2024年上海市浦东新区华东师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）-普通用卷

这是一份2024年上海市浦东新区华东师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）-普通用卷，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是( )
A. f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B. f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C. 对于任意x0∈(a,b)，函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D. 存在x0∈(a,b)，使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
2.在研究线性回归模型时，样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,⋯,n)所对应的点均在直线y=−12x+3上，用r表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r=( )
A. −1B. 1C. −12D. 2
3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点M，N分别是棱BC，C1D1的中点，点P在底面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM= 5，则PQ长度的最小值为( )
A. 2−1B. 2C. 3 55−1D. 3 55
4.设正数a，b，c不全相等，abc=1，函数f(x)=(1+ax)(1+bx)(1+cx).关于说法①对任意a，b，c，f(x)都为偶函数，②对任意a，b，c，f(x)在[0.01,0.02]上严格单调增，以下判断正确的是( )
A. ①、②都正确B. ①正确、②错误C. ①错误、②正确D. ①、②都错误
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合A={y|y=lg2x,x>1}，B={y|y=12x,x>1}，则A∩B=______.
6.命题A：|x−1|<3，命题B：(x+2)(x+a)<0，若A是B的充分而不必要条件，则a的取值范围是______.
7.已知复数z满足(1+i)⋅z=4i(i为虚数单位)，则z的模为______.
8.方程lg3x+lgx3=2的解是x=______.
9.随机变量X的概率分布密度函数f(x)=1σ 2πe−(x−1)22σ2(x∈R)，其图象如图所示，设P(X≥2)=0.15，则图中阴影部分的面积为______.
10.在(1+x+1x2023)10的展开式中，x2项的系数为______.(结果用数值表示)
11.设x>0,y>0,x+2y=5，则(x+1)(2y+1) xy的最小值为__________.
12.在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA+PB+PC=AB，则PA⋅PBPB⋅PC=______.
13.已知函数f(x)=cs2x⋅tan(x−π4).则函数f(x)的值域为______.
14.能够使得命题“曲线x24−y2a2=1(a≠0)上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为______.
15.△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c=2b，若△ABC的面积为1，则BC的最小值是______.
16.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆C：x22024+y2=1上，且其中至少有两个顶点为椭圆C的顶点.这样的等腰三角形有______个.
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R).
(1)当a=0时，是否存在实数c，使得f(x)为奇函数；
(2)若函数f(x)过点(1,3)，且函数f(x)图像与x轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围.
18.(本小题14分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90∘，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD= 3.
(1)求证：平面PQB⊥平面PAD；
(2)设PM=tMC，若二面角M−BQ−C的平面角的大小为30∘，试确定t的值．
19.(本小题14分)
新宁崀山景区是世界自然遗产、国家5A级景区，其中“八角寨”景区和“天下第一巷”景区是新宁崀山景区的两张名片.为了合理配置旅游资源，现对已游览“八角寨”景区且尚未游览“天下第一巷”景区的游客进行随机调查，若不游览“天下第一巷”景区记2分，若继续游览“天下第一巷”景区记4分，假设每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为13，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取2人，记总得分为随机变量X，求X的数学期望；
(2)(ⅰ)记pk(k∈N*)表示“从游客中随机抽取k人，总分恰为2k分”的概率，求{pk}的前4项和；
(ⅱ)在对游客进行随机问卷调查中，记an(n∈N*)表示“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率，探求an与an−1(n≥2)的关系，并求数列{an}的通项公式.
20.(本小题16分)
如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆Γ:x22+y2=1的左，右焦点分别为F1，F2，设P是第一象限内Γ上的一点，PF1、PF2的延长线分别交Γ于点Q1、Q2.
(1)求△PF1Q2的周长；
(2)求△PF1Q2面积的取值范围；
(3)求S△PF1Q2−S△PF2Q1的最大值.
21.(本小题18分)
设定义域为R的函数y=f(x)在R上可导，导函数为y=f′(x).若区间I及实数t满足：f(x+t)≥t⋅f′(x)对任意x∈I成立，则称函数y=f(x)为I上的“M(t)函数”.
