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    2024一轮题型分类细讲精练03:不等式

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    2024一轮题型分类细讲精练03:不等式

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    这是一份2024一轮题型分类细讲精练03:不等式,文件包含解密03不等式原卷版docx、解密03不等式解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共43页, 欢迎下载使用。
    1.两个实数比较大小的方法
    (1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-b>0⇔a>b,a-b=0⇔a=b,a-bb,\f(a,b)=1⇔a=b,\f(a,b)0,b>0.
    (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
    (3)其中eq \f(a+b,2)叫做正数a,b的算术平均数,eq \r(ab)叫做正数a,b的几何平均数.
    5.几个重要的不等式
    (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
    (2)eq \f(b,a)+eq \f(a,b)≥2(a,b同号).
    (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2(a,b∈R).
    (4)eq \f(a2+b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a+b,2)))2(a,b∈R).
    以上不等式等号成立的条件均为a=b.
    6.用基本不等式求最值
    用基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a+b,2)求最值应注意:一正二定三相等.
    (1)a,b是正数;
    (2)①如果ab等于定值P,那么当a=b时,和a+b有最小值2eq \r(P);
    ②如果a+b等于定值S,那么当a=b时,积ab有最大值eq \f(1,4)S2.
    (3)讨论等号成立的条件是否满足.
    【方法技巧】
    一、比较大小的常用方法
    (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
    (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
    (3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.
    二、判断不等式的常用方法
    (1)直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
    (2)利用特殊值法排除错误答案.
    (3)利用函数的单调性,当直接利用不等式的性质不能比较大小时,可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较.
    三、利用基本不等式求最值
    (1)前提:“一正”“二定”“三相等”.
    (2)要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
    (3)条件最值的求解通常有三种方法:一是配凑法;二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法;三是消元法.
    【核心题型】
    题型一:比较两个数(式)的大小
    1.已知,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【分析】通过作差法,,确定符号,排除D选项;
    通过作差法,,确定符号,排除C选项;
    通过作差法,,确定符号,排除A选项;
    【详解】由,且,故;
    由且,故;
    且,故.
    所以,
    故选:B.
    2.已知:,则3,,的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【分析】先将指数式化为对数式,再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小,确定选项.
    【详解】,,
    ∴;
    又 ,∴.故选D.
    【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性,考查基本分析求解能力,属基础题.
    3.设,,则与的大小关系是( )
    A.B.C.D.无法确定
    【答案】A
    【分析】利用作差法解出的结果,然后与0进行比较,即可得到答案
    【详解】解:因为,,
    所以,
    ∴,
    故选:A
    题型二:不等式的基本性质
    4.对于实数a,b,c,下列命题中正确的是( )
    A.若,则
    B.若,则
    C.若,则
    D.若,则
    【答案】D
    【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.
    【详解】对于选项A,注意到若,当时,.故A错误.
    对于选项B,设,
    得,解得.又,,
    得.故B错误.
    对于C选项,因,则,故C错误.
    对于D选项,,因,则,故D正确.
    故选:D
    5.已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是( )
    A.若a>b,c>d,则a-d>b-cB.若a>b,c>d则ac>bd
    C.若ab>0,bc-ad>0,则D.若a>b,c>d>0,则
    【答案】AC
    【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
    【详解】解:由不等式性质逐项分析:
    A选项:由,故,根据不等式同向相加的原则,故A正确
    B选项:若,则,故B错误;
    C选项:,,则,化简得,故C正确;
    D选项:,,,则,故D错误.
    故选:AC
    6.已知,则 ( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】AC
    【分析】对A,对两边同除ab化简即可判断;
    对B,对不等式移项进行因式分解得,即可进一步判断的符号不确定,即可判断;
    对C,对不等式移项进行因式分解得,由即可判断;
    对D,对不等式移项进行根式运算得,即可进一步判断
    【详解】对A,,A正确;
    对B,,∵,∴,不等式不一定成立,B错误;
    对C,,∵,∴,不等式成立,C正确;
    对D,,所以,不等式不成立,D错误;
    故选:AC.
    题型三:不等式性质的综合应用
    7.已知,,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【分析】利用待定系数法得出,并计算出的取值范围,利用不等式的性质可得出的取值范围.
    【详解】设,,解得,

