得到求出项的系数是偶数的个数，再结合古典概型求解即可.
【详解】设展开式中的通项为，则，
当时，，解得，∴展开式中共有7项，
其中只有3项的系数为偶数.该项的系数为偶数的概率是.
故答案为：
7. 已知具有线性相关关系的两个变量x、y之间的一组数据如下：
若回归方程为，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】先求样本中心点，利用回归方程一定经过样本中心点可求答案.
【详解】，，
因为回归方程为，所以，解得.
故答案为:2
8. 设，P为双曲线右支上一动点.若点P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】依据题意将题目转化为平行线间距离的最值问题，利用平行线间距离公式建立方程，求解参数值即可.
【详解】
由双曲线方程可得，则双曲线的一条渐近线方程为，
因为双曲线无限接近于渐近线，且显然直线与直线平行，
则两直线之间的距离即为的最大值，此时.
故答案为：
9. 设，已知随机变量，随机变量.若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正态分布的运算性质结合给定条件建立方程，求解即可.
【详解】由，得，
由，且设，
故有，解得，则.
故答案为：
10. 已知卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱.小吴想测量一个卷纸展开后的总长度，测得小圆柱底面的直径为4.0厘米，大圆柱底面的直径为10.0厘米.由于单层纸的厚度不易测量，小吴利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米.试估算这个卷纸的长度为________米.（取，结果精确到个位）
【答案】22
【解析】
【分析】利用展开前后卷纸的体积相等可得答案.
【详解】设圆柱的高为，则卷纸的体积为，
每层纸的厚度为厘米，展开后的体积为，
所以，解得厘米，
所以这个卷纸的长度为22米.
故答案为：22.
11. 某景点的票价为5元，售票窗口只有2张5元并有足够多的门票.现有4人持一张5元，5人持一张10元来买票，则没有顾客需要等待找钱的概率为________.（结果用最简分数表示）
【答案】
【解析】
【分析】利用计数中折线法求出总情况数，再利用对称求出符合的情况数，最后利用古典概型求解即可.
【详解】设售票窗口每次售票后累计有张10元,张5元(不考虑找零),记为数组，
则顾客一种买票的情况即为到的变化途径,
变化途径为:顾客买元票，则横坐标加1，否则纵坐标加1.
故不同的买票情况共有种情况.
每种不同的买票情况对于图中从坐标到坐标的最短途径.
若没有顾客需要等待找钱，则需即最短途径与直线没有交点,
考虑关于直线的对称点，该对称点为，
考虑到的最短途径，数目为，
故没有顾客需要等待找钱的情况共有种，
设所求概率为，则，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解题关键是利用对称求出符合的情况数，再利用古典概型得到所要求的概率即可．
12. 已知动圆M经过点、，P是圆M与圆C：的一个公共点.当最大时，圆的半径为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系确定两圆内切时最大，根据位置关系建立方程，解得圆心坐标及圆的半径.
【详解】如图:
由圆的性质知：圆心M在AB的垂直平分线上，设AB与直线交于点，
记圆半径为R，当最大时，最大，即最大，
则，由正弦函数的单调性知，最大时，最小，此时两圆内切.
设，，又的圆心，半径为，
所以，即，
平方化简得，
进一步平方化简得，解得或（舍去），
所以，即圆的半径为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是把角的最大问题转化为两圆内切时的半径问题，根据两圆位置关系列式计算即可.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）
13. 抛物线的焦点是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断焦点的位置，再从标准型中找出即得焦点坐标.
【详解】焦点在轴上，又，故焦点坐标为，故选D.
【点睛】求圆锥曲线焦点坐标，首先要把圆锥曲线的方程整理为标准方程，从而得到焦点的位置和焦点的坐标.
14. 已知一组样本数据，，，…，满足：，则去掉后，下列数字特征中一定变化的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数的概念判断A，根据中位数的概念判断B，根据极差的概念判断C，根据方差的概念判断D.
【详解】由，知原始中位数为，新数据的中位数为与没法比较，
即中位数不一定变化，故B不符合题意；
原平均数为，新平均数为，
平均数受极端值影响较大，所以平均数不一定变化，故选项A不符合题意；
去掉后，原始数据和新数据的极差都是，故极差一定不变化，故C不符合题意；
因为，去掉后剩余的8个数的波动变大了，故新数据的方差比原方差要大，故D符合题意.
故选：D
15. 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可.
【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，
使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，
则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，
所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是，
则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：；
甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中，
此时不同的分组方法数为：；
所以不同的分组方法数为：.
故选：B.
16. 如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（ ）
A. ①、②都正确B. ①、②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确
【答案】C
【解析】
【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出，即说明直线与不恒为异面直线.
【详解】①如图，当点是线段交点时，满足题意.
此时无论点在线段何处，线段都在平面上，
由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确；
②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点，
由于正方体中，由平行传递公理得，
在中，作，且交于点，
在左侧面上，延长，且；
在后侧面上，延长，且，
连接，由公理及推论可得在截面上，
由于，
所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上.