(1)判断y=x2+3x是否为(0,+∞)上的M(1)函数，说明理由；
(2)若实数t满足：y=sinx为[0,π2]上的M(t)函数，求t的取值范围；
(3)已知函数y=f(x)存在最大值.对于：
P：对任意x∈R，f′(x)≤0与f(x)≥0恒成立，
Q：对任意正整数n，y=f(x)都是R上的M(n)函数，
问：P是否为Q的充分条件？P是否为Q的必要条件？证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了导数的概念及其应用问题，属于基础题.解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确．
由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】
解：对于A、B，∵f(x)在a到b之间的平均变化率是f(b)−f(a)b−a，
g(x)在a到b之间的平均变化率是g(b)−g(a)b−a，
∴f(b)−f(a)b−a=g(b)−g(a)b−a，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数，即函数f(x)在该点处的切线的斜率，同理函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数，即函数g(x)在x=x0处的切线的斜率，由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D.
2.【答案】A
【解析】解：因为样本数据所对应的点都在直线y=−12x+3上，
所以r=−1.
故选：A.
利用相关系数的性质求解．
本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，可得点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．即O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于N，可得OH=3 55，PQ长度的最小值为3 55−1.
【解答】
解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，OP⊂面A1B1C1D1，
即MO⊥OP，
∵PM= 5，则OP=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．
可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，
作OH⊥A1N于N，
△A1ON的面积为2×2−12×2×1−12×1×1−12×2×1=32，
∴12×A1N×OH=32，可得OH=3 55，∴PQ长度的最小值为3 55−1.
故选：C.
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，依次分析2个命题：
对于①，f(x)=(1+ax)(1+bx)(1+cx)，其定义域为R，
有f(x)=(1+a−x)(1+b−x)(1+c−x)=1ax×1bx×1cx×(1+ax)(1+bx)(1+cx)=(1+ax)(1+bx)(1+cx)=f(x)，
则f(x)为偶函数，①正确；
对于②，可将f(x)展开表示为f(x)=2+ax+1ax+bx+1bx+cx+1cx.
考虑ax+1ax.若a=1，其为常值；
若a>1，则当x在(0,+∞)上逐渐变大时，t=ax在(1,+∞)上逐渐变大，由φ(t)=t+1t在(1,+∞)上严格单调增，可知ax+1ax严格增；
若0鉴于a，b，c不全为1，故f(x)在(0,+∞)上严格增，②正确．
故选：A.
根据题意，由函数奇偶性和单调性的判断方法分析2个命题，综合可得答案．
本题考查函数奇偶性、单调性的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】(0,12)
【解析】解：因为集合A={y|y=lg2x,x>1}={y|y>0}，B={y|y=12x,x>1}={y|0则A∩B=(0,12)，
故答案为：(0,12).
根据指数、对数函数的性质可解集合A、B，再利用集合的交集运算可解．
本题考查集合的运算，属于基础题．
6.【答案】(−∞,−4)
【解析】解：根据题意，由于命题A：|x−1|<3，得到−2命题B：(x+2)(x+a)<0，
A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，
那么可知集合B：−2故答案为：(−∞,−4).
通过绝对值不等式的解法求出集合A，利用A是B的充分而不必要条件则说明A是B的真子集，推出集合B，求解a的范围即可．
本题主要是考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题．
7.【答案】2 2
【解析】解：复数z满足(1+i)⋅z=4i(i为虚数单位)，
∴(1−i)(1+i)⋅z=4i(1−i)，则z=2i+2.
则|z|= 22+22=2 2.
故答案为：2 2.
利用复数的运算法则及其性质即可得出．
本题考查了复数的运算法则及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.【答案】3
【解析】解：∵lg3x+lgx3=2，
∴lg3x+1lg3x=2，
∴(lg3x−1)2=0，解得：x=3，
故答案为：3.
解关于对数的方程，求出x的值即可．
本题考查了解对数的运算，考查解对数方程问题，是一道基础题．
9.【答案】0.35
【解析】解：随机变量X的概率分布密度函数f(x)=1σ 2πe−(x−1)22σ2(x∈R)，
则X∼N(1,σ2)，
故P(X≤0)=P(X≥2)=0.15，
故图中阴影部分的面积为0.35.
故答案为：0.35.
