2024一轮题型分类细讲精练07：任意角的三角函数、诱导公式及恒等式

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1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3.任意角的三角函数
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的性质如下表：
4．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
5．三角函数的诱导公式
6．常见特殊角的三角函数值
7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1) sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β；
(2) cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β；
(3) tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．
8．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcs α；
②cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
(2)公式变形：
由cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；
升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
9．辅助角公式
asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋θ). （其中）
＝eq \r(a2＋b2)cs(x—φ). （其中）
【方法技巧】
1．求三角函数值
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
2．同角三角函数基本关系式的应用
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二．
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3．诱导公式
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算．
如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
4．三角函数式化简的常用方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数．
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．
(3)注意“1”的代换：1＝sin2α＋cs2α＝taneq \f(π,4).
5．给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β；
②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
6．已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
7．利用公式T(α±β)化简求值的两点说明
= 1 \* GB4 \* MERGEFORMAT ㈠分析式子结构，正确选用公式形式：
T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(1)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
(2)熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形：
①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；
②1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)；
③tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；
④tan α·tan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
= 2 \* GB4 \* MERGEFORMAT ㈡化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“eq \r(3)”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan eq \f(π,4)”，“eq \r(3)＝tan eq \f(π,3)”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值．
【核心题型】
题型一：定义法求三角函数值
1．（2022·吉林延边·高三阶段练习）若点在函数的图象上，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
【答案】D
【详解】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.
2．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知角的终边上有一点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据三角函数定义可知，再利用三角恒等变换和同角三角函数之间的基本关系即可求得结果.
【详解】角的终边上有一点，
根据三角函数定义得，所以
.
故选：C
3．（2021秋·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考阶段练习）已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】，
又，为锐角，
∴ ，
故选：A.
题型二：利用三角函数符号判断角所在象限
4．（2017·全国·校联考二模）若，则是( )
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】运用诱导公式先化简后根据符号定象限.
【详解】，即是第一或第四象限的角，
，即是第三或第四象限的角，
综上，是第四象限的角.
故选：D.
5．（2019秋·河北衡水·高三统考阶段练习）已知，则点P所在的象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【详解】试题分析：∵，∴，即是第三象限角，∴，∴点P在第四象限.
考点：三角函数值符号判断.
6．（2022·浙江·模拟预测）已知，则“”是“角为第一或第四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】利用定义法进行判断.
【详解】充分性：当时，不妨取时轴线角不成立.故充分性不满足；
必要性：角为第一或第四象限角，则，显然成立.
故选：B.
题型三：知一求二
7．（2021秋·福建三明·高三三明市第二中学校考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将题设条件等式两边平方，可得，再将目标式平方并结合角的范围即可求.
【详解】，则，
而，又，
∴，则.
故选：A
8．（2022秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把已知的等式平方得到，再化简代入即得解.
【详解】由，
所以，
∴，
所以.
故选：A．
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）在三角形中，已知，，若，则的值为__________．
【答案】或
【分析】由，解出A，B，C的正余弦值，将等式化简后代入，解出.
【详解】因为，，，，
所以，，，，
．
，
即，
所以，解得或.
故答案为：或．
题型四：齐次式法求值
10．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知，根据二倍角公式及同角的三角函数关系可得，即可得答案.
【详解】解：因为，
所以.
故.
故选：C.
11．（2022秋·云南昆明·高三校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先对原式利用两角和与差的正余弦公式化简，然后再利用同角三角函数的关系化简变形，再代值计算即可.
【详解】因为，
所以
，
故选：A
12．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由得：，
即，，
.
故选：B.
题型五：整体代换法诱导公式化简求值
13．（2014·高三课时练习）已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，化简则 ，从而可得结果.
【详解】
，
，故选C.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．
14．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，然后根据正切的和差公式求解即可．
【详解】解：，，
．
故选：D．
15．（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则______.
【答案】
【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.
【详解】，
又，
所以，
又，
所以，
所以为负值，
所以.
