2024一轮题型分类细讲精练21：双曲线

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1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
【方法技巧】
离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：
直接求出，从而求出;
构造的齐次式，求出;
采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;
根据圆锥曲线的统一定义求解．
2.轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法.
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；
（2）设标准方程，求方程中的基本量
（3）求轨迹方程
相关点法：（1）分析题目：与动点相关的点在已知曲线上；
（2）寻求关系式，，；
（3）将，代入已知曲线方程；
（4）整理关于，的关系式得到M的轨迹方程
【核心题型】
题型一：待定系数法求双曲线方程
1．（2023春·贵州·高三校联考）已知双曲线的焦点为，，过的直线与的左支相交于两点，过的直线与的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，以为直径的圆过，，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，连接，则有，，，，在直角三角形中，由可得，在直角三角形中，由可得，再结合，即可求得答案.
【详解】解：设，则，
由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知：，
连接，则有，，
由于在以为直径的圆周上，
∴，
∵为平行四边形，
∥，
∴，
在直角三角形中，，
即，
解得，
所以，；
在直角三角形中，，
即，得，
又因为，
所以，，
所以双曲线的方程为.
故选:D.
2．（2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考期末）已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件转化为关于的方程组，即可求解.
【详解】圆，整理为，圆心，半径，双曲线的渐近线方程，
由题意可知，，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：C
3．（2022秋·贵州贵阳·高二校联考阶段练习）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】不妨设A在第一象限，由条件可设，，根据双曲线的对称性及条件可得，代入圆的方程，可求，由此确定双曲线方程.
【详解】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，
不妨设A在第一象限，则，，∵四边形ABCD的面积为2b，
∴由对称性可得，又，
∴，
将代入，可得，∴，
∴双曲线的方程为1，
故选：D．
题型二：相同渐进性求双曲线方程
4．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的渐近线方程为，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】根据共渐近线的双曲线的设法，结合题意分析求解．
【详解】渐近线方程为的双曲线为，即，故，故，
故选：C．
5．（2020·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线与的渐近线相同，则曲线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先求得的渐近线，然后根据的渐近线相同列方程，解方程求得的值.
【详解】的渐近线方程为，的渐近线方程为，所以，即，∴.
故选：A
【点睛】本小题主要考查同双曲线渐近线有关计算，属于基础题.
6．（2018秋·安徽池州·高三统考期末）双曲线上一点关于一条渐近线的对称点恰为左焦点，则该双曲线的标准方程为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程，代入点，即可求解.
【详解】因为双曲线一条渐近线为，所以可设双曲线的方程为，因为在双曲线上，将代入得 ，可得双曲线方程为.
故选：C.
题型三：直接法求离心率
7．（2023·陕西榆林·统考二模）已知双曲线：（）的左、右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据双曲线定义联立方程组求出，，再根据勾股定理求出，进一步计算得出结果．
【详解】不妨设在双曲线的右支上,由题意可得，
根据双曲线定义，又，
所以，．
因为，所以，
则，故双曲线的离心率．
故选：B.
8．（2023·河南·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线的一条渐近线上的点，且线段的中点在另一条渐近线上．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】由中位线可知，即可得出一条渐近线的斜率，据此得出离心率.
【详解】因为分别是的中点，
所以，又，
所以，即，
所以，故.
故选：A
9．（2023·新疆·统考一模）已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆交于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆的几何性质，勾股定理，双曲线的几何性质，化归转化思想，画出图形分析即可求解.
【详解】依题意，可得如图所示：
设双曲线的右焦点为，
因为圆，所以半径，
过圆心作弦的垂线，垂足为，则为的中点，
又，所以为的中点，又为的中点，
所以且，又，所以，
因为，所以，所以，
又因为，，
所以，
所以双曲线的离心率为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了圆的几何性质垂径定理，勾股定理，双曲线定义的运用，双曲线离心率的求法，解题过程中出现中点时可优先考虑中位线的性质，化归转化的过程中要充分考虑相关图形的性质.
题型四：构造齐次方程求离心率
10．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先确定为的中点，所以为△的中位线，进而得到，，，切圆于，可得，由勾股定理得出关于，的关系式，最后即可求得离心率．
【详解】如图，
，为的中点，
为的中点，
为△的中位线，
，，
切圆于
，
，，
由勾股定理
，
．
故选：A．
11．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设分别是双曲线的左､右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出 的方程，与渐近线联立求出P的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由由求出a，c的关系，进而求出离心率．
【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，
到渐近线的距离，
由渐近线的对称性，设渐近线为，①
则直线方程为∶ ②，
由①②可得， 则，
左焦点，所以 ，
由，有，得，
即 ， ，则的离心率为
故选∶C·
12．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，A是双曲线C的左顶点，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】方法一：根据已知条件分别表示出点A、P、Q的坐标，代入可得b与a的关系式，再由及离心率公式可求得结果.
