2023-2024学年浙江省金华市金东实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市金东实验中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若二次根式 x−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x<2B. x≠2C. x≤2D. x≥2
3.在▱ABCD中，若∠A+∠C=110°，则∠C的度数是( )
A. 35°B. 50°C. 55°D. 60°
4.如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是( )
A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 九边形
5.若关于x的一元二次方程ax2−2x+1=0有实数根，则a应满足( )
A. a≤1B. a≥1C. a≥−1且a≠0D. a≤1且a≠0
6.用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设( )
A. ∠A=∠BB. AB=ACC. ∠A=∠CD. ∠B=∠C
7.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )
A. 289(1−x)2=256B. 256(1−x)2=289
C. 289(1−2x)=256D. 256(1−2x)=289
9.如图，在平行四边形ABCD中，点F是线段CD上一动点，过点A作平行四边形BFGE，当点F从点C向点D运动过程中，四边形BFGE的面积的变化情况是( )
A. 保持不变B. 一直减小C. 一直增大D. 先增大后减小
10.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=12BC，连接OE，下列结论：①∠CAD=30°；②OD=AB；③S▱ABCD=AC⋅CD；④S四边形OECD=32S△AOD，其中成立的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知一组数据1，2，4，6，8，8，中位数是______．
12.如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=16m，则A，B两点间的距离是______m.
13.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0满足a−b+c=0，则方程必有一个根为______．
14.在平行四边形ABCD中，∠B的平分线将CD分成4cm和2cm两部分，则平行四边形ABCD的周长为____________________．
15.对于两个互不相等的有理数a，b我们规定符号max{a,b}表示a，b两个数中最大的数.按照这个规定则方程max{x,0}=x2−2的解为______．
16.如图，在平行四边形ABCD中，∠B=30°，AB=2 3，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D.当BC长为______时，△AB′D是直角三角形．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)( 6)2− 2× 8；
(2) 18− 2× 4+ 12．
18.(本小题6分)
解方程：
(1)x2=3x；
(2)x2+4x=−3．
19.(本小题6分)
某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选.如表为甲、乙两位同学的得分情况.其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分．
(1)a= ______，b= ______；
(2)经全班同学讨论决定，将人气、学习、行规、工作四个方面在总分中所占的比例分别为20%，25%，30%，25%.经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)，B(0,3)．
(1)请在图中作出点A关于点B的对称点A，并求出A′的坐标．
(2)若点C与原点重合，以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标为______．
(3)若C点在直线y=−x上运动，以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，则线段CD的最小值为______．
21.(本小题8分)
某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品.当商品售价为40元时，一月份销售256件.二、三月该商品十分畅销.销售量持续走高.在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件.设二、三这两个月的月平均增长率不变．
(1)求二、三这两个月的月平均增长率；
(2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
22.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
(1)求证：AE⊥BE．
(2)若AD=3，BE=4，求AE的长；
(3)点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：FG=CG．
23.(本小题10分)
一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2=(1+ 2)2．