故答案为：.
题型六：给值求角
16．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【详解】因为，则，因为，则，可得，
因为，则，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故选：A.
17．（2022秋·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考开学考试）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的正切公式求出，再根据结合两角和的正切公式求得，根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，
故，
由，所以，
又,
所以，
故，
所以.
故选：A.
18．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）已知，且，求的值为_____．
【答案】##
【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】，则，注意到
，于是
，不妨记
，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是
.
故答案为：.
题型七：利用三角函数恒等变换解决三角函数性质问题
19．（2023·全国·高三专题练习）以下关于的命题，正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．点是函数图象的一个对称中心
D．将函数图象向左平移个单位，可得到的图象
【答案】D
【分析】根据三角函数恒等变换化简为，计算出，根据正弦函数的单调性，可判断A;采用代入验证的方法可判断;根据三角函数的平移变换可得平移后的函数解析式，判断D.
【详解】由题意得，
当时，，由于函数在不单调，
故函数在区间上不是单调递增函数，A错误；
当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误；
当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误；
将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确，
故选：D
20．（2021秋·陕西榆林·高三陕西省神木中学校考阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为，由，根据正弦函数的性质即可求解最小值．
【详解】解：
，
因为，所以，则函数的最小值为．
故选：A．
21．（2021秋·北京昌平·高三昌平一中校考期中）已知函数.
(1)求的值；
(2)求函数的最小值及相应的值；
(3)若，求函数的增区间（直接写出结论）.
【答案】(1)
(2)当，时，函数取得最小值为
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简函数解析式可得，再求值即可.
（2）令，，即可得解.
（3）利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1），
，
，
；
（2）令，，
解得，，
即，时，函数取得最小值为.
（3）令，，
解得，，
又，
函数的增区间为.
题型八：三角恒等变换与平面向量结合问题
22．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直得出，根据，以及正弦、余弦倍角公式即可求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
结合，
得，
，
，
又，
所以，
所以原式.
故选：D.
23．（2022春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）已知向量．
(1)若，求；
(2)若，求函数的单调增区间．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由列方程化简可求得结果；
（2）由向量的数量积运算结合三角函数恒等变换公式可得，由可求出函数的增区间.
【详解】（1）因为，且，
所以，
由上式可知，
所以；
（2），
令，得，
所以函数的单调增区间为．
24．（2020秋·吉林·高三校考期中）已知向量且
(1)用表示及.
(2)求函数的最小值及的值.
【答案】(1)，
(2)最小值为-1，此时
【分析】（1）利用向量数量积运算公式及三角恒等变换得到，再由向量线性运算法则及模长公式求出；
（2）在第一问的基础上，化简得到，结合，求出的最小值，及此时的值.
【详解】（1）
，
，
故
，
因为，所以，
所以；
（2），
因为，，且单调递减，
故当，时，取得最小值，且最小值为.
【高考必刷】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，则的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】两边平方得，进而得或，，，再分为偶数和为奇数两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由，平方得：，则，即，则或，，即有或，，
当为偶数时，位于第二象限，，，，不成立，
当为奇数时，位于第四象限，，，成立.
∴角的终边在第四象限.
故选：D.
【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，根据三角函数的符号求角的范围，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据题意得，进而根据函数符号得的范围，再分类讨论求解.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知点在第一象限，则在内的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由第一象限点的坐标的符号列出三角函数的不等式，根据三角函数的性质求解，结合，求出角的取值范围．
【详解】由已知点在第一象限得：
，，即，，
当，可得，．
当，可得或，．
或，．
当时，或．
，
或．
故选：B．
【点睛】本题的考点是利用三角函数性质求三角函数的不等式，需要根据题意列出三角函数的不等式，再由三角函数的性质求出解集，结合已知的范围再求出交集，属于中档题．
3．（广东省河源市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点与角的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.
【详解】因为，得到点在第四象限，即为第四象限角，
由三角函数定义得，
所以，
所以.
