2024一轮题型分类细讲精练10：导数在函数中的应用

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1．导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率eq \f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq \f(Δy,Δx)有极根，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，
并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或，
即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx0＋Δx－fx0,Δx).
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝eq \(lim,\s\d6(Δx→0))eq \f(fx＋Δx－fx,Δx).
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，
相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
4．导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(fx,gx)))′＝eq \f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
6．函数的单调性与导数的关系
7．利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数
y＝f(x)在定义域内的单调性．
8．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
9．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【方法技巧】
1．(1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：
①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．
2．根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
3．函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．
③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
【核心题型】
题型一：由函数的单调区间求参数
1．（2022·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考三模）已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参数的范围.
【详解】因为在单调递增，
故在区间恒成立，
即，令
则，故在单调递增，
则，故，的取值范围为.
故选：B.
2．（2020·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知，若对于且都，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据，化简整理得，构造函数，依题意为增函数，求导，令，即可求解.
【详解】依题意，所以，
设，则为增函数，
所以，化简整理得.而当时，的最大值为1，所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数范围问题，难点在于构造新函数，并根据的单调性进行求解，属中档题.
3．（2019·四川达州·统考一模）若是上的减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别考虑，时，的导数，由导数小于等于0恒成立，可得a的范围；再由函数的连续性，可得，解不等式可得所求范围．
【详解】解：当时，的导数为，
由题意可得，即在恒成立，
可得，
由时，
的导数为，
由，解得或在恒成立，即有，
由为上的减函数，
可得，即为，可得
由可得a的范围是．
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调性的定义和应用，考查导数的运用：求单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
题型二：由函数在区间上单调性求参数
4．（2022·宁夏吴忠·吴忠中学校考三模）若函数，在定义域内任取两个不相等的实数，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由原不等式恒成立转化为，构造函数，问题转化为在上单调递增，利用导数求解即可得解.
【详解】根据题意由在上恒成立，
不妨设，则可变形为，
设，则函数在上单调递增，
即在上恒成立，
所以，令，因此．
故选：B
5．（2022·安徽·南陵中学校联考模拟预测）已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由单调性转化为恒成立问题求解
【详解】，即，
令，由题意得在上单调递增，
即，即在上恒成立
由基本不等式得，当且仅当即时等号成立，则
故选：B
6．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）设函数，若为上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，判断其正负，确定导函数由最小值，无最大值，由此确定单调递增，得到，求得答案.
【详解】由得：，
令，
当 时，， 递减；
当 时，，递增，
故在 时取得最小值 ，无最大值，
由于为上的单调函数，只能是递增函数，故，
即得，
故选：D
题型三：含参数的分类讨论问题
7．（2023·全国·高三专题练习）若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出，分，，，分别讨论出函数的单调区间，从而可得其极值情况，从而得出答案.
【详解】，
若时，当时，；当时，；
则在上单调递减；在上单调递增.
所以当时，取得极小值，与条件不符合,故不满足题意.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极大值，满足条件.
当时，由可得或；由可得
所以在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，取得极小值，不满足条件.
当时，在上恒成立，即在上单调递增.
此时无极值.
综上所述：满足条件
故选：A
8．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）已知函数，若有四个不同的零点，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】讨论、，应用导数研究单调性，要使有四个不同的解，即当两个区间均存在两个零点时，求a的范围即可.
【详解】由题意知：有四个不同的零点，
∴，则有四个不同的解，
当时，，其零点情况如下：
1）当或时，有；
2）当或时，或；
当时，，则有如下情况：
1）当时，即单调递增，不可能出现两个零点，不合题意；
2）当时，在上，单调递增，在上，单调递减，而有，有，所以只需，得时，必有两个零点.
∴综上，有时，在、上各有两个零点，即共有四个不同的零点.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求在满足零点个数的情况下参数范围.
9．（2020·全国·高三专题练习）已知不等式ex﹣x﹣1＞m[x﹣ln（x+1）]对一切正数x都成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，e]
【答案】C
【分析】设，求出函数的导数，通过讨论的取值范围，结合函数的单调性判断.