方法二：运用极化恒等式及向量的加法、减法法则计算可得结果.
【详解】方法一：依题意，易得以为直径的圆的方程为.
又由双曲线，易得双曲线C的渐近线方程为.
当时，如图，设，则.
联立，解得或，所以，.
又因为，所以轴.
所以，.所以，所以.
因为，所以.
同理，当时，亦可得.
故双曲线C的离心率为.
故选：C.
方法二（极化恒等式）：易得坐标原点O为线段PQ的中点，且，
所以，所以，所以.
故选：C.
题型五：渐进性的综合问题
13．（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考一模）已知双曲线,直线过双曲线的右焦点且斜率为,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点（点在轴下方）,且,则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由斜率关系可以确定与渐近线垂直,从而建立直角三角形,然后利用两渐近线与轴的夹角相等,得出直角三角形三边的长,从而找到的齐次式,进而求离心率.
【详解】如图所示,
因为,,
所以,所以,垂足为;
易求得焦点到渐近线的距离为
所以,
所以;
由角平分线定理可得,
所以,所以
在中,;
所以.
故选：D.
14．（2021·陕西榆林·陕西省神木中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线的右支上，且，双曲线的一条渐近线方程为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，、和共线时取等号，列出的不等式即可.
【详解】，，
.
即的最大值为
故选：A.
15．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为F，两条渐近线分别为，过F且与平行的直线与双曲线C及直线依次交于点B，D，点B恰好平分线段，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】数形结合，设，分别联立直线与双曲线，直线与直线可分别解得点的纵坐标,再根据点是中点，由中点坐标公式即可解得关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设，如图，
直线与双曲线联立方程组，解得：
，即，
点的纵坐标为，
直线与直线联立方程组，可得 ，
点的纵坐标为，
由于点是中点，由中点坐标公式可得，
，，
即.
故选：B.
题型六：利用自变量求离心率范围问题
16．（2023春·浙江温州·高三统考开学考试）直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B，与双曲线的两条渐近线分别交于点C，D（A，C，D，B从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用，，成等差数列，列式求解即可
【详解】设直线，
联立，可得，则①
联立，可得，则②
因为，所以，所以③
因为，所以，所以，即得④
因为，所以中点为的中点，所以,
因为成等差数列，所以，又因为A，C，D，B从左到右依次排列，所以,
所以，代入①②③有，
因为且，又因为，则所以，所以，即
综上，
故选：D.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知点为双曲线的右焦点，直线，与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】不妨设在第一象限，根据，可设.把点的坐标代入双曲线方程可得出，利用求根公式即可解出.结合，可求出，从而可求出答案.
【详解】不妨设在第一象限，因为，所以设，为锐角，
代入双曲线方程可得：，即，
化简可得，即，
因为，所以解得，
因为直线，，所以，即，
所以，所以，所以．
故选：．
18．（2020·全国·高三专题练习）双曲线上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝θ，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．(1，＋1]B．
C．D．[，＋∞)
【答案】A
【解析】记双曲线的左焦点为，连接，，由双曲线的对称性、定义及已知可得，得到，再由的范围得答案．
【详解】记双曲线的左焦点为，连接，，
因为AF⊥BF，A关于原点的对称点为B，由双曲线的对称性可知，
，，，四边形为矩形，
有，，又∠ABF＝θ，
可得，
则．
由，得，
所以得，
可得
则，
即，
故选：A.
题型七：双曲线的综合问题
19．（2023·广东江门·统考一模）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线与直线垂直，A为垂足且位于第一象限，直线与直线垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形（O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)已知是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线，的斜率之和为1，，求的面积.
【答案】(1)（）
(2)
【分析】（1）设动点，由题意知，，由题意，化简可得轨迹C的方程；
（2）设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，，，由过点T直线与曲线C有两个交点确定的范围，由，解得，从而可得直线、的方程，与曲线C的方程联立解得的坐标，求出及点Q到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】（1）设动点，由题意知M只能在直线与直线所夹的范围内活动.
， ，
动点在右侧，有，同理有，
∵四边形的面积为8，∴，即 ，
所以所求轨迹C方程为（）.
（2）如图，设直线的倾斜角为，斜率为k，直线倾斜角为，则斜率为，
，，在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，
则或，同时或，解得或.
，解得或（舍去）.
时，直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得.