如图，当在截面上，则与重合，
则由∽得，
由∽得，
不妨设，正方体棱长为，又，设，，
则，解得，
此时直线与为共面直线，故②错误.
故选：C.
【点睛】结论点睛：判断是否是异面直线，可以作其中一条直线的平行线与另一条直线构成的平面，再判断第一条直线是否在该平面上.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，三棱柱中､四边形是菱形，且，，，，
（1）证明：平面平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于O，连接，证明可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；
（2）利用等体积法求出点到平面的距离，再由线面角公式求解即可.
【小问1详解】
连接交于O，连接，如图，
四边形是菱形，所以，
又，，是的中点，
所以且，
由，可知为正三角形，
所以，，
在中，，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
设到平面的距离为，
因为中，，，
所以，
又，，
所以由，可得,
即,
设直线和平面所成角为，
则.
18. 某药物公司为了研发一种抗病毒疫苗，在200名志愿者中进行试验.研究人员将疫苗注射到200名志愿者体内，一段时间后测量志愿者的某项指标值，按[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图.经检测发现，志愿者中体内产生抗体的共有150人，其中该项指标值不小于30的有110人.
（1）求这200名志愿者该项指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下列列联表；
（3）根据列联表判断，在显著性水平的前提下，能否认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关？
参考公式：，其中；参考数据：.
【答案】（1）35.5
（2）表格见解析 （3）不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关
【解析】
【分析】（1）利用区间中点值和频率的积可求答案；
（2）根据频率分布直方图可以得出数据，进而完成表格；
（3）计算卡方，根据临界值可以判断是否有关.
【小问1详解】
由题意平均值为.
【小问2详解】
由频率分布直方图可知指标值不小于30的有人，
【小问3详解】零假设：注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关，
，
没有充分的理由说明注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关，
即不能认为注射疫苗后产生抗体与指标值不小于30有关.
19. 某企业准备把一种新型零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格率为90％，乙工厂试生产的另一批零件的合格率为96％；若将这两批零件混合放在一起，则合格率为94％.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个.用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求随机变量X的分布和期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该企业把零件交给甲工厂生产的概率.用事件A表示“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件B表示“该企业把零件交给甲工厂生产”.已知，求证：.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知服从二项分布，写出分布列和期望即可；
（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即，化简变形即可证得.
【小问1详解】
设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”；
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”
则，，
，
即，
解得：，所以，
的可能取值为，且由题意知：，
所以，，
，，
所以的分布列为：
.
【小问2详解】
证明：因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
大于在甲工厂不提高质量指标的条件下该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以：，
即，因为，
所以，
由，
所以，
即得：，
所以，
即，
由因为，
所以，
因为，所以，
所以.
20. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
（3）设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）代入得到，由得到，联立即可得解；
（2）由在直线上，且为中点，解出值即可；
（3）设出直线的方程，联立直线与曲线的方程得到，结合题意解出即可.
【小问1详解】
因为是双曲线C上一点，所以，
由，所以，
因为，所以，
即，联立解得：，
所以双曲线的方程为：.
【小问2详解】
由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1，
不妨设，，由的方程为：，
将代入得：，
同理，由中点，则，
所以，解得，
所以直线l的方程为.
【小问3详解】
设，点与点关于原点对称，所以，
设直线的方程为，
由，得，
由可知或，
则，
所以
，
由题意知：，
所以，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21. 在平面直角坐标系中，已知椭圆，过点作直线l与椭圆交于A，B两点.
（1）若是直线l一个法向量，求直线l的标准方程；
（2）若的面积为，求直线l的方程；
（3）在线段上取点Q，使得，求证：点Q在一条定直线上.
【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)由条件得到直线l的斜率为，从而写出方程.
(2)设直线l的方程为，与椭圆方程联立写出韦达定理，由，求解出答案.
(3) 设由,则,即,即，从而可得从而可证.
【详解】（1）直线l的一个法向量为，则直线l的斜率为
又直线l过点，所以直线l的方程为：，即
（2）根据题意直线l的斜率不为0，则其方程为：
设
所以,可得
所以，即
，
，即
设，则
所以，即，解得 或
即或
经检验，或都满足
所以直线l的方程为：或
即直线l的方程为：或
（3）设
根据题意，Q点在之间，不妨设点在点的左侧.
当直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点轴上方时，
由
则,即
所以，则
同理当A，B两点轴下方时，也有成立.
所以当直线l的斜率不为0时，有，
由（2）有
当直线l的斜率为0时，即A，B两点为椭圆的左右顶点，即
所以满足的点为
综上所述: 满足条件的点Q在直线上.即点Q在一条定直线上.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由三角形的面积，以及根据条件，得到，进一步有.
x
0
1
2
3
4
y
1
2a
5
7
指标值
指标值
合计
产生抗体
未产生抗体
合计
指标值
指标值
合计
产生抗体
40
110
150
未产生抗体
10
40
50
合计
50
150
200
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