【详解】由题意可知，当时，恒成立，
设，
则，，
①当时，恒成立，单调递增，
，时，，单调递增，
又，时，，符合题意，
②时，，恒成立，单调递增，
，
（ⅰ）当，即时，与①同理，符合题意；
（ⅱ）当，即时，，
当时，，且连续，
由零点存在性定理可知，存在，使得
时，，递减，
又，时，，递减，
，时，，不合题意，
综上，的范围是.
故选：C
【点睛】本题考查函数导数的应用的综合问题，重点考查讨论的思想，转化能力，属于难题.
题型四：根据极值（点）求参数问题
10．（2021秋·四川泸州·高三四川省泸县第二中学校考阶段练习）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点转化为有两解，令新的函数，求导，然后判断函数的单调性与极值，则可得的取值范围.
【详解】因为函数与的图像上恰有两对关于轴对称的点，所以，即有两解，则有两解，令，则，所以当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；所以在处取得极小值，所以，所以，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
11．（2022·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考模拟预测）已知函数存在极大值点和极小值点，则实数可以取的一个值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得的导数，可得有两个不等的正根，等价于的最小值小于0，分别讨论、，求得的导数，判断的单调性和最值，解不等式可得m的取值范围，再结合选项即可得答案.
【详解】解：因为，，
所以，
由题意可得有两个不等的正根，
则的最小值小于0，
又因为，，
当时，单调递增，不合题意；
当时，由图象可得，一定有变号的正零点，
令的根为，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以当时，取极小值，且为最小值，
所以，
化为，
由于在上单调递增，且时，，
所以的解为，
则，
只有A选项才满足，
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数求参数范围的题型常采用分离常数法，将问题转化为求分离后的常数与函数的最值之间的关系.
12．（2022·陕西西安·西安中学校考二模）已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先进行求导，利用导数和方程系数相同，得到或，转化为和，图像交点问题，
最后利用题目条件画出的图像即可求解.
【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像
和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数.
在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个，
的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3.
故选：B.
【点睛】本题关键在于发现导数和方程系数对应相等，得到方程有两解，且或，
再转化成图像交点问题，最后数形结合即可求解.
题型五：由导数求函数的最值问题
13．（2022·安徽·巢湖市第一中学校联考模拟预测）已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】将不等式等价为，令，再利用函数的单调性和参数分离，结合导数可求最值，即可得解.
【详解】解：由题意得：
不等式对恒成立等价于不等式对恒成立
设，，则
当时，，则在上单调递减
与题意矛盾
．令，则
在上单调递增
，当，即时，，则在上单调递增
，符合题意；
当，即时，由，得存在，使，当时，，即，则在上单调递减，则，不符合题意，因此实数a的最小值为．
故选：C．
14．（2022秋·湖南郴州·高三校考阶段练习）已知函数若方程恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将函数分成两段来看，构造新函数通过观察函数在两侧零点的分布情况来确定参数取值的情况.
【详解】由题，当时，令，
根据一次函数性质可得，此时有一个根，，此时无根；
当时，令，求导，
令，当时，在上单调递增，故无零点，不满足题意；当时，在单调递减，在单调递增，
由题，函数恰有3个零点，则说明在当时，有1个零点，在时有两个零点，故可知且，
所以，解得；
综上可得
故选：B
15．（2021秋·河南驻马店·高三校考阶段练习）已知函数，对任意，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数在上的最值，等价于，解出即可．
【详解】因为，所以，
当时，对任意的，，恒有；
当时，, 恒有，
所以在上是单调递增函数，对任意的，不等式 恒成立, 只要，
又，,
所以，即, 解得,
所以的取值范围是．
故选：B．
题型六：由函数最值求参数问题
16．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数，当时，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求函数导数后可知导函数为上的增函数，根据a分类讨论，求的最小值即可求解.
【详解】，
，
当时，单调递增，
，
（1）若时，，
所以在时单调递增， 恒成立，
（2）若时，，由 单调递增知，存在，使得，
故时，，当 时，，
所以在时单调递减，
所以，即在上存在使得，
所以时不满足题意.
综上，，
故选：A
【点睛】关键点点睛：对a分类讨论，研究导函数的单调性，根据导函数的单调性求最小值，根据最值是否满足不小1，判断a所取范围，属于中档题.
17．（2022·辽宁丹东·统考一模）设，若函数的最小值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按分类讨论，在时，对的函数利用导数求最小值，由最小值为列不等式求解，注意利用函数的单调性得出结论．
【详解】若，当时，为增函数，且，不符合题意.