直线的方程为，
联立，消y得：，则或，得，
，
点Q到直线的距离 ，
.
方法二： ，
，
，则，
.
20．（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若A，B为双曲线的左、右顶点，，若MA与C的另一交点为P，MB与C的另一交点为Q（P与A，Q与B均不重合）求证：直线PQ过定点，并求出定点坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）把点代入双曲线的标准方程，结合其离心率来联立方程求解即可；
（2）根据题意当时，设出直线方程为，并设交点，，联立直线与曲线的方程，利用韦达定理可得，，从而由题意推出直线PQ恒过定点，最后检验当时，也符合题意即可.
【详解】（1）由题意可知 ，解得 ,
故双曲线C的方程为．
（2）证明：①A，B为双曲线的左、右顶点，，又
当时，可得，，，
又点P在双曲线上，∴，
∴．
设，，：，与双曲线C的方程联立得，
，，，
，
解得，此时满足，
∴直线PQ恒过点．
②当时，P与B重合，Q与A重合，此时直线PQ的方程为．
综上，直线PQ恒过点．
21．（2023·安徽安庆·校考一模）在直角坐标平面中，的两个顶点的坐标分别为，两动点满足，向量与共线.
(1)求的顶点的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）的轨迹相交于两点，求的取值范围.
(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在；理由见解析
【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；
（2）设，过点的直线方程为，代入双曲线方程，得，再由根的判别式和韦达定理即可求出的取值范围；
（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.
【详解】（1）设，由知，
是的重心，.
且向量与共线，在边的中垂线上，
，
又，
化简得，
即所求的轨迹方程是.
（2）设，过点的直线方程为，
代入得，
，
且，解得.
，则或，
，
则的取值范围是.
（3）设，则，即.
当轴时，，
即，故猜想.
当不垂直轴时，，
.
又与同在内，
.
故存在，使恒成立.
【高考必刷】
一、单选题
22．（2023·陕西商洛·统考一模）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，点M在双曲线C上，且，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】B
【分析】由题设求得，，结合已知数量关系及双曲线参数关系得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】因为，又，则，故，即，
所以，又，且，
所以，从而，解得或（舍）.
故选：B
23．（2023·河南焦作·统考模拟预测）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于，两点，且为的重心，则直线斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据重心性质得出中点的坐标，根据直线与的右支交于两点可知点在右支内部，
将的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与之间等式关系，
由不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与之间等式关系，
即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】设为的中点，根据重心性质可得，
因为，则，
因为直线与的右支交于两点，所以点在双曲线右支内部，
故有，解得，
当直线斜率不存在时，的中点在轴上，
故三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为，设，
所以，，
因为在双曲线上，所以，
两式相减可得：，
即，
即有成立，
即有，因为不共线，
即，即，即，
所以的离心率的取值范围为，
因为
，
因为，即，
所以，
所以.
故选：C
【点睛】思路点睛：该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于难题，关于圆锥曲线中弦中点和直线斜率有关问题的思路有：
（1）设出点的坐标；
（2）根据中点坐标建立等式：，；
（3）将两点代入圆锥曲线中，再对两式作差，用平方差公式对等式变形；
（4）将，及代入等式中即可得出关系.
24．（2023·山东威海·统考一模）已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.
【详解】如图所示，不妨设在左支，
设右焦点为，连接，
由对称性知四边形为平行四边形，
由得，
由双曲线定义知：，
所以，
因为，所以
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，即，所以，
则C的渐近线方程为.
故选：D
【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.
25．（2023·重庆·统考二模）是双曲线的左右焦点，点为双曲线右支上一点，点在轴上，满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据向量加法运算法则，结合平行四边形的性质可确定以为邻边的平行四边形为菱形，得到，结合双曲线定义可求得，利用余弦定理可构造的齐次方程，从而求得离心率.
【详解】
设，则，
是以为邻边的平行四边形的一条对角线，
又，为的角平分线，
以为邻边的平行四边形为菱形，，
由双曲线定义知：，，，
在中，由余弦定理得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
26．（2023·湖北·统考模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理得到的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.
【详解】
因为，所以∽，
设，则，设，则，．
因为平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，即，，①
又由得，
所以，即是等边三角形，
所以．
在中，由余弦定理知，
即，化简得，
把①代入上式得，所以离心率为．
故选：A．
27．（2023·江西赣州·统考一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用双曲线的定义可以得出=，当三点共线时最小.
【详解】由双曲线得到,,，左焦点，
设右焦点.当的周长最小时，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故选：C.
28．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）在xOy平面内，双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过左顶点A且斜率为的直线与渐近线在第一象限的交点为M，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由得出，进而由斜率公式结合离心率公式求解即可.