根据已知条件，结合概率分布密度函数，结合正态分布曲线的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布曲线的对称性，属于基础题．
10.【答案】45
【解析】解：∵(1+x+1x2023)10=((1+x)+1x2023)10=(1+x)10+C101(1+x)91x2023+⋯，
∴x2项只能在(1+x)10展开式中，即为C108x2，系数为C108=45.
故答案为：45.
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应，属于基础题．
11.【答案】4 3
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．
利用已知化(x+1)(2y+1) xy=2 xy + 6 xy，再利用基本不等式即可解答.
【解答】
解：x>0，y>0，x+2y=5，
则
(x+1)(2y+1) xy=2xy+x+2y+1 xy=2xy+6 xy=2 xy + 6 xy；
由基本不等式有： 2 xy + 6 xy ≥2 2 xy ⋅ 6 xy =4 3；
当且仅当2 xy = 6 xy时，
即xy=3，x+2y=5时，即 x=3 y=1或x=2 y= 3 2时等号成立，
故(x+1)(2y+1) xy的最小值为4 3；
故答案为：4 3.
12.【答案】−12
【解析】解：由PA+PB+PC=AB可得PA+PB+PC=PB−PA，
则CP=2PA.
PA⋅PB=|PA||PB|cs∠APB，PB⋅PC=|PC||PB|cs(π−∠APB)=−2|PA||PB|cs∠APB
则PA⋅PBPB⋅PC=−12.
故答案为：−12.
由PA+PB+PC=AB可得PA+PB+PC=PB−PA，则CP=2PA.
即可求解PA⋅PBPB⋅PC=−12.
本题考查了向量的数量积运算，向量的线性运算，属于中档题．
13.【答案】(−2,0]
【解析】解：f(x)=cs2x⋅tan(x−π4)=(csx−sinx)(csx+sinx)⋅sinx−csxcsx+sinx=−(csx−sinx)2=2sinxcsx−1=sin2x−1
因为x≠kπ+34π,k∈Z，所以2x≠2kπ+32π,k∈Z，所以sin2x≠−1，
所以，函数f(x)的值域为(−2,0].
故答案为：(−2,0].
首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值域．
本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
14.【答案】a<−2或a>2的任意实数
【解析】解：曲线x24−y2a2=1(a≠0)上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形，
可设P(m,n)，(m>0,n>0)，由对称性可得Q(−m,n)，
R(−m,−n)，S(m,−n)，
则|PQ|=|QR|，
即2m=2n，即m=n，
由曲线的方程可得m24−n2a2=1，
即m24−m2a2=1有解，
即有m2=4a2a2−4>4，
可得4a2−4>0，
解得a>2或a<−2，
故答案为：a>2或a<−2的任意实数．
由题意可设P(m,n)，(m>0,n>0)，由对称性可得Q(−m,n)，R(−m,−n)，S(m,−n)，可得m=n，代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．
本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】 3
【解析】解：设b=t(t>0)，由c=2b，可得c=2t，
由△ABC的面积为1，可得12bcsinA=t2sinA=1，
即sinA=1t2，csA=± 1−1t4=± t4−1t2，
由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=t2+4t2−4t2⋅(± t4−1t2)
=5t2±4 t4−1，
可设t2=x，a2=y，则y−5x=±4 x2−1，
两边平方可得y2−10yx+25x2=16x2−16，
即为9x2−10yx+y2+16=0，
由△≥0，即100y2−4×9(y2+16)=64y2−36×16≥0，解得y≥3(或y≤−3舍去)，
当x=10y18，即t2=53，b= 153，c=2 153，a取得最小值 3，
故答案为： 3.
b=t(t>0)，可得c=2t，由三角形的余弦定理和面积公式、同角的平方关系可得a2=5t2±4 t4−1，再由换元法和二次方程有实根的思想，结合判别式大于等于0，可得所求最小值．
本题考查三角形的余弦定理和面积公式，以及同角的平方关系，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
16.【答案】24
【解析】解：不妨设A1(− 2023,0),B2(0,1)，
①如下图，连接A1B2，当A1B2为等腰三角形的底时，
作A1B2的垂直平分线交椭圆于P，Q两点，
连接QA1，QB2，PA1，PB2，则△QA1B2，△PA1B2为等腰三角形，满足题意，
同理当A2B2，A2B1，A2B1为等腰三角形的底时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
②如下图，当A1B2为等腰三角形的腰时，以B2为圆心，A1B2为半径作圆，
则圆的方程为x2+(y−1)2=2025，
联立x2+(y−1)2=2025x22024+y2=1，解得y=0x= 2024或y=0x=− 2024或y=22023x=90 10226262023或y=−22023x=−90 10226262023.