若，最小值为.
若，当时，的最小值为.
当时，，若，则，若，则，在在，在上递增，故的最小值为.
由，
，，设，它在上是增函数，且，
所以的解是．
可得
综上，常数的取值范围为.
故选：B．
18．（2022秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）设函数，若，且的最小值为，则a的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，可得，构造函数利用导数即可求出.
【详解】令，由图象可得，
因为，所以，即，
则，
令，
则，令，解得，
当时，，单调递减，，解得，符合，
当，在单调递减，在单调递增，
则，解得，不符合，
综上，.
【点睛】方法点睛：本题考察双变量问题的函数与方程的应用，解决这种题的常见方法是利用换元法将变量转化为只有1个变量，注意利用数形结合考虑变量的取值范围.
题型七：函数的单调性 极值和最值问题综合
19．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的最值；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)最小值为，无最大值.
(2)
【分析】(1)利用导函数讨论函数的单调性即可求最值；(2)分离参变量，构造函数，利用导数结合单调性讨论其最小值即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以当时，有最小值为，无最大值.
（2）由的定义域可得，
即，
等价于恒成立，
令，所以，
令，
所以在恒成立，
所以单调递增，
，
所以存在唯一，使得，即，
所以当时，，即，单调递减，
时，，即，单调递增，
所以
由得，也即，
即，由(1)知在单调递增，
所以，，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：分离参变量是求参数取值范围常用的方法，本题第二问对不等式等价变形为,从而，构造函数讨论单调性及最值是常用的方法，解决的关键在于利用零点的存在性定理得，再根据（1）得的单调性，进一步得到，，等量代换求出最小值.
20．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）已知函数，其中为常数，为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若在区间上的最大值为，求的值.
【答案】(1)函数增区间为，减区间为
(2)
【分析】（1）确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数的正负，即可求得函数的单调区间；
（2）求得函数的导数，讨论a的取值范围，确定函数的单调性，确定函数的最值，结合题意，求得a的值.
【详解】（1）函数的定义域为
当时，，，
令得，；令得，或，结合定义域得，
∴函数增区间为，减区间为；
（2）
①当时，，∴，∴函数在上是增函数，
∴，∴，∴符合题意；
②当且时，令得，
∴，∴，∴不符合题意，舍去；
③若，即时，在上，
∴在上是增函数，故在上的最大值为，
∴不符合题意，舍去，
综合以上可得.
21．（2023·广东广州·统考二模）已知定义在上的函数.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)分类讨论，答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论解和作答.
（2）当时，可得为任意正数，当时，变形给定不等式，构造函数并利用单调性建立不等式，分离参数求解作答.
【详解】（1）函数，，求导得：，
当时，，函数在上单调递增，
当时，由得，由得，则在上递增，在上递减，
所以当时，函数的递增区间是；
当时，函数的递增区间是，递减区间是.
（2）因为，且当时，不等式恒成立，
当时，，恒成立，因此，
当时，，
令，原不等式等价于恒成立，
而，即函数在上单调递增，因此，
即，令，，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
，因此，
综上得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）函数，则满足不等式的实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导，可知函数在上单调递增，根据单调性可得，进而求出实数x的取值范围.
【详解】由题意，函数，
当时，，在上单调递增；
而，，由可得，
即，易知，
故选：D.
23．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
24．（2023·甘肃兰州·校考一模）已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对求定义域，求导，观察出导函数单调递增，结合零点存在性定理得到，对求定义域，求导，得到其单调性和极值，最值，得到，判断出.
【详解】的定义域为，
在上单调递增，且，，
所以，．
的定义域为，由，
当时，，当时，，
故在处取得极大值，也是最大值，，
即．所以．
故选：A
25．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数结合已知得出在没有变号零点，即在没有变号零点，令，通过导数求出其在上的最值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】，，
则，
，
，
函数存在唯一的极值点，且在上有一个变号零点，
在没有变号零点，
即在没有变号零点，
令，，
则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
则，
则，
故实数a的取值范围为，
故选：B.