设a+b 2=(m+n 2)2(其中a、b、m、n均为正整数)，则有a+b 2=m2+2n2+2mn 2，∴a=m2+2n2，b=2mn，这样可以把部分a+b 2的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1)当m、n均为正整数，若4+2 3=(m+n 3)2，则m= ______，n= ______．
(2)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3=(m+n 3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ______，b= ______．
(3)化简1 11−4 7．
24.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=3，CD=5，AB=4 2，∠B=45°，动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发沿线段DC−CB向终点B运动．设运动的时间为t秒．
(1)直接写出BM=______(用含t的代数式表示)，BC=______．
(2)如果当四边形ABMD是平行四边形时，点M与点N恰好相遇，求点N的运动速度；
(3)在(2)的条件下，求出t为何值时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】D
解：∵A.此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
C.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；
D.此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；
故选D．
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
2.【答案】D
解：由题意得，x−2≥0，
解得，x≥2，
故选：D．
根据二次根式的意义，被开方数是非负数，列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数为非负数是解题的关键．
3.【答案】C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=110°，
∴∠C=55°，
故选：C．
根据平行四边形的对角相等可得答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4.【答案】A
解：360°÷60°=6，
∴这个多边形是六边形．
故选：A．
根据多边形外角和为360度，列式计算即可．
本题主要考查了三角形外角和的知识，难度不大．
5.【答案】D
解：∵原方程为一元二次方程，且有实数根，
∴a≠0，b2−4ac≥0时，方程有实数根；
∴(−2)2−4a≥0，
解得：a≤1，
∴a≤1且a≠0，
故选：D．
方程为一元二次方程，故a≠0，再结合根的判别式：当b2−4ac≥0时，方程有实数根，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练地掌握根的判别式与根的关系是解题的关键．当b2−4ac≥0时，方程有实数根，当b2−4ac<0时，方程无实数根．
6.【答案】D
解：用反证法证明命题“若在△ABC中，AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设∠B=∠C，
故选：D．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】C
解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，
由于S乙2>S丙2，故乙的方差大，波动大．
故选：C．
先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
8.【答案】A
【解析】【分析】
设平均每次降价的百分率为x，则经过两次降价后的价格是289(1−x)2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289(1−x)2=256．
此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
【解答】
解：由平均每次降价的百分率为x，
则第一次降价后售价为289(1−x)，
第二次降价后售价为289(1−x)2，
由题意得：289(1−x)2=256．
故选：A．
9.【答案】A
解：如图，连接AF．
∵四边形BEGF是平行四边形，
∴S平行四边形BEGF=2S△ABF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD=2S△ABF，
∴S平行四边形BFGE=S平行四边形ABCD=定值，
故选：A．
证明S平行四边形BFGE=S平行四边形ABCD可得结论．
本题考查平行四边形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】【分析】
结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由AB=12BC可判定①，证明∠BAC=90°，可判定②；由平行四边形的面积公式可判定③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定④．
本题主要考查平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，
∴AD//BC，∠ABC=∠ADC=60°，OB=OD，
∴∠DAE=∠AEB，∠BAD=∠BCD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=60°，