即圆与椭圆相交于点A1，A2，N，M，连接MA1，NA1，MB2，NB2，
其中△MA1B2，△NA1B2满足要求，△A2A1B2三个顶点均为椭圆顶点，不合题意，
同理当A2B2，A2B1，A2B1为等腰三角形的腰时，
也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个；
③如下图，以B2为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点B1，S，T，
连接SB1，SB2，TB1，TB2，此时△SB1B2，△TB1B2为等腰三角形，满足题意，共有2个，
④如下图，以B1为圆心，B1B2为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点B2，U，V，
连接UB1，UB2，VB1，VB2，
此时△UB1B2，△VB1B2为等腰三角形，满足题意，共有2个，
由椭圆性质可知，A1A2为椭圆中的最长弦，
所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时，
刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求，
最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个，
综上：满足要求的等腰三角形个数为8+8+2+2+4=24.
故答案为：24.
分等腰三角形的底为A1B2；A1B2为等腰三角形的腰，以B2为圆心，A1B2为半径作圆与椭圆的交点；A1B2为等腰三角形的腰，以B2为圆心，B1B2为半径作圆与椭圆的交点；A1B2为等腰三角形的腰，以B1为圆心，B1B2为半径作圆与椭圆的交点的等腰三角形的个数．
本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a(a,c∈R)，
当a=0时，f(x)=x2+x+cx=x+1+cx，定义域为D=(−∞,0)∪(0,+∞)，
假设y=f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)，
而f(1)=2+c，f(−1)=−c，则2+c=c，此时无实数c满足条件，
所以不存在实数c，使得函数f(x)为奇函数；
(2)y=f(x)图像经过点(1,3)，则代入得1+(3a+1)+c1+a=3，解得c=1，
所以f(x)=x2+(3a+1)x+cx+a=x2+(3a+1)x+1x+a，定义域为(−∞,−a)∪(−a,+∞)，
令g(x)=x2+(3a+1)x+1，则g(x)的图像与x轴负半轴有两个交点，
所以−(3a+1)<0Δ>0，即3a+1>0(3a+1)2−4>0，解得a>13，
若x+a=0，即x=−a是方程x2+(3a+1)x+1=0的解，
则代入可得a2+(3a+1)×(−a)+1=0，解得a=12或a=−1.
由题意得a≠12，所以实数a的取值范团a>13且a≠12，即a的取值范围为{a|a>13且a≠12}.
【解析】(1)将a=0代入得f(x)=x+1+cx，先考虑其定义域，再假设f(x)为奇函数，得到方程2+c=c无解，从而得以判断；
(2)先把点(1,3)代入f(x)求得c=1，从而得到f(x)=x2+(3a+1)x+1x+a，再利用二次函数的根的分布得到关于a的不等式组，解之可得a>13，最后再考虑x=−a的情况，从而得到a的取值范围．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的奇偶性的性质，属于中档题．
18.【答案】(1)求证：∵AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，
∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ.
∵∠ADC=90∘，∴∠AQB=90∘，即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD.
∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD；
(2)解：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD.
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．
则面BQC的法向量为n=(0,0,1)；
Q(0,0,0)，P(0,0, 3)，B(0, 3,0)，C(−1, 3,0).
设M(x,y,z)，则PM=(x,y,z− 3)，MC=(−1−x, 3−y,−z)，
∵PM=tMC，∴PM=tMC，则x=t(−1−x)y=t( 3−y)z− 3=t(−z)，
即x=−t1+t,y= 3t1+t,z= 31+t，
在平面MBQ中，QB=(0, 3,0)，QM=(−t1+t, 3t1+t, 31+t)，
设平面MBQ的一个法向量m=(x,y,z)，由m⋅QB=0m⋅QM=0，
3y=0−t1+tx+ 3t1+ty+ 31+tz=0，取z=t，得x= 3.
∴平面MBQ法向量为m=( 3,0,t).