26．（2023·全国·模拟预测）函数恰有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数进行求导，令，借助分析的单调性，极值和最值情况即可求解
【详解】由可得，
令，所以，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，
因为，所以当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以，即，
要使函数恰有3个零点，则需，解得，
当时，，，
所以存在，使得，
所以当或时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因为，所以，
因为
当趋向于正无穷时，指数函数的增长速率远远超过一次函数，且趋向于正无穷，则趋向于正无穷，
所以存在，使得
综上，当时，函数恰有3个零点，
故选：A
【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是发现，故只需要存在，，则即可
27．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知函数（，）在区间上总存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设为函数在区间上的零点，得到即（），转化为点是直线上的点，
即可得到的值等于点到直线的距离的平方，从而得到关于的函数关系式：（），结合导数知识，即可求解.
【详解】设为函数在区间上的零点，
因为函数（，）在区间上总存在零点，
所以，即，，
则点是直线上的点，
所以（），
设（），
则
设，，
则，，
令，，
则，
当时，，所以在上是增函数，
则，即当时，，
所以在是增函数，则，
即时，，所以在上是增函数，
则，
综上：的最小值为，
故选：A.
28．（2022秋·新疆·高三校联考阶段练习）已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导得到，得到其单调区间，再对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】令，，
∴当时，∴单调递增，当时，，∴单调递减.
对于A：，即.故A错误；
对于B：，又，
∴，故B正确；
对于C：，又，
∴，故C错误；
对于D：，又，∴，故D错误.
故选:B.
29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，函数有四个不同的零点，从小到大依次为，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数判断函数的单调性，画出函数图像，将有四个零点转化为的图像与有四个不同交点，分析可知，由韦达定理可得，设，，由导函数分析函数单调性，即可求出范围.
【详解】解：时，，，
在上单调递减，在上单调递增，，
时，，
在上单调递减，在上单调递增，，
画出的图像如下图，有四个零点即的图像与有四个不同交点，
由图可得，是方程，即的两根，
是方程，即的两根，
，，
则，
设，，则，在上单调递增，
当时，，即.
故选：A.
二、多选题
30．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知存在两个极小值点,则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】若存在两个极小值点,则至少有三个变号零点,对进行全分离,
求出有三个变号零点时的的取值范围,再根据的取值范围证明此时有两个极小值点,再根据选项是否在此范围内,即可得出结果.
【详解】解:由题知,
定义域为,
所以,
若存在两个极小值点,
则至少有三个变号零点,
因为,所以需在上至少有两个不等于1的零点,
即与有两个不同的交点,
故,,
当时,,单调递增,
当时,,单调递减,
因为指数函数增长比幂函数增长快,
所以当趋向于正无穷时,远远大于,
故趋向于正无穷时,趋向于0,
又因为
由此画出在图象如下:
由图象可知:,
下证:当时,有两个极小值点,
不妨记与的两个不同交点的横坐标为,
可记,
则当时,,即,,
此时,单调递减,
当时,,即,,
此时,单调递增,
当时,,即,,
此时,单调递减,
当时,,即,,
此时,单调递增,
故存在两个极值点分别为符合题意,
故成立;
因为,
故选项A 正确;
取,,
所以,
因为,
,
所以存在,使得,
所以在上,,单调递减,
在上,,单调递增,
注意到,
所以,
即时,,
即,
所以
,
故选项B正确;
取,
所以,
故在上单调递减,
所以,即,
所以,
故选项C正确,
取,
所以,
故在上单调递增,
所以,即,
所以,
故选项D错误.
故选:ACD
【点睛】方法点睛:该题考查函数与导数的综合问题,属于难题,该题应用了放缩来判断数的大小,关于常见的放缩有:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5)根据函数的凹凸性,可得函数在某个区间内与函数割线的大小关系.
31．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数在处有极值，且极值为8，则（ ）
A．有三个零点
B．
C．曲线在点处的切线方程为
D．函数为奇函数
【答案】AC
【分析】由条件根据极值与导数的关系求，判断B，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断A，根据导数的几何意义求切线，判断C，根据奇函数的定义判断D.
【详解】由题意得，又，又，解得(舍去）或，故B项错误；
，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，，，，
所以有三个零点，故A项正确；
又，，
则曲线在点处的切线方程为，即，故C项正确；
，故D项错误.
故选：AC.
32．（2023·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】通过多次构造函数，结合函数的性质、选项及进行求解.
【详解】设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，即.
因为，所以.
设，，所以当时，为减函数；
因为，，所以.
由可得，所以，故B正确.