且∠ABE=60°=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE，
∵AB=12BC，
∴EC=AE，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵∠BAD=120°，∠CAD=30°，
∴∠BAC=90°，
∴BO>AB，
∴OD>AB，故②错误；
∴S▱ABCD=AB⋅AC=AC⋅CD，故③正确；
∵∠BAC=90°，BC=2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD=1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD=3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD=3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD=1：4，
∴S四边形OECD=32S△AOD，故④正确．
综上，正确的结论有①③④共3个．
故选：C．
11.【答案】5
解：数据1，2，4，6，8，8，中位数是4+62=5．
故答案为：5．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数．
本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12.【答案】32
解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，
∴MN是△OAB的中位线，
∴AB=2MN=32(m)，
故答案为：32．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
13.【答案】x=−1
解：∵ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，
∴当x=−1时，a−b+c=0，
∴此方程必有一个根为−1，
故答案为：x=−1．
根据ax2+bx+c=0，若a−b+c=0，可判断当x=−1时满足条件，于是判断出方程的根．
本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好a−b+c=0的条件，此题比较简单．
14.【答案】16cm或20cm
【解析】【分析】
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行．注意当有平行线和角平分线出现时，会有等腰三角形出现．解题时还要注意分类讨论思想的应用．
如图：由▱ABCD，根据平行四边形的对边相等且平行，可得AD=BC，AB=CD，AD//BC，即可得∠AEB=∠CBE，又因为BE是∠ABC的平分线，则∠ABE=∠CBE，∠ABE=∠AEB，故AB=AE，∠ABC的平分线分对边AD为2cm和4cm两部分，所以AE可能等于2cm或等于4cm，然后即可得出答案．
【解答】
解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵∠ABC的平分线分对边AD为2cm和4cm两部分，
如果AE=2cm，AB=DC=2cm，AD=BC=2+4=6cm，四边形周长为16cm；
如果AE=4cm，则AB=DC=4cm，AD=BC=6cm，∴▱ABCD的周长为20cm；
∴▱ABCD的周长为16cm或20cm．
故答案为16cm或20cm．
15.【答案】x=2或− 2
解：当x≥0时，x2−2=x，
x2−x−2=0，
a=1，b=−1，c=−2，
Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2)=1+8=9，
x=−(−1)± 92=1±32，
∴x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)；
当x<0时，x2−2=0，
a=1，b=0，c=−2，
Δ=b2−4ac=02−4×1×(−2)=8
x=0± 82=±2 22，
x1=− 2,x2= 2(不合题意，舍去)，
∴方程max{x,0}=x2−2的解为：x=2或− 2，
故答案为：x=2或− 2．
分两种情况讨论：当x≥0和x<0时，根据新定义列出关于x的方程，解方程即可．
本题主要考查了新定义和解一元二次方程，解题关键是理解新定义的含义．
16.【答案】6或4或3
解：①如图1，延长B′A，交BC于点G，当∠B′AD=90°时，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AD/​/BC，∠B′AD=90°，
∴∠B′GC=90°，
∵∠B=30°，AB=2 3，
∴∠AB′C=30°，
∴GC=12B′C=12BC，
∴G为BC中点，
∴BG= 32AB=3，
∴BC=6，
②如图2，设B′C与AD相交于点F，当∠AB′D=90°时，
∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AB′=AB=CD，AC=CA，
∴△ACB′≌△CAD(SSS)，
∴∠DAC=∠B′CA，
∴FA=FC，
∵AD=B′C，
∴FB′=FD，
∴∠FB′D=∠FDB′，
∵∠AB′C=∠B=∠CDA，
∴∠AB′D=∠CDB′，
∵∠AB′D=90°，
∴∠CDB′=90°，
∴AB′//CD，
∵AB/​/CD，
∴B，A，B′在同一直线上，
∴∠BAC=∠B′AC=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2 3，
∴BC=2 33AB=4；
③如图3，当∠ADB′=90°时，记CD与AB′交于点O，
由折叠可知，∠B=∠ADC=∠AB′C=30°，
BC=B′C=AD，
∴∠ODB′=60°，
∵∠AOD=∠B′OC，
∴△AOD≌△COB′(AAS)