【详解】因为且点M在渐近线上，
由得，则，，于是.
故选：B
29．（2023·河南·校联考模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，B为双曲线E上在第一象限内的点，线段与双曲线E相交于另一点A，AB的中点为M，且，若，则双曲线E的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】连结连接、.设，根据双曲线的定义可推得，即．进而在直角三角形中，根据勾股定理可得.结合已知条件，即可得出，从而得出离心率.
【详解】
如图，连接、.
因为M为AB的中点，，所以．
设，
因为，所以.
又因为，所以，
则．
因为M为AB的中点，所以，则．
设，在中，，
在中，，
则，整理可得，所以．
当时，，则，
所以离心率为．
故选：D．
二、多选题
30．（2023·湖南·模拟预测）已知O为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P是双曲线E的右支上一点，若，双曲线E的离心率为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E的标准方程为
B．双曲线E的渐近线方程为
C．点P到两条渐近线的距离之积为
D．若直线与双曲线E的另一支交于点M，点N为PM的中点，则
【答案】ACD
【分析】根据双曲线定义及离心率求出得到双曲线的标准方程，即可求出渐近线方程判断AB，再由点到渐近线的距离判断C，点差法可判断D.
【详解】根据双曲线的定义得，，故，由，得，
所以，所以双曲线E的标准方程为，渐近线方程为，即，所以A正确，B不正确；
设，则点P到两条渐近线的距离之积为，所以C正确；
设，，因为P，M在双曲线E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正确．
故选：ACD．
31．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线和圆，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．当时，双曲线与圆没有公共点
D．当时，双曲线与圆恰有两个公共点
【答案】ACD
【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A、B，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C，设双曲线上的点的坐标为，表示出的距离，即可得到圆心到双曲线上的点的距离的最小值，从而判断D.
【详解】解：由已知得，，则，所以双曲线的离心率，故选项A正确；
双曲线的渐近线方程为，即，故选项B错误；
因为圆心到双曲线的渐近线的距离，
所以当时，圆与双曲线的渐近线相切，此时双曲线与圆没有公共点，故选项C正确；
设双曲线上的点的坐标为，，则圆心到点的距离为
，当且仅当时取等号，
所以圆心到双曲线上的点的距离的最小值为，且双曲线上只有两个点到圆心的距离为，
所以当时，双曲线与圆恰有两个公共点，故选项D正确．
故选：ACD
32．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线则下列正确的是（ ）
A．双曲线的方程为B．
C．D．点到轴的距离为
【答案】ACD
【分析】由到的距离为以及渐近线方程为可求得，即可得出方程，判断A；由可求出判断B；结合双曲线定义可求得，求出，即可求出，判断C；利用等面积法可求得点到轴的距离，判断D.
【详解】到的距离为，，解得，
又渐近线方程为，则，结合可解得，，
则双曲线的方程为，故A正确；
为的平分线，，故B错误；
由双曲线定义可得，则可得，，
则在中，，
则，
则，即，故C正确；
在中，，
设点到轴的距离为d，则，
即，解得，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.
33．（2023·山东菏泽·统考一模）已知双曲线的左､右焦点分别为、，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于、两点，下列命题正确的有（ ）
A．当点为线段的中点时，直线的斜率为
B．若，则
C．
D．若直线的斜率为，且，则
【答案】BCD
【分析】对于A选项，设，代入双曲线，用点差法即可判断；对于B选项，设，表示出和，得出，再结合即可得出结论；对于C选项，设，其中，由双曲线方程，得出，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过做差即可得出结论；对于D选项，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称，则，即可得出结论．
【详解】选项A：
设，代入双曲线得，
，两式相减得，
，
∵点为线段的中点，
∴，，
即，，
∴，
，故A错误；
选项B：
设，
，，
，
，
又 ，
，故B正确；
选项C：
设，其中，
则，即，
，
，
，
，
，
，故C正确；
选项D：
，，
，，
，
∵直线的斜率为即，且过点，
∴直线的方程为：，
又∵，，

，
即，
又∵点到直线的距离：，
点到直线的距离：，
即，
∴点与点关于直线对称，
，
，故D正确；
故选：BCD．
【点睛】结论点睛：本题涉及到双曲线中的有关结论：
（1）若点是双曲线上一条弦的中点，则直线的斜率；
（2）若双曲线上有两点、，且位于不同两支，则．
三、填空题
34．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M，若在点M处的切线平行于的一条渐近线，则__________．
【答案】##
【分析】求出抛物线的焦点与双曲线的右焦点及渐近线方程，设，由导数求得点处切线的斜率，得出的关系，再根据三点共线的斜率性质构造方程即可得解.