∵二面角M−BQ−C为30∘，∴cs30∘=n⋅m|n||m|=t 3+0+t2= 32，
解得t=3.
【解析】(1)由AD//BC，BC=12AD，Q为AD的中点，可得四边形BCDQ为平行四边形，得到CD//BQ.结合∠ADC=90∘，得QB⊥AD.然后利用面面垂直的性质得BQ⊥平面PAD.再由线面垂直的判定得平面PQB⊥平面PAD；
(2)由PA=PD，Q为AD的中点，得PQ⊥AD.结合(1)可得PQ⊥平面ABCD.以Q为原点建立空间直角坐标系．然后求出平面BQC的一个法向量，再由PM=tMC把平面MBQ的一个法向量用含有t的代数式表示，结合二面角M−BQ−C的平面角的大小为30∘求得t的值．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．
19.【答案】解：(1)易知X的所有取值为4，6，8，
因为每位游客选择游览“天下第一巷”景区的概率均为13，游客之间选择意愿相互独立，
此时P(X=4)=(23)2=49，P(X=6)=C21(13)(23)=49，P(X=8)=(13)2=19，
所以E(X)=49×4+49×6+19×8=489=163；
(2)(i)易知“总分恰为2k分”的概率为(23)k，
所以数列{pk}是以首项为23，公比为23的等比数列，
记该数列的前n项和为Sn，
则S4=23[1−(23)4]1−23=13081；
(ii)若“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为an，
此时得不到2n分的情况只有先得2n−2分，再得4分，概率为13an−1(n≥2),a1=23，
所以1−an=13an−1，
即an=1−13an−1，
此时an−34=−13(an−1−34)，
则数列{an−34}是以a1−34=−112为首项，−13为公比的等比数列，
所以an−34=(a1−34)⋅(−13)n−1=−112⋅(−13)n−1，
故an=34+14(−13)n.
【解析】(1)先得到X的所有取值，求出相对应的概率，代入期望公式中即可求解；
(2)(i)根据题意可得“总分恰为2k分”的概率为(23)k，再根据等比数列前n项和公式求解即可；
(ii)因为“已调查过的累计得分恰为2n分”的概率为an，得不到2n分的情况只有先得2n−2分，再得4分，概率为13an−1(n≥2),a1=23，则1−an=13an−1，再利用构造法求解即可．
本题考查离散型随机变量分布列的数学期望以及等比数列的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
20.【答案】解：(1)因为椭圆Γ的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q2为椭圆上的点，
所以|PF1|+|PF2|=|Q2F1|+|Q2F2|=2a，
可得△PQ2F1的周长为4a.
即4a=4 2，
则△PF1Q2的周长为4 2；
(2)不妨设直线PQ2的方程为x=my+1，P(x0,y0)，Q2(x2,y2)，(x0>0,y0>0)，
联立x=my+1x22+y2=1，消去x并整理得(m2+2)y2+2my−1=0，
由韦达定理得y0+y2=−2mm2+2,y0⋅y2=−1m2+2，
所以|y0−y2|= (2mm2+2)2+4m2+2= 8m2+2−8(m2+2)2，
不妨令t=1m2+2(0此时|y0−y2|= 8(t−t2)≤ 2，
当且仅当t=12，即m=0时等号成立，
所以S△PF1Q2=12|F1F2||y0−y2|=12×2⋅|y0−y2|=|y0−y2|≤ 2，
则△PF1Q2面积的取值范围为(0, 2]；
(3)不妨设直线F1P的方程为y=y0x0+1(x+1)，Q1(x1,y1)，
联立y=y0x0+1(x+1)x22+y2=1，消去y并整理得(2x0+3)x2+4y02x−3x02−4x0=0，
由韦达定理得x0x1=−3x02−4x02x0+3，
则x1=−3x0+42x0+3,y1=y0x0+1(−3x0+42x0+3+1)=−y02x0+3，
即Q1(−3x0+42x0+3,−y02x0+3)，
当x0≠1时，直线F2P的方程为y=y0x0−1(x−1)，
联立y=y0x0−1(x−1)x22+y2=1，消去y并整理得(−2x0+3)x2−4y02x−3x02+4x0=0，
同理得Q2(3x0−42x0−3,y02x0−3)，
所以S△PF1Q2−S△PF2Q1=12×2⋅(−y2)−12×2⋅(−y1)
=y1−y2=−y02x0+3−y02x0−3=8x0y0x02+18y02=8x0y0+18y0x0≤82 x0y0⋅18y0x0=2 23，
当且仅当x0=3 55,y0= 1010时，等号成立，
若PF2⊥x轴时，易知P(1, 22),y1=− 210,y2=− 22，
此时S△PF1Q2−S△PF2Q1=y1−y2=− 210−(− 22)=2 25.