∴OD=OB′，
∴△ODB′是等边三角形，
∴∠DB′C=90°，
同理可得∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=2 3，
BC= 32AB=3．
综上所述，BC的长为6或4或3．
分两种情况，利用含30°的直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
17.【答案】解：(1)( 6)2− 2× 8
=6− 16
=6−4
=2；
(2) 18− 2× 4+ 12
=3 2−2 2+12 2
=32 2．
【解析】(1)先算乘方，再算乘法；
(2)先算乘法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质、运算法则、运算顺序是解决本题的关键．
18.【答案】解：(1)x2=3x，
则x2−3x=0，
∴x(x−3)=0，
∴x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3；
(2)x2+4x=−3，
则x2+4x+3=0，
∴(x+1)(x+3)=0，
∴x+1=0或x+3=0，
∴x1=−1，x2=−3．
【解析】(1)先移项，再根据提公因式法把方程的左边化为积的形式，进而解出方程；
(2)先移项，再利用十字相乘法把方程的左边化为积的形式，进而解出方程．
本题考查的是因式分解法解一元二次方程，熟记因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
19.【答案】80 2
解：(1)由题意，得a=4×10+20×2=80，
b=70−25×210=2，；
故答案为：80，2；
(2)乙同学的最终得分是：70×20%+90×25%+92×30%+90×25%=86.6(分)，
∵87>86.6，
则甲同学当选．
(1)由老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分，可得a和b的值；
(2)利用加权平均数的计算公式求出乙的最后得分，再比较即可．
本题考查了加权平均数，熟记公式是解题的关键．
20.【答案】(−4,3)或(4,−3)或(4,3) 7 22
解：(1)作出点A关于点B的对称点A′，如图：
由对称的性质可知，B(0,3)是AA′的中点，
∵A(4,0)，
∴A′(−4,6)；
(2)设D(m,n)，
又A(4,0)，B(0,3)，C(0,0)，
①若DA，BC为对角线，则m+4=0+0n+0=3+0，
解得m=−4n=3，
∴D(−4,3)；
②若DB，AC为对角线，则m+0=4+0n+3=0+0，
解得m=4n=−3，
∴D(4,−3)；
③若DC，AB为对角线，则m+0=4+0n+0=0+3，
解得m=4n=3，
∴D(4,3)；
综上所述，D的坐标为(−4,3)或(4,−3)或(4,3)；
故答案为：(−4,3)或(4,−3)或(4,3)；
(3)设C(t,−t)，D(p,q)，则CD= (t−p)2+(q+t)2，
又A(4,0)，B(0,3)，
①若CA，BD为对角线，则t+4=p−t=q+3，
∴t−p=−4，t+q=−3，
∴CD= (−4)2+(−3)2=5；
②若CB，AD为对角线，则t=p+4−t+3=q，
∴t−p=4，t+q=3，
∴CD= 42+32=5；
③若DC，AB为对角线，则t+p=4−t+q=3，
∴p=−t+4，q=t+3，
∴CD= (t−p)2+(q+t)2= (t+t−4)2+(t+3+t)2= 8(t−14)2+492，
∴当t=14时，CD取最小值 492=7 22；
∵5>7 22，
∴以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，线段CD的最小值为7 22；
故答案为：7 22．
(1)作出点A关于点B的对称点A′，由对称的性质B(0,3)是AA′的中点，即得A′(−4,6)；
(2)设D(m,n)，分三种情况：①若DA，BC为对角线，则m+4=0+0n+0=3+0，②若DB，AC为对角线，则m+0=4+0n+3=0+0，③若DC，AB为对角线，则m+0=4+0n+0=0+3，分别解方程组可得答案；
(3)设C(t,−t)，D(p,q)，①若CA，BD为对角线，则t+4=p−t=q+3，可得CD= (−4)2+(−3)2=5；②若CB，AD为对角线，则t=p+4−t+3=q，得CD= 42+32=5；③若DC，AB为对角线，则t+p=4−t+q=3，知CD= (t−p)2+(q+t)2= (t+t−4)2+(t+3+t)2= 8(t−14)2+492，故当t=14时，CD取最小值 492=7 22；因5>7 22，所以以A、B、C、D四点为顶点的四边形为平行四边形，线段CD的最小值为7 22．
本题考查一次函数综合应用，涉及平行四边形的性质及应用，中心对称的性质等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
21.【答案】解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256(1+x)2=400，
解得：x1=14，x2=−94(不合题意舍去)．
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
(2)设当商品降价m元时，商品获利4250元，根据题意可得：
(40−25−m)(400+5m)=4250，
解得：m1=5，m2=−70(不合题意舍去)．
答：当商品降价5元时，商品获利4250元．
【解析】(1)由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：256(1+x)件；三月份的销售量为：256(1+x)(1+x)件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出x的值，即求出了平均增长率；
