2024一轮题型分类细讲精练13：等差数列和等比数列的计算和性质

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1．数列的有关概念
2．数列的表示方法
3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
4．数列的分类
5．等差数列的定义
an－an-1=d (n≥2)
6．等差数列的通项公式
an ＝a1＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d .
7．等差中项
若a，b，c成等差数列，则2b=a+c . b叫做a与c的等差中项．
8．等差数列的下标和公式
若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an.
9．等差数列的前n项和公式
Sn＝eq \f(na1＋an,2) 或Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d.
10．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn (A，B为常数)．
11.等差数列的常用性质
(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
(2)若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差为eq \f(1,2)d.
12．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
13．等比数列的定义
＝q (n≥2)．
14．等比数列的通项公式
an＝a1·qn－1 = am·qn－m ．
15．等比中项
若a，b，c成等比数列，则b2= a·c ． b是a与c的等比中项.
16．等比数列的下标和公式
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq .
17．等比数列的前n项和公式
Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))
18．等比数列的常用性质
在等比数列{an}中，若Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列 (n为偶数且q＝－1除外)．
【方法技巧】
♥♥♥解决数列的单调性问题的三种方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)用作商比较法，根据eq \f(an＋1,an)(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断．
(3)函数法．
✿✿✿求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)函数法，利用函数求最值．
(2)利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项．
(3)比较法：
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或当an>0时，\f(an＋1,an)>1))，则an＋1>an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1；
若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或当an>0时，\f(an＋1,an)<1))，则an＋1【核心题型】
题型一：等差数列的基本计算
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，若且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则数列的各项之和为（ ）
A．1666B．1654C．1472D．1460
3．（2023·重庆·统考一模）设等差数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．1D．2
题型二：等差数列的基本性质
4．（2022·浙江·模拟预测）已知等差数列中，，公差，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知是各项不全为零的等差数列，前n项和是，且，若，则正整数m＝（ ）
A．2020B．2019C．2018D．2017
6．（2022·全国·高三专题练习）设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型三：等差数列的函数
7．（2022·全国·校联考模拟预测）设为等差数列的前项和，且，都有.若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
8．（2022·浙江绍兴·统考一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2019·福建福州·统考模拟预测）设正项数列的前项和满足，记表示不超过的最大整数，． 数列的前项和为，则使得成立的的最小值为（ ）
A．1179B．1178C．2019D．2018
题型四:含绝对值的等差数列前项和
10．（2022·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知数列的前n项之和，则的值为
A．61B．65C．67D．68
11．（2019秋·福建福州·高三校考期中）已知直线与直线互相平行且距离为.等差数列的公差为，且，令，则的值为
A．60.B．52C．44D．36
12．（2023·高三课时练习）设等差数列，，…，（，)的公差为，满足，则下列说法正确的是
A．B．的值可能为奇数
C．存在，满足D．的可能取值为
题型五：等差数列奇数或偶数和问题
13．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
14．（2020春·全国·高三专题练习）在数列中，，，且，则（ ）
A．0B．1300
C．2600D．2602
15．（2021·全国·统考模拟预测）等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（ ）
A．13B．12C．24D．25
题型六：等差数列前n项和的性质
16．（2022·四川·四川师范大学附属中学校考二模）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（ ）
A．B．
C．D．3
17．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．20B．30C．40D．50
18．（2020·安徽淮北·统考一模）设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则
A．0B．-2020C．2020D．4040
题型七：等比数列的基本计算
19．（2023·河南郑州·统考一模）记为等比数列的前n项和．若，，则（ ）
A．32B．31C．63D．64
20．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于（ ）
A．35B．C．D．
21．（2023·贵州毕节·统考一模）已知数列的通项公式为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型八：等比数列的性质