故选：D.
4．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
5．（2021秋·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知，则．
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】.
所以选A.
【点睛】本题考查了二倍角及同角正余弦的差与积的关系，属于基础题.
6．（2022·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】先根据诱导公式化简得,再结合半角公式整理得.
【详解】由诱导公式化简整理得：，
由于，
所以
故选：A
【点睛】本题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于寻找与之间的关系，从半角公式入手化简整理.考生需要对恒等变换的相关公式熟记.
7．（2021·全国·高三专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由所给等式利用同角三角函数的关系可求得，再利用降幂公式及二倍角公式将整理为，代入相应值即可得解.
【详解】由可得
所以，即，即
故选：C
【点睛】关键点睛：本题考查同角三角函数的关系、降幂公式、二倍角公式，解答本题的关键是由条件有，从而可得，由可解，属于中档题.
8．（2020秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】A
【分析】由，转化为，结合数量积的坐标运算得出，然后将所求代数式化为
，并在分子分母上同时除以，利用弦化切的思想求解．
【详解】由题意可得 ，即 ．
∴，
故选A．
【点睛】本题考查垂直向量的坐标表示以及同角三角函数的基本关系，考查弦化切思想的应用，一般而言，弦化切思想应用于以下两方面：
（1）弦的分式齐次式：当分式是关于角弦的次分式齐次式，分子分母同时除以，可以将分式由弦化为切；
（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化为角的二次整式，然后除以化为弦的二次分式齐次式，并在分子分母中同时除以可以实现弦化切．
9．（2023秋·江西·高三校联考阶段练习）若是第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．，
【答案】D
【分析】由已知和求出，再代入两角和的正切展开式可得答案.
【详解】是第二象限角，所以，，
由，得，，
所以，则.
故选：D.
10．（2022·陕西西安·西安市第三十八中学校考一模）若，则（ ）
A．3B．C．2D．4
【答案】A
【分析】根据正切两角差公式，凑角得的值，再将所求式子利用平方公式和正弦二倍角公式化成齐次式，再利用商数关系，化成含的式子，代入求值即可.
【详解】解：因为，
所以．
故选：A.
11．（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】由导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，由此可得，再结合二倍角公式和同角关系求.
【详解】因为在处的切线的倾斜角为，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
故选：B.
12．（2022秋·河南郑州·高三温县第一高级中学校联考阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出，再分析得到，即得解.
【详解】解：，
所以
∵，，
∴.
∴.
故选：A.
13．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）设，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．
【详解】解：，
故选：C．
14．（2018·高三课时练习）已知在△ABC中，cs＝－，那么sin＋csA＝( )
A．B．－
C．D．
【答案】B
【详解】因为cs＝－，即cs＝－，所以sin＝－，则sin＋csA＝sinAcs＋csAsin＋csA＝sin＝－.故选B.
15．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对进行通分化简，再左右两边同时平方且求出，进而得到答案
【详解】，
，
，
，
，
.
，
，
，
，
故选：D.
16．（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，化简得到，，代入计算得到答案.
【详解】设，，则，，
即，，，
故，.
故选：D
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）若，是第二象限的角，则（ ）
A．B．C．2D．-5
【答案】D
【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出，再估算的范围，进而求得结论．
【详解】解：，
整理得，
解得或，
∵是第二象限的角，
，
，
，
，
∴ 原式．
故选：D．
18．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据，的范围即可求出结果.
【详解】由已知可将，，
则，
，
，即或．
又，所以，
所以，所以选项A，B错误，
即，则，所以．则C错，D对，
故选：D
19．（2022·全国·高三专题练习）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】推导出，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，则，
所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，
所以，，
所以，，
因为、都是锐角，则且，则，
所以，，因此，.
故选：D.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在上单调递减，则不能取（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简，得，求出函数的单调递减区间为，再根据，得，，再分别令，，，求出整数，由此可得答案.