(2)利用销量×每件商品的利润=4250求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB/​/CD，
∴∠DEA=∠BAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠DEA，
∴ED=AD，
同理：BC=EC，
∴ED=EC，
∴E为CD的中点；
(2)解：由(1)可知，ED=EC=AD=3，
∴CD=2ED=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵BE平分∠ABC，AE平分∠DAB，
∴∠CBE=∠ABE=12∠ABC，∠DAE=∠BAE=12∠DAB，
∴∠BAE+∠ABE=12∠DAB+12∠ABC=12(∠DAB+∠ABC)=12×180°=90°，
∴∠AEB=180°−(∠BAE+∠ABE)=180°−90°=90°，
∴AE= AB2−BE2= 62−42=2 5，
即AE的长为2 5；
(3)证明：如图，取BE的中点H，连接FH，

则BH=EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH//AB，且AB=2FH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD，
∴FH/​/CD，
∴∠CEG=∠FHG，
由(1)可知，CD=2CE，
∴FH=CE，
又∵∠CGE=∠FGH，
∴△CEG≌△FHG(AAS)，
∴CG=FG．
【解析】(1)由平行四边形的性质得AD=BC，AB/​/CD，再∠DEA=∠BAE，再证∠DAE=∠DEA，得ED=AD，同理BC=EC，则ED=EC，即可得出结论；
(2)证∠AEB=90°，再由勾股定理即可得出结论；
(3)取BE的中点H，连接FH，由三角形中位线定理得FH/​/AB，且AB=2FH，再证△CEG≌△FHG(AAS)，得FG=CG．
本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23.【答案】1 1 m2+3m 2mn
解：(1)∵(m+n 3)=m2+3n2+2 3mn，
又∵4+2 3=(m+n 3)2，
∴m2+3m2=4，mn=1．
∵m、n均为正整数，
∴m=1，n=1．
故答案为：1，1．
(2)∵(m+n 3)=m2+3n2+2 3mn，
又∵a+b 3=(m+n 3)2，
∴m2+3m2=a，2mn=b．
故答案为：m2+3m，2mn．
(3)1 11−4 7
=1 ( 7)2−4 7+22
=1 ( 7−2)2
=1 7−2
= 7+23．
(1)(2仿照题目给出的例，可得结论；
(3)先把7化为 72+22，把二次根式的被开方数写成完全平方式，再化简二次根式，最后分母有理化．
本题考查了二次根式，看懂题例掌握二次根式的性质、完全平方公式等知识点是解决本题的关键．
24.【答案】t 10
解：(1)∵动点M从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒，
∴BM=t，
如图1，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形，
∴KH=AD=3，
在Rt△ABK中，AB=4 2，∠B=45°，
∴AK=BK= 22AB= 22×4 2=4，
∴DH=AK=4，
在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC= CD2−DH2= 52−42=3，
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10，
故答案为：t，10；
(2)∵当四边形ABMD是平行四边形时，BM=AD=3，BM=t，
∴t=3，
∴t=3时，点M与点N相遇，
∴此时C点到点N的距离为：CD+CM=CD+BC−BM=5+10−3=12，
∴点N的运动速度为：12÷3=4，
∴点N的运动速度为每秒4个单位长度；
(3)根据题意，点M与点N在BC边时，以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
分两种情况：
①点M在点N左边时，如图2，
∵以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
∴MN=AD=3，
∵BM=t，CN=4t−CD=4t−5，BC=10，MN=BC−BM−CN，
∴10−t−(4t−5)=3，
解得t=125；
②点M在点N右边时，如图3，
∵以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，
∴NM=AD=3，
∵CM=10−t，BN=BC=BC+CD−4t=15−4t，BC=10，BN+CM=BC−MN，
∴10−t+(15−4t)=10−3，
解得：t=185，
答：t的值125或185时，以点A、M、N、D为顶点的四边形是平行四边形．
(1)根据速度公式可直接求出BC，作梯形的两条高，根据直角三角形的性质和矩形的性质求解可得BC；
(2)根据平行四边形的性质求出BM=3，可得点M与点N相遇时t的值，求出点N运动的距离，即可得点N的运动速度；
(3)根据题意，点M与点N在BC边时，以点A、M、N、D为顶点的四边形可以是平行四边形，可分两种情况：①点M在点N左边，②点M在点N右边，根据平行四边形的性质即可求解．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，利用分类讨论得出是解题关键．甲
乙
丙
丁
x−(环)
8
9
9
8
S2(环 ​2)
1
1.2
1
1.2
学生
人气分
学习分
行规分
工作分
老师票数
同学票数
分数
甲
4
20
α
85
95
85
乙
b
25
70
90
92
90