22．（2022·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）为公比大于1的正项等比数列，且和是方程的两根，若正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·山东·统考模拟预测）已知等比数列满足：，，则的值为（ ）
A．20B．10C．5D．
24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列为等比数列，，为函数的两个不同的零点，则的值为（ ）
A．B．C．12D．18
题型九：等比数列前n项和的性质
25．（2022·湖北襄阳·襄阳五中校考模拟预测）在数列中，，，若，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
26．（2022·全国·高三专题练习）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，则数列的公比为（ ）
A．B．2C．D．3
27．（2021·陕西安康·统考二模）已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．9B．10C．12D．17
题型十：等差等比的实际应用
28．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考一模）古希腊大哲学家芝诺提出一个有名的悖论，其大意是：“阿喀琉斯是古希腊神话中善跑的英雄，在他和乌龟的赛跑中，他的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在他前面100米爬行，他在后而追，但他不可能追上乌龟，原因是在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿喀琉斯追了100米时，乌龟已在他前面爬行了10米，而当他追到乌龟爬行的10米时，乌龟又向前爬行了1米，就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，只要乌龟不停地向前爬行，阿喀琉斯就永远追不上乌龟．“试问在阿喀琉斯与乌龟的竞赛中，当阿喀斯与乌龟相距0.01米时，乌龟共爬行了（ ）
A．11.1米B．10.1米C．11.11米D．11米
29．（2022春·新疆·高三校考阶段练习）北京年冬奥会开幕式用“一朵雪花”的故事连接中国与世界，传递了“人类命运共同体”的理念．“雪花曲线”也叫“科赫雪花”，它是由等边三角形三边生成的科赫曲线组成的，是一种分形几何．图1是长度为的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，这称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，这称为“二次分形”；．依次进行“次分形”．规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度．若要得到一个长度不小于的分形图，则的最小值是（ ）（参考数据，）
A．B．C．D．
30．（2022秋·湖南永州·高三永州市第一中学校考阶段练习）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为．已知标准对数视力对应的国际标准视力准确值为，则标准对数视力对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（ ）
（参考数据：）
A．B．C．D．
【高考必刷】
一、单选题
31．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）等差数列中，，则数列的前9项之和为（ ）
A．24B．27C．48D．54
32．（2023·河南·校联考模拟预测）记公差不为0的等差数列的前项和为.若成等比数列，，则（ ）
A．17B．19C．21D．23
33．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到37文，丁分到31文B．乙分到40文，丁分到34文
C．乙分到31文，丁分到37文D．乙分到34文，丁分到40文
34．（2023·广东深圳·统考一模）将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是一条“雪花”状的Kch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次操作之后所得图形的面积是（ ）
A．B．C．D．
35．（2023·四川绵阳·统考二模）已知等比数列的各项均为正数，前项和为，，，则使得成立的最小正整数的值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
36．（2023·上海·统考模拟预测）已知数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．为等差数列，为等比数列
B．为等比数列，为等差数列
C．为等差数列，为等比数列
D．为等比数列，为等差数列
37．（2023·广东梅州·统考一模）某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列为，它的第项为，若序列的所有项都是2，且，，则（ ）
A．B．C．.D．
38．（2023·福建漳州·统考二模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏的世界数学史上第一道数列题．已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，，则数列的前20项和是（ ）
A．110B．100C．90D．80
二、多选题
39．（2023·广东梅州·统考一模）设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则是数列的最大项
B．若数列有最小项，则
C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有
D．若对任意的，均有，则数列是递增数列
40．（2023·福建漳州·统考二模）已知数列是首项为的正项等比数列，若A，B，C是直线l上不同的三点，O为平面内任意一点，且，则（ ）
A．B．数列的前6项和为
C．数列是递减的等差数列D．若，则数列的前n项和的最大值为1
41．（2023·全国·模拟预测）已知函数且有三个不同的零点，，，若，则（ ）
A．
B．当为，的等比中项时，为，的等差中项
C．当为，的等差中项时，
D．实数a的取值范围为
42．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）数列满足，，数列的前n项和为，且，则下列正确的是（ ）
A．
B．数列的前n项和
C．数列的前n项和
D．
概念
含义
数列
按照一定顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系能用公式an＝f (n)表示，这个公式叫做数列的通项公式
前n项和
数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
把数列的通项用公式表示
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f (an)或a1，a2和an＋1＝f (an，an－1)等表示数列的方法
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间的大小关系
递增数列
an＋1>an
其中n∈N*
递减数列
an＋1常数列
an＋1＝an