【详解】因为
，
由，，
得，，
所以函数的单调递减区间为.
又函数在上单调递减，所以，
所以，，因为，所以，，
当时，得，得，不成立；所以不可取；
当时，得，得，因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到；
当时，得，得，因为，所以时，可取到.
综上所述：不能取.
故选：A
21．（2023秋·广西河池·高三统考期末）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的一条对称轴为
B．的一个对称中心为
C．在上的值域为
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【分析】化简可得，利用代入检验法可判断AB的正误，利用正弦函数的性质可判断C的正误，求出平移后的解析式可判断D的正误.
【详解】，
因为，故不是对称轴，故A错误.
，不是的一个对称中心，
故B错误.
当时，，故，
所以，即在上的值域为，
故C正确.
的图象向右平移后对应的解析式为，
当时，此时函数对应的函数值为，而，
故与不是同一函数，故D错误.
故选：C.
22．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数在内有且仅有1个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简，再根据余弦函数的图像和性质求解即可.
【详解】由题意得
当时，，
因为在内有且仅有1个零点，
所以，解得，
故选：D
23．（2022秋·甘肃兰州·高三兰州一中校考阶段练习）已知：函数，则下列说法错误的是（ ）
A．将的图像向右平移个单位长度得的图像
B．在上的值域为
C．若，则，
D．的图像关于点对称
【答案】C
【分析】对函数化简变形得，再利用正弦函数的图像与性质依次判断选项即可.
【详解】化简
对于A，将的图像向右平移个单位长度得，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，的最小正周期为，故，则，，故C错误；
对于D，，故的图像关于点对称，故D正确；
故选：C
二、多选题
24．（2022秋·福建·高三统考阶段练习）已知为锐角，且，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可求得，知A错误；由的范围可求得，结合的范围可知B正确；由已知等式可求得，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得的值，知C正确；利用二倍角正切公式化简可求得，进而知D错误.
【详解】由得：，
；
对于A，由得：，A错误；
对于B，，，，，
则，解得：，
又，，B正确；
对于C，，，，
，，；
，又，，
，，，C正确；
对于D，，，，
，，解得：，，则，
，D错误.
故选：BC.
25．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）已知，，若与共线，则下列说法错误的是（ ）
A．将的图象向左平移个单位得到函数的图象
B．函数的最小正周期为
C．直线是的一条对称轴
D．点是的一个对称中心
【答案】BCD
【分析】由已知可得.根据平移变换得出解析式，即可判断A项；根据周期公式求出函数的最小正周期，即可判断B项；整理代入即可判断C、D项.
【详解】因为与共线，所以，
所以.
对于A项，将的图象向左平移个单位得到函数，故A项说法正确；
对于B项，因为，所以,故B项说法错误；
对于C项，因为，所以直线不是的对称轴，故C项说法错误；
对于D项，因为，所以点不是的对称中心，故D项说法错误.
因本题选择的是说法错误的，所以应当选择BCD.
故选：BCD.
26．（2022·浙江·模拟预测）已知向量，，，函数的最小正周期是，则（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的图象向左移个单位，图像关于轴对称
D．取最大值时，x的取值集合为
【答案】BD
【分析】化简，根据最小正周期是可得，从而得到，再根据正弦型函数的单调性、图像平移与对称性，结合对称轴方程逐个判断即可.
【详解】因为，，则
，
由，可得，则
选项A：.判断错误；
选项B：由，可得，
由，得在上单调递减.判断正确；
选项C：的图象向左移个单位，可得，图像不关于轴对称.判断错误
选项D：由，可得
则取最大值时，x的取值集合为.判断正确.
故选：BD
27．（2022秋·福建宁德·高三校考期末）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据二倍角公式，诱导公式，同角三角函数关系依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，，故A正确；
对于B选项，由得，为第二或第四象限角，
所以，解得（为第四象限角）或（为第二象限角），故B错误；
对于C选项，由于，整理得，解得，故C正确；
对于D选项，，故D正确；
故选：ACD
28．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.
