内蒙古自治区乌海市第二中学2024届九年级下学期中考零模数学试卷(含解析)

这是一份内蒙古自治区乌海市第二中学2024届九年级下学期中考零模数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的( )
A. 中线
B. 中位线
C. 高线
D. 角平分线
3.使有意义的的取值，在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，是一块直角三角板，其中，直尺的一边经过顶点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.下列四个几何体的俯视图中与众不同的是( )
A. B. C. D.
6.反比例函数在第一象限的图象如图所示，则的值可能是( )
A.
B.
C.
D.
7.分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是( )
A. B. C. D.
8.在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于，的方程组的解为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，若反比例函数经过点，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在正方形中，、分别是边、上的点，，的周长为，则正方形的边长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，数轴上的单位长度为，有三个点、、，若点、表示的数互为相反数，则图中点对应的数是______．
12.若、为两个连续整数，且，则 ______．
13.若，则 ______．
14.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的正弦值是______．
15.如图，将沿弦折叠，恰经过圆心，若，则阴影部分的面积为 ．
16.如图，在中，，，是上的一个动点不与点，重合，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，与相交于点，连接下列结论：
≌；
若，则；
；
若，，则．
其中正确的结论是______填写所有正确结论的序号
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
化简：．
18.本小题分
某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．
学校抽取了部分学生的劳动积分积分用表示进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据图表信息，解答下列问题：
统计表中 ______，等级对应扇形的圆心角的度数为______；
学校规定劳动积分大于等于的学生为“劳动之星”若该学校共有学生人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
等级中有两名男同学和两名女同学，学校从等级中随机选取人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
19.本小题分
如图，在东西方向的海岸上有两个相距海里的码头，，某海岛上的观测塔距离海岸海里，在处测得位于南偏西方向．一艘渔船从出发，沿正北方向航行至处，此时在处测得位于南偏东方向．求此时观测塔与渔船之间的距离结果精确到海里参考数据：，，，，，
20.本小题分
某工厂生产一种产品，当产量至少为吨，但不超过吨时，每吨的成本万元与产量吨之间是一次函数关系，函数与自变量的部分对应值如表：
求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
当投入生产这种产品的总成本为万元时，求该产品的总产量；注：总成本每吨成本总产量
市场调查发现，这种产品每月销售量吨与销售单价万元吨之间满足如图所示的函数关系，该厂第一个月按同一销售单价卖出这种产品吨．请求出该厂第一个月销售这种产品获得的利润．注：利润售价成本
21.本小题分
已知四边形中，，连接，过点作的垂线交于点，连接．
如图，若，求证：四边形是菱形；
如图，连接，设，相交于点，垂直平分线段．
求的大小；
若，求证：．
22.本小题分
如图，，是的两条切线，，是切点，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，交于点，连接．
求证：；用两种证法解答
若，试探究与之间的数量关系，写出并证明你的结论．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点的坐标为，且，点和点关于抛物线的对称轴对称．
分别求出，的值和直线的解析式；
直线下方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，交轴于点，求的周长的最大值；
在的条件下，如图，在直线的右侧、轴下方的抛物线上是否存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.
解析：解：．，错误，不符合题意；
B.，正确，符合题意；
C.，错误，不符合题意；
D.，错误，不符合题意．
故选：．
根据二次根式的性质判断即可．
本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
2.
解析：解：由已知可得，
，
则为的角平分线，
故选：．
根据翻折的性质和图形，可以判断直线与的关系．
本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3.
解析：解：使有意义，
则，
解得：，
在数轴上表示为：
．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
4.
解析：解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的性质求得的度数，再根据角的和差关系求得结果．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形角和差计算，关键是利用平行线的性质求得．
5.
解析：
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：本选项的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形；
B.本选项的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形；
C.本选项的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形；
D.本选项的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
6.
解析：本题主要考查了反比例函数的图象及性质，解答本题关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质．根据图象，当时，函数值在和之间，代入解析式即可求解．
解：如图，当时，，
，
，
解得，
所以．
故选：．
7.
解析：解：、石子落在阴影部分的可能性为；
B、石子落在阴影部分的可能性为；
C、石子落在阴影部分的可能性为；
D、石子落在阴影部分的可能性为；
最小的为，
故选：．
分别确定石子落在阴影部分的可能性，然后比较大小即可．
本题考查了可能性的大小的知识，解题的关键是能够分别求得可能性的大小，难度不大．
8.
解析：解：将点代入，
得，
，
关于，的方程组的解为，
故选：．
先将点代入，求出，即可确定方程组的解．
本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，求出两直线的交点坐标是解题的关键．
9.
解析：
本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函数，关键是求出点坐标．
由菱形的性质和锐角三角函数可求点，将点坐标代入解析式可求的值．
解：如图，过点作于点，
菱形的边在轴上，点，
，
．
，
点坐标
若反比例函数经过点，
故选：．
10.
解析：解：将绕点顺时针旋转度到位置，
由题意可得出：≌，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的周长为，
，
，
．
故选A．
根据旋转的性质得出，进而得出≌，即可得出，得出正方形边长即可．
此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出≌是解题关键．
11.
解析：解：点、表示的数互为相反数，
原点在线段的中点处，
点对应的数是．
故答案为：．
首先确定原点位置，进而可得点对应的数．
此题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．
12.
解析：解：，
，
，、为两个连续整数，
，，
，
故答案为：．
先估算的大小，再根据已知条件求出，，然后把，的值代入进行计算即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
13.
解析：解：若，
，
，
原式．
故答案为．
先将转化为，进而得到，然后将原式化为，再代入求值．
本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解和分式的加减乘除运算是解题的关键．
14.
解析：
本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：由图可知，，，，
，
是直角三角形，且，
．
故答案为：．
15.
解析：
解：如图，过点作的垂线并延长，垂足为，交于点，连结，，
根据垂径定理得：，
将沿弦折叠，恰经过圆心，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
解得：，
，，，
即在和中，
≌，
阴影部分的面积．
故答案为：．
16.
解析：解：，
由旋转知，，，
，
在和中，，
≌，故正确；
，，
，
，
≌，
，
，，
，
则，故正确；
≌，
，
，
∽，
，
，
在等腰直角三角形中，，故正确；
如图，过点作于，
，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
≌，
，
，
，
，故错误，
故答案为：．
先判断出，即可判断出正确；
先求出，进而得出，即可判断出正确；
先判断出，进而得出∽，即可得出，最后用勾股定理即可得出正确；
先求出，再求出，进而求出，求出，即可判断出错误．
此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出≌是解本题的关键．
17.解：


；


．
解析：本题涉及到负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，零指数幂四个考点的计算，根据实数的运算顺序和法则计算即可求解；
首先把括号里的式子进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
本题主要考查实数的运算和分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．
18.解：，
人，
答：估计该学校“劳动之星”大约有人；
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种，
恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
解析：解：抽取的学生人数为：人，
，
等级对应扇形的圆心角的度数为：，
故答案为：，；
见答案；
见答案．
由等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
19.解：如图，过点作于点，过点作于点，
得矩形，
．
根据题意可知：
海里，，
海里，
海里，
海里，
在中，，
海里．
答：观测塔与渔船之间的距离约为海里．
解析：过点作于点，过点作于点，得矩形，再根据锐角三角函数即可求出观测塔与渔船之间的距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
20.解：设关于的函数解析式为，
将代入解析式得：
，
解得：
，．
当投入生产这种产品的总成本为万元时，
即，
解得：，，
，
，
该产品的总产量为吨．
设每月销售量吨与销售单价万元吨之间的函数关系式为，
把，代入解析式得：
解得：，
，
当时，，
在，中，当时，，
利润为：万元．
解析：利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为吨，但不超过吨时，得出的取值范围；
根据总成本每吨的成本生产数量，利用中所求得出即可．
先利用待定系数法求出每月销售量吨与销售单价万元吨之间的函数关系式，再分别求出对应的销售单价、成本，根据利润售价成本，即可解答．
此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本每吨的成本生产数量得出等式方程求出是解题关键．
21.证明：如图，，，
，
，
，
在和中，
≌，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：垂直平分，
，
，
又且，
垂直平分，
，
，
，
又，
；
证明：由得，
又，
，
同理可得，在等腰中，，
，
在与中，
，
≌，
，
又，
，
即．
解析：
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
利用证明≌，得，从而得出四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论；
根据线段垂直平分线的性质得，，，则，再根据平角的定义，可得答案；
利用证明≌，可得，由，利用等式的性质，即可证明结论．
22.证明：方法一，连接，如图，

，是的两条切线，
，，
，
点到的两边的距离相等，
点在的平分线上，
即为的平分线，
；
方法二，连接，如图，

，是的两条切线，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：与之间的数量关系为：，理由：
过点作于点，连接，如图，

由知：，
，．
，
，
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
．
，，
，
．
解析：方法一：连接，利用切线的性质定理和到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上解答即可；方法二：连接，利用切线的性质定理和全等三角形的判定定理与性质定理解答即可；
过点作于点，连接，利用切线的性质定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理和等腰三角形的三线合一的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
23.解：点的坐标为，
．
令，则，
，，
，
，
，
设抛物线的解析式为，
将，代入得：，
解得，
抛物线的解析式为；
，；
抛物线的对称轴为，，
点和点关于抛物线的对称轴对称，
；
设直线的解析式为．
将、代入得：
，
解得，，
直线的解析式；
直线的解析式，
直线的一次项系数，
．
平行于轴，
，
．
的周长．
设，则，
则．
当时，有最大值，最大值为．
的周长的最大值；
在直线的右侧、轴下方的抛物线上存在点，过点作轴交轴于点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；理由如下：
设点的坐标为，则
如图，

若 时，∽．
则 ，整理得：．
得：负值舍去，
点为；
如图，

若时，∽，
则，整理得：，
得：负值舍去，
点为，
综上所述，点的坐标为或．
解析：先求得的坐标，从而得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将点的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点，然后可求得直线的解析式；
求得，接下来证明为等腰直角三角形，所当有最大值时三角形的周长最大，设，，则，然后利用配方可求得的最大值，最后根据的周长求解即可；
当时，如果 或时，则∽，设点的坐标为，则，则，，然后根据题意列方程求解即可．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的长与的函数关系式是解题的关键．等级
劳动积分
人数
吨



万元吨