综上，S△PF2Q1−S△PF1Q2的最大值为2 23.
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及椭圆的定义进行求解即可；
(2)设出直线PQ2的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可；
(3)设直线F1P，F2P的方程和点Q的坐标，将两直线方程分别与椭圆方程联立，结合韦达定理求出点Q1、Q2的坐标，再代入三角形面积公式中进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设定义域为R的函数y=f(x)在R上可导，导函数为y=f′(x).
若区间I及实数t满足：f(x+t)≥t⋅f′(x)对任意x∈I成立，
则称函数y=f(x)为I上的“M(t)函数”．(x2+3x)′=2x+3.
∵(x+1)2+3(x+1)≥1⋅(2x+3)等价于x2+2x≥0，在(0,+∞)时恒成立，
∴y=x2+3x是(0,+∞)上的M(1)函数．
(2)实数t满足：sin(x+t)≥tcsx(∀x∈[0,π2])，
即cst⋅sinx+(sint−t)⋅csx≥0(∀x∈[0,π2]).①
特别地，在①中取x=0,π2，可知sint−t≥0cst≥0，
反之，当sint−t≥0cst≥0时，①成立．
令φ(t)=sint−t，由于φ′(t)=cst−1≤0，且φ′(t)=0的t为离散的点，
故y=φ(t)为严格减函数，又φ(0)=0，所以sint−t≥0⇔t≤0.
cst≥0⇔k∈Z[2kπ−π2,2kπ+π2]，
从而t的取值范围是：{t|t≤0且t∈k∈Z[2kπ−π2,2kπ+π2]}.
(3)若P成立，则对任意正整数n，有：f(x+n)≥0≥n⋅f′(x)(∀x∈R)，
即y=f(x)为R上的M(n)函数，Q成立．故P为Q的充分条件．
若Q成立，即对任意正整数n，有：f(x+n)≥n⋅f′(x)(∀x∈R)②，
记函数y=f(x)的最大值为K.
先证明f′(x)≤0恒成立．
反证法，假如存在x1∈R使得f′(x1)>0，则取正整数n，使得n⋅f′(x1)>K，
此时有n⋅f′(x1)>K≥f(x1+n)，与②矛盾．
这意味着y=f(x)为R上的严格减函数．
再证明f(x)≥0恒成立．
取x0为y=f(x)的一个最大值点，
则当x≤x0时，由单调性知f(x)≥f(x0)=K，但f(x)≤K，所以f(x)=K(∀x≤x0)，
于是f′(x)=0(∀x对任意x2∈R，可取一个与x2有关的正整数n，使得x2−n由②知：f(x2)≥n⋅f′(x2−n)=0.
于是P成立．故P也为Q的必要条件．
【解析】(1)求导，推导出x2+2x≥0在(0,+∞)时恒成立，从而y=x2+3x是(0,+∞)上的M(1)函数．
(2)实数t满足：sin(x+t)≥tcsx(∀x∈[0,π2])，即cst⋅sinx+(sint−t)⋅csx≥0(∀x∈[0,π2])，令φ(t)=sint−t，由于φ′(t)=cst−1≤0，且φ′(t)=0的t为离散的点，从而y=φ(t)为严格减函数，由φ(0)=0，得sint−t≥0⇔t≤0.
cst≥0⇔k∈Z[2kπ−π2,2kπ+π2]，由此能求出t的取值范围．
(3)推导出P为Q的充分条件．若Q成立，即对任意正整数n，有：f(x+n)≥n⋅f′(x)(∀x∈R)，记函数y=f(x)的最大值为K.用反证法证明f′(x)≤0恒成立和f(x)≥0恒成立，从而P为Q的必要条件．
本题考查导数性质及应用、函数的单调性、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是难题．