【详解】抛物线的焦点的坐标为，且；
双曲线的右焦点的坐标为，渐近线方程为，
由题意可知，在点M处的切线平行的渐近线应为，
设，则，得，
又点共线，即点共线，
所以，解得，所以.
故答案为：.
35．（2023·辽宁·校联考一模）过双曲线焦点的直线与的两条渐近线的交点分分别为M、N，当时，.则的离心率为______.
【答案】
【分析】依题意，垂直于渐近线，结合图形在直角三角形利用三角函数构造齐次式求的离心率.
【详解】解法1：双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，
因为，所以垂直于渐近线，如图所示，
则，，，所以的离心率.
因为，所以，.
过作另一条渐近线的垂线，垂足为，则，在直角中，.
因为，因为，所以.
因此的离心率为.
解法2：因为，所以垂直于渐近线，则，，
因为，所以，
在中，，在中，，
，
，可得，则有，即，
所以C的离心率.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：由焦点到渐近线的距离为，可得垂直于渐近线，这是本题的着手点，数形结合在直角三角形中利用三角函数构造齐次式可求的离心率.
36．（2023·山东泰安·统考一模）已知双曲线C：的右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若，则以（e为双曲线C的离心率）为焦点的抛物线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据已知条件求得双曲线的离心率，也即求得，从而求得抛物线的标准方程.
【详解】依题意，，双曲线的一条渐近线方程为，
依题意，三角形是边长为的等边三角形，
所以到的距离是，
即，
所以对于抛物线，有，
所以抛物线方程为.
故答案为：
37．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线分别交两条渐近线于，两点，若且，则的离心率为______.
【答案】2
【分析】设直线的方程为，通过联立方程组的方法求得的坐标，进而求得中点的坐标.对进行分类讨论，由化简求得双曲线的离心率.
【详解】设直线的方程为，由得，
同理可得，所以的中点
因为，所以
（1）当时，轴，此时，，
又由得，即
所以，这与矛盾，不合题意，所以
（2）当时，则，即，
则，即，
又由得
，
化简得，所以，所以.
由（1）（2）可知，双曲线的离心率为2.
故答案为：2
【点睛】求解直线和直线、直线和圆锥曲线的交点的问题，可通过联立方程组来进行求解.求解双曲线的离心率问题，有两个思路，一个是求得，从而求得双曲线的离心率；另一个是求得或的关系式，由此来求得双曲线的离心率.
四、解答题(共0分)
38．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为e，点在C上，，分别为C的左、右顶点，C的右焦点F到渐近线的距离为，过点F的直线l与C交于A，B两点（异于顶点），直线，分别与y轴交于点M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当时，求以MN为直径的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由条件列关于的方程，解方程求可得双曲线方程；
(2)设设直线l的方程为，联立方程组结合设而不求法表示条件，求出点的坐标，再求以MN为直径的圆的方程.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则右焦点的坐标为，
∵点在双曲线C上，
∴ ①，
由已知右焦点到渐近线的距离 ②.
③，
由①②③得，，
∴双曲线C的标准方程为.
（2）由（1）知，
过点的斜率为0的直线为，
与双曲线的交点为，与已知矛盾，
故可设直线l：，
联立方程得，消去x并整理得，
由已知，
方程的判别式
，
设，，
则，
因此.
设，，
易知直线的方程为，
令，得，
直线的方程为，
令，得，
则
，
∴.
∵，∴.
当时，，
以MN为直径的圆的方程为，即；
当时，，
以MN为直径的圆的方程为，即.
故以MN为直径的圆的方程为.
【点睛】解决直线与双曲线的综合问题，一般利用设而不求法解决，解决过程中需注意直线的斜率是否存在，是否为0.
39．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知双曲线的右顶点为，左焦点到其渐近线的距离为2，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线交于P，Q两点，直线，分别与直线相交于，两点，试问：以线段为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)
(2)以线段为直径的圆过定点和．
【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可求解，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）∵双曲线的左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，而，∴．
∴双曲线的方程为．
依题意直线的方程为．
由 消去y整理得：，
依题意：，，点A，B的横坐标分别为，
则．
∵，∴．
∴，∴．
即，解得或（舍去），且时，，
∴双曲线的方程为．
（2）依题意直线的斜率不等于0，设直线的方程为．
由消去整理得：，
∴，．
设，，则，．
直线的方程为，令得：，∴．
同理可得．由对称性可知，若以线段为直径的圆过定点，则该定点一定在轴上，
设该定点为，则，，
故
．
解得或．
故以线段为直径的圆过定点和．
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)