设，，当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以的最大值为，所以，即.
.
设，易知为增函数，由可得，故C正确.
因为为单调递减函数，在上是增函数，在上是减函数，且的图象经过图象的最高点，所以当时，的大小无法得出，故A不正确.
令，则，得，易知在为增函数，所以，
所以不成立，故D不正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的常用方法：
（1）作差比较法：作差，构造函数，结合函数最值进行比较；
（2）作商比较法：作商，构造函数，结合函数最值进行比较；
（3）数形结合法：构造函数，结合函数图象，进行比较；
（4）放缩法：结合常见不等式进行放缩比较大小，比如，等.
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当m＞0时，函数的图象在点处的切线的斜率为
B．当m＝l时，函数在上单调递减
C．当m＝l时，函数的最小值为1
D．若对恒成立，则
【答案】ABD
【分析】A. 由m＞0直接求导求解判断；B. 由m＝l，利用导数法求解判断；C. 由m＝l，利用导数法求解判断；D. 将对恒成立，转化为对恒成立，利用的单调性转化为对恒成立求解判断.
【详解】解：，
当时，，则，故A正确；
当m＝l时，，令，则，
所以在上递增，又，即在上成立，
所以在上递减，故B正确；
当m＝l时，，令，则，
所以在上递增，又，，
所以存在，有，即，则，
当时，，当时，，
所以，故C错误；
若对恒成立，
则对恒成立，
设，则，所以在上递增，
则对恒成立，即对恒成立，
设，则，当时，，当时，，
所以，则，解得，故D正确.
故选：ABD
34．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】A选项中，令，利用导数可求得单调性，根据复合函数单调性的基本原则可知A正确；B选项中，利用导数可求得在上单调递增，由此可将恒成立的不等式化为，令，利用导数可求得，由可知B正确；C选项中，利用导数可求得的单调性，由此确定，若，可等价转化为，令，利用导数可求得单调性，从而得到，知，可得C错误；D选项中，采用同构法将已知等式化为，从而可确定，结合单调性得到，由此化简得到，令，利用导数可求得最大值，知D正确.
【详解】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：本题C选项考查了导数中的极值点偏移问题；处理极值点偏移中的类似于（）的问题的基本步骤如下：
①求导确定的单调性，得到的范围；
②构造函数，求导后可得恒正或恒负；
③得到与的大小关系后，将置换为；
④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.
三、填空题
35．（2023·全国·模拟预测）已知，函数在上的最小值为2，则实数__________.
【答案】1
【分析】利用导数分类为与讨论，得出在上的最小值，由最小值为2求解a的值即可得出答案.
【详解】，
，
当时，即时，
则在上恒成立，则在上单调递增，
在上的最小值为，解得，
当时，即时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
在上的最小值为，舍去，
综上所述：，
故答案为：1.
36．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知和是函数的两个极值点，且，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用导函数和极值点的定义可得和是方程的两个根，所以函数的图象与直线有两个不同的交点，利用导函数作出的图象，数形结合即可求解.
【详解】由题意可得，
故和是函数的两个零点，即是方程的两个根，
又，所以，所以和是方程的两个根，
所以函数的图象与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为，
由于，所以当或 时，当时，，
故在区间，内单调递减，在区间内单调递增，且当时，，
作出的图象如图所示：
由图可知，且，
因为，取，并令，则，
所以，解得，此时，
故时，即m的取值范围是，
故答案为：
37．（2023·湖南湘潭·统考二模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为__________．
【答案】##.
【分析】由题意得，设直线，则点是直线l上的一点，然后求出原点O到直线l的距离，构造函数，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由已知可得．
不妨设直线，则点是直线l上的一点，
原点O到直线l的距离，
则，
设，
在上递减，在递增
可得，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数与方程的应用，解题的关键是设直线，则点是直线l上的一点，然后将问题转化为则大于等于原点O到直线l的距离，再构造函数，求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.
38．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）的两个极值点满足，则的最小值为________.
【答案】
【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.
【详解】由函数，，则，因为函数两个极值点，则
①，②，得③，设，则且，代入③得，
设，则，
设，则
，在单调递减，，从而，在单调递减，，故的最小值为.
故答案为：
【点睛】求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.