【详解】因为，
所以，又 ，
所以，，故A错误，B正确．
，
所以，
，
故C错误，D正确．
故选：BD.
三、填空题
29．（2022·高一课时练习）已知，是方程的两根，则_________.
【答案】
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系得，，再运用余弦、正弦和和差公式，以及同角三角函数间的关系，代入可得答案.
【详解】解：由已知得，，
.
故答案为：.
30．（2018·高三课时练习）若，则的值等于________．
【答案】##-0.5
【分析】由已知条件求出的值，即可求解
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
解得，
所以，
故答案为：
31．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知，为锐角，且，，则___________.
【答案】##
【分析】计算，根据，解得答案.
【详解】为锐角，，则，
，且，，解得
故答案为：
32．（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知，则___________.
【答案】
【分析】对条件和结论分别作恒等变换，再运用二倍角公式即可求解.
【详解】由条件： 得： ，
即， ；
；
故答案为： .
33．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知，，且，，则的值是___________.
【答案】
【分析】由平方关系求得，，再求出即可得解.
【详解】解：因为，，且，，
所以，，且，
则，
所以.
故答案为：.
34．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，则________．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角差的余弦公式可求得的值，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，，则，，，
所以，，，
所以，
，
因此，.
故答案为：.
35．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练习）已知角，，则______.
【答案】
【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】，，
，
，
，
，，
，则.
故答案为：.
四、解答题
36．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考期中）已知，是第三象限角，，求
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系及两角差的余弦公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及同角三角函数的商数关系及两角和的正切公式即可求解.
【详解】（1），，
，
是第三象限角，，
，
.
（2）由（1）知，，，，
，，
.
37．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）设，.
(1)当时，求x的值.
(2)若，求的最大值与最小值，并求出相应的取值.
【答案】(1)；
(2)当时，函数取最小值；当时，函数取最大值.
【分析】(1)根据向量垂直的坐标表示列方程，结合正切函数性质解方程可得；
(2)根据数量积的坐标运算公式和三角恒等变换公式化简，再由正弦函数性质求其最值及相应的的取值.
【详解】（1）由得，又，
所以，
所以，即，
由于，所以，即：.
（2）因为，，
所以
所以，
因为，所以
当时，即时，函数取最小值；
当时，即时，函数取最大值.
38．（2021秋·安徽滁州·高三校考阶段练习）已知平面向量，定义函数．
(1)求函数的值域；
(2)若函数图像上的两点的横坐标分别为和，为坐标原点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）利用向量点乘的坐标公式，辅助角公式将进行化简后求值域即可；
（2）求出坐标，利用两点间的距离公式得到的长度，判断出为直角三角形，从而易得其的面积.
【详解】（1），由，故函数的值域为.
（2），依题意，，故，，，于是，由勾股定理，，于是的面积为：.
39．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）已知向量，，其中.
(1)若，求的值；
(2)记，若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换、诱导公式求解；
（2）利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）∵，，，
∴.
∴，即.
∴.
（2）由（1）知.
当时，.
∵函数在上单调递增，
又∵的单调递增区间为，，
∴，.
∴，.
∴，，解得，又，
∴当时，.
40．（2022秋·江西九江·高三校联考阶段练习）已知向量，，．
(1)求的最小正周期；
(2)当时，求的最大值与最小值．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）由三角恒等变换得，从而求得最小正周期；
（2）先求得，再求在的最大值与最小值.
【详解】（1）
所以的最小正周期
（2）∵,
∴当时,取得最小值.
当时,取得最大值.
∴在上的值域是.
所以
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝αr
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
三角函数
定义域
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin α
－sin α
sin α
cs α
cs α
余弦
cs α
－cs α
cs α
－cs α
sin α
－sin α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
n
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
2π
sin
0
1
0
-1
0
cs
1
0
-
-
-
-1
0
1
0
1
-
-1
-
0
0