温州市龙湾区2024年九年级学生学科素养检测数学试卷（附参考答案）

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二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11． 12．甲 13． 14．35 15． 16．
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（本题8分）
解：（1）原式=． ……4分
（2）原式． ……4分
18．（本题8分）
（1）．
．
c=10． ……4分
（2）A等男生：名，
A等女生：名，
A等总数：144+140=284名． ……3分
19．（本题8分）
A
B
C
M
D
E
F
A
B
C
M
D
E
F
解：（1）画法不唯一，如图1或图2． ……4分
图2
图1
（2）画法不唯一，如图3或图4． ……4分
A
B
C
M
P
Q
A
B
C
M
P
Q
图4
图3
20．（本题8分）
解：（1）∵∠PMN=90°，MN=12厘米，MP=5厘米，
∴tan∠PNM=．
∵PN//AD，
∴∠BAD=∠PNM，
∴tan∠BAD=tan∠PNM=．……3分
A
D
B
C
M
N
P
12.5米
E
（2）过点B作BE⊥AD，垂足为E．
∵CD⊥AD，
∴BE//CD，∠CDE=90°．
∵BC//AD，
∴四边形BEDC为矩形，
∴BE=CD，BC=ED．
∵tan∠BAE=．
不妨设BE=5x=CD，AE=12x ，则AB=13x=BC=ED．
∵AD=12.5米，
∴12x+13x=12.5，解得x=0.5，
∴CD=2.5米． ……5分
21.（本题8分）
【数学建模】
解：根据描点情况可知：H与n满足一次函数关系，
设H=kn+b，将(1, 6.8)和(2, 8.3)代入得
，解得，
∴．……5分
【应用模型】
依题意：，
∴．
∵n为正整数，∴n的最大值为23.
即：最多可以放进23个杯子. ……3分
22. （本题10分）
（1）证明： ∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，AD//BC，
A
B
C
D
F
E
M
N
O
即：∠DAF=∠BCE.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFA=∠BEC=90°，DF//BE，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴DF=BE．
∴四边形BEDF为平行四边形. ……5分
（2）解：∵点M，N分别为DE，BF的中点，且BE⊥AC，DF⊥AC，
∴MF=ME=，EN=FN=．
由（1）知：四边形BEDF为平行四边形，
∴BF=DE，即：FM=ME=EN=NF，
∴四边形MFNE为菱形.
连结MN交EF于点O，则MN垂直平分EF，
∴MN//DF，易知：MN=2MO=DF.
又∵∠ACB=60°=∠DAF，AF=1，∴DF==MN，
∴EF=2， ∴. ……5分
23．（本题10分）
（1）①点（2，5）代入，
得，
∴a=1，
∴二次函数的表达式为． ……3分
②由平移可得B（1-3m，n），C（1+m，n）．
∵y值相等，点B，C关于对称轴对称，
∴，
∴m=2．
把C（3，n）代入，
得n=12． ……3分
（2）∵点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两点，
∴，，
∴．
∵，
∴
．
∵，
∴． ……4分
24．（本题12分）
（1）证明： ∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DBC+∠D=90°．
又∵CH⊥AB，∴∠A+∠ACH=90°，
又∵∠A=∠D，
A
B
C
D
E
F
H
O
A
B
C
D
E
F
H
O
∴∠ACH=∠DBC. ……4分
（2）（i）当BC=BE时（如图1），∴∠BEC=∠BCE，
又∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，
∴∠A=∠EBC=∠D，
∵BD为直径，∴∠BCD=90°，
（图1）
∴∠EBC+∠D=90°．∴∠A=∠D=45°．
（ii）当BC=CE时（如图2），
∴设∠CBD=∠CEB=x°，∴∠ACH=x°．
在△BCE中，∠BCA=(180-2x)°．
又∵在Rt△ACH中，∠A=(90-x)°，
∴∠ABC=∠ACB=(180-2x)°，
（图2）
∴90-x+180-2x+180-2x=180，
解得：x=54°，∴∠A=36°.
（iii）当BE=CE时，此时∠ACB=∠EBC＜∠ABC，
这与∠ABC=∠ACB矛盾∴此时不存在．
综上所述，∠A=45°或36°. ……4分
A
D
E
O
C
B
H
F
②如图3，连结AD
∵BD为⊙O直径，
∴∠BAD=90°，即AD⊥AB．
∵CH⊥AB ∴AD//CH．
∴∠ACH=∠CAD=∠DBC．
∵∠ABC=∠ACB．
∴∠ABF=∠HCB=∠ACD．
（图3）
∴，
∴．
设HF=a，则BH=2a，HC=4a，FC=3a．
设AH=x，则AB=AC=x+2a．
在Rt△AHC中，，
∴，解得：，∴，
∴．
∵AD//CH，
∴． ……4分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
C
A
D
B
C
D
C