四、解答题(共0分)
39．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题知，恒成立，进而令，，再根据，当且仅当时等号成立得，进而得即可得答案．
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，即时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，即时，令得，
所以当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）因为对，恒成立，即，恒成立，
所以，恒成立，
令，，
因为，，
设，则，
所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，
因为，，
所以方程在有解，即的等号能够取到；
所以，
所以要使，恒成立，则，即，
所以的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：小问（2）解题的关键在于借助，当且仅当时等号成立，放缩，进而得．
40．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)函数的单调递增区间为，单调递区间为
(2)
【分析】（1）利用导数求函数的单调区间；
（2）通过构造函数利用导数找最值的方法解决恒成立问题，求解实数a的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域是，
当时，，
令得，所以函数在上单递递增；
令得，所以函数在上单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递区间为．
（2）恒成立，等价于恒成立，
令，
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以，即，
所以恒成立，等价于恒成立
令，问题等价于恒成立
①若时，恒成立，满足题意；
②若时，则，所以，不满足题意；
③若时，因为，令，得，
，，单调递减，，，单调递增，
所以在处取得最小值，
要使得，恒成立，只需，
解得
综上：
【解法二】恒成立，等价于，
令
①若时，，所以在上单调递增，
，即，满足，
②若时，则， ，所以在上单调递增，
由，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递增，值域为；
所以，使得，不满足题意．
③若时，令，∴，
令，则在上单调递增，
函数在上单调递增，值域为；函数在上单调递减，值域为；
则，；，，；，，
所以，，，
，，单调递减，，，单调递增，
只需即可，
∴，∴，
令，，∴在上单调递增，
，∴时，，，，
所以在上单调递增，∴，
即，
综上：
【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
41．（2023·四川凉山·统考一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)已知，证明：；
(3)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导数判断的单调性，即可确定其最小值；（2）根据（1）的结论即可，再利用对数运算法则即可证明不等式；（3）将参数与变量分开，通过构造函数研究其单调性，求出最值即可得出的取值范围.
【详解】（1）因，
则，
令，得，
又时，，函数在上单调递减；
时，，函数在上单调递增；
即函数在处取最小值，即
所以的最小值为0．
（2）由（1）小题结论可知，当且仅当时等号成立，
则时，即
所以
所以不等式成立.
（3）由题可知，恒成立
等价于不等式恒成立，
令，则命题等价于，
由（1）知，，即有，当且仅当时等号成立，
所以
当，即时能取等号，所以，即
的取值范围为．
【点睛】方法点睛：求解参数取值范围问题，常用的方法是将参数与自变量分离，再通过构造函数利用导数得出函数单调性求出其最值，即可求得参数的取值范围.
42．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若有三个零点，且，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到，进而得到；令，分别在、的情况下，结合二次函数零点的分布可确定，即的正负，由此可得单调性；
（2）根据零点个数和（1）的结论可知，结合可确定；根据可将所证不等式转化为，根据可表示出，整理得到，构造函数，利用导数可求得单调性，得到，从而证得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为，，
即，；
令，则；
①当，即时，恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
②当，即或时，令，解得：；
当时，，在上恒成立，即恒成立，
在上单调递增；
当时，，
当时，，即；当时，，即；
在上单调递增，，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，，在上单调递减.
（2）若有三个零点，则由（1）知：，
又，，
，，；
，，
又，；
要证，只需证，即证；
由得：，即，
即证，又，只需证；
令，则，
在上单调递增，，
即当时，恒成立，
，，则原不等式得证.
【点睛】关键点点睛：本题考查讨论含参数函数单调性、利用导数证明不等式的问题；本题证明不等式的关键是将多个变量的不等式转化为关于一个变量的不等式的形式，采用构造函数的方式可将问题转化为函数最值的求解问题，.
43．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数．
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，求解极大值.
（2）由可构造，讨论单调性和极值，证明零点个数的结论.
【详解】（1）解：由题得，
当时，，当时，，
则在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以在区间内的极大值为．
（2）证明： ，
设，则，
令，则 ()，所以在区间内单调递减．
又，，故存在，使得，
当时，，即，在区间内单调递增；当时，，即，在区间内单调递减．
又，，因为，所以，
所以在区间，内各有一个零点，即在区间内有且仅有两个零点．
【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)>0
f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)<0
f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0
f(x)在(a，b)上是常数函数
+
0
-
增函数
极大值
减函数