    ,,,
    由不等式的性质可得,即,
    因此,的取值范围是,故选D.
    【点睛】本题考查求代数式的取值范围,解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示,在求解可充分利用待定系数法,考查运算求解能力,属于中等题.
    8.已知,,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【分析】利用待定系数法求得,由,,结合,从而可得结果.
    【详解】令
    则,
    ∴,
    又,…∴①

    ∴…②
    ∴①②得.
    则.
    故选C.
    【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质,意在考查综合运用所学知识解答问题的能力,属于中档题.
    9.已知,,则的取值范围为__________.
    【答案】
    【分析】由可以推出,由不等式的性质可以得到的取值范围.
    【详解】,而,根据不等式的性质可得
    ,所以的取值范围为.
    【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性,可以利用相乘性进行转化,但是应用不等式相乘性时,要注意不等式的正负性.
    题型四:利用基本不等式求最值
    命题点1 配凑法
    10.设实数满足,函数的最小值为( )
    A.B.C.D.6
    【答案】A
    【解析】将函数变形为,再根据基本不等式求解即可得答案.
    【详解】解:由题意,所以,
    所以

    当且仅当,即时等号成立,
    所以函数的最小值为.
    故选:A.
    【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
    (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;
    (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
    (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方
    11.已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值为________.
    【答案】eq \f(3,2)
    【详解】因为x>0,y>0,2x+3y=6,
    所以xy=eq \f(1,6)(2x·3y)≤eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x+3y,2)))2=eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))2=eq \f(3,2).
    当且仅当2x=3y,即x=eq \f(3,2),y=1时,xy取到最大值eq \f(3,2).
    12.已知a>b>c,求(a-c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(1,b-c)))的最小值.
    【详解】(a-c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(1,b-c)))
    =(a-b+b-c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(1,b-c)))
    =1+1+eq \f(b-c,a-b)+eq \f(a-b,b-c).
    ∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,
    ∴2+eq \f(b-c,a-b)+eq \f(a-b,b-c)≥2+2eq \r(\f(b-c,a-b)·\f(a-b,b-c))=4,
    当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时取等号,
    ∴(a-c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a-b)+\f(1,b-c)))的最小值为4.
    命题点2常数代换法
    13.已知,则的最小值是( )
    A.7B.C.4D.
    【答案】D
    【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
    【详解】因为,
    所以,
    当且仅当即时,等号成立.
    结合可知,当时,有最小值.
    故选:D.
    14.已知,且,则的最小值为( )
    A.9B.10C.11D.
    【答案】A
    【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值,然后展开利用基本不等式求解.
    【详解】,,又,且,

    当且仅当,解得,时等号成立,
    故的最小值为9.
    故选:A.
    【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:
    (1)“一正”就是各项必须为正数;
    (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;
    (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.
    15.若实数,则的最小值为( )
    A.B.1C.D.2
    【答案】D
    【分析】由条件变形,再结合基本不等式求最小值.
    【详解】由条件可知,,
    所以

    当,即,结合条件 ,
    可知时,等号成立,所以的最小值为.
    故选:D
    16.已知,且,则的最小值为_________.
    【答案】4
    【分析】根据已知条件,将所求的式子化为,利用基本不等式即可求解.
    【详解】,,
    ,当且仅当=4时取等号,
    结合,解得,或时,等号成立.
    故答案为:
    【点睛】本题考查应用基本不等式求最值,“1”的合理变换是解题的关键,属于基础题.
    命题点3 消元法
    17.负实数、满足,则的最小值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【分析】由已知可得,再利用基本不等式可求得的最小值.
    【详解】因为负实数、满足,则,可得,
    由基本不等式可得,
    当且仅当时,即当时,等号成立.
    故的最小值为.
    故选:A.
    18.若实数x,y满足xy+3x=3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0b+c

    可乘性
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc
    注意c的符号
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,cd))⇒a+c>b+d

    同向同正可乘性
    eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd

    可乘方性
    a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥1)
    a,b同为正数
    可开方性
    a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N,n≥2)
    a,b同为正数
    判别式Δ=b2-4ac
    Δ>0
    Δ=0
    Δ0)的图象
    方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
    有两相异实根x1,x2
    (x10 (a>0)的解集
    {x|xx2}
    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠-\f(b,2a)))))
    {x|x∈R}
    ax2+bx+c0)的解集
    {x|x1< x

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