广东省东莞市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份广东省东莞市2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2+3＝5B．÷＝2C．5×5＝5D．＝2
3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3；4；5
C．a2＝c2﹣b2D．a2：b2：c2＝5：12：17
4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A．B．C．D．
5．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
6．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．100°B．160°C．80°D．60°
7．若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
9．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若要使有意义，则x的取值范围为 ．
12．比较大小： （填“＞”“＜”“＝”）．
13．一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ．
14．把直线y＝2x﹣1向上平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为 ．
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于 ．
16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣1．
18．（6分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
19．（6分）已知一次函数的图象经过（3，5）和（﹣4，﹣9）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a的值．
四、解答题（二）（20题，21题每小题7分，22、23每小题7分，共30分）
20．（7分）已知，，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣xy+y2．
21．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
22．（8分）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数经过原点，求m的值．
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
23．（8分）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
五、解答题（三）（24题，25题各12分，共24分）
24．（12分）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，．，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：3﹣2＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（）2．
∴的算术平方根是，
根据上述方法化简和计算：
（1）．
（2）．
（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
25．（12分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：∵x2≥0，
∴x2+2≥2，
∴一定是二次根式，
而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．2+3＝5B．÷＝2C．5×5＝5D．＝2
解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝＝2，所以B选项正确；
C、原式＝25＝25，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项错误．
故选：B．
3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．∠A：∠B：∠C＝3；4；5
C．a2＝c2﹣b2D．a2：b2：c2＝5：12：17
解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
∴3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
∴∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵a2＝c2﹣b2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵a2：b2：c2＝5：12：17
∴a：b：c＝：：，
∴设a＝x，b＝x，c＝x，
∵（x）2+（x）2＝（x）2，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
故选：B．
4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）
A．B．C．D．
解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为C．
故选：C．
5．若函数y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函数，则m的值为（ ）
A．±1B．﹣1C．1D．2
解：根据题意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故选：B．
6．已知▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠B的度数是（ ）
A．100°B．160°C．80°D．60°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C＝200°，
∴∠A＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A＝80°．
故选：C．
7．若直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则直线y＝bx﹣k的图象只能是图中的（ ）
A．B．C．D．
解：∵直线y＝kx+b经过一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴﹣k＞0，
∴选项B中图象符合题意．
故选：B．
8．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM＝ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM＝AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM＝AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
9．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为（ ）
A．1B．2C．3D．5
解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（ ）
A．4B．4πC．8πD．8
解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，
则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2
＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）
＝4，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．若要使有意义，则x的取值范围为 x≤3且x≠1 ．
解：∵要使有意义，
∴3﹣x≥0且x﹣1≠0，
解得x≤3且x≠1．
故答案为：x≤3且x≠1．
12．比较大小： ＞ （填“＞”“＜”“＝”）．
解：∵﹣1＞1，
∴＞．
故填空结果为：＞．
13．一次函数y＝（m+2）x+1，若y随x的增大而减小，则m的取值范围是 m＜﹣2 ．
解：根据题意得m+2＜0，
解得m＜﹣2．
故答案为m＜﹣2．
14．把直线y＝2x﹣1向上平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为 （0，4） ．
解：把直线y＝2x﹣1向上平移5个单位得y＝2x﹣1+5，即y＝2x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴平移后的直线与y轴的交点坐标为（0，4），
故答案为：（0，4）．
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于 6 ．
解：∵AB＝10，EF＝2，
∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，
∵a﹣b＝2，
解得：a＝8，b＝6，
∴AE＝8，AH＝DE＝6，
∴AH＝8﹣2＝6．
故答案为：6．
16．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④S正方形ABCD＝2+．
其中正确的序号是 ①②④ （把你认为正确的都填上）．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝DC，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
∴①说法正确；
∵CE＝CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∵∠AEF＝60°，
∴∠AEB＝75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵EF＝2，
∴CE＝CF＝，
设正方形的边长为a，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2＝AF2，即a2+（a﹣）2＝4，
解得a＝，
则a2＝2+，
S正方形ABCD＝2+，
④说法正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣1．
解：﹣1
＝﹣2+2﹣﹣2
＝﹣3．
18．（6分）如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？
解：设BD＝x米，则AD＝（10+x）米，CD＝（30﹣x）米，
根据题意，得：
（30﹣x）2﹣（x+10）2＝202，
解得x＝5．
即树的高度是10+5＝15米．
19．（6分）已知一次函数的图象经过（3，5）和（﹣4，﹣9）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）若点（a，2）在这个函数图象上，求a的值．
解：（1）设一次函数的解析式y＝ax+b，
∵图象过点（3，5）和（﹣4，﹣9），
将这两点代入得：，
解得：k＝2，b＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝2x﹣1；
（2）将点（a，2）代入得：2a﹣1＝2，
解得：a＝．
四、解答题（二）（20题，21题每小题7分，22、23每小题7分，共30分）
20．（7分）已知，，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2﹣xy+y2．
解：（1）∵，，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
＝
＝
＝；
（2）∵，，
∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy
＝
＝16﹣3＝13．
21．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．
22．（8分）已知函数y＝（2m+1）x+m﹣3．
（1）若这个函数经过原点，求m的值．
（2）若函数的图象平行于直线y＝3x﹣3，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围．
解：（1）∵关于x的函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象经过原点，
∴点（0，0）满足函数的解析式y＝（2m+1）x+m﹣3，
∴0＝m﹣3，
解得m＝3．
（2）∵函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象平行于直线y＝3x﹣3，
∴2m+1＝3，
∴m＝1；
（3）函数y＝（2m+1）x+m﹣3是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，
∴2m+1＞0且m﹣3＞0，
∴m＞3，
∴m的取值范围是m＞3．
23．（8分）“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式；
（2）当x＝280（千米）时，求剩余油量Q的值；
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
解：（1）该车平均每千米的耗油量为（45﹣30）÷150＝0.1（升/千米），
行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为Q＝45﹣0.1x；
（2）当x＝280时，Q＝45﹣0.1×280＝17（L）．
答：当x＝280（千米）时，剩余油量Q的值为17L．
（3）（45﹣3）÷0.1＝420（千米），
∵420＞400，
∴他们能在汽车报警前回到家．
五、解答题（三）（24题，25题各12分，共24分）
24．（12分）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，．，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：3﹣2＝2﹣2+1＝（）2﹣2+12＝（）2．
∴的算术平方根是，
根据上述方法化简和计算：
（1）．
（2）．
（3）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：（1）
＝
＝
＝2+；
（2）
＝
＝
＝；
（3）∵（m+n）2＝m2+2mn+3n2，
∴m2+3n2＝a，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵a，m，n均为正整数，
∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，
当m＝1，n＝2时，a＝m2+3n2＝1+12＝13；
当m＝2，n＝1时，a＝m2+3n2＝4+3＝7；
综上，a＝13或7．
25．（12分）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．
【解答】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在△EQF和△EPD中，
，
∴△EQF≌△EPD（ASA），
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，
∵CE＝2，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，
∴四边形DECG是正方形，
∴CG＝CE＝2；
（3）①如图3，当DE与AD的夹角为40°时，
∠DEC＝45°+40°＝85°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠CEF＝5°，
∵∠ECF＝45°，
∴∠EFC＝130°，
②如图4，当DE与DC的夹角为40°时，
∵∠DEF＝∠DCF＝90°，
∴∠EFC＝∠EDC＝40°，
综上所述，∠EFC